Ableitung der Kubo-Formel für den Hall-Leitwert

Question

Ableitung der Kubo-Formel für den Hall-Leitwert

Physik
Vielkörper
kondensierte Materie
Quanten-Hall-Effekt
topologische Isolatoren

Honig-Senf

Ich versuche, das Ergebnis der TKNN-Formel abzuleiten, habe aber Schwierigkeiten beim Ableiten der Kubo-Formel. Die im TKNN-Papier verwendete Kubo-Formel lautet:

σ_{X j} = \frac{ich e^{2}}{ℏ} \sum_{E^{A} < E_{F} < E^{B}} \frac{⟨ A | v_{X} | B ⟩ ⟨ B | v_{j} | A ⟩ - ⟨ A | v_{j} | B ⟩ ⟨ B | v_{X} | A ⟩}{(E^{A} - E^{B})^{2}} .

$\sigma_{xy}= \frac{ie^2}{\hbar} \sum_{E^a < E_F < E^b} \frac{\langle a|v_x|b \rangle \langle b|v_y|a \rangle - \langle a|v_y|b \rangle \langle b|v_x|a \rangle}{(E^a - E^b)^2} .$

Das Folgende ist meine bisherige Arbeit. Zunächst einmal aus der Theorie der linearen Antwort für eine allgemeine Beobachtungsgröße

Ö = ⟨ \hat{Ö} (T) ⟩ - ich \int_{T_{0}}^{T} D T^{'} ⟨ [\hat{Ö} (T), H_{e X T} (T^{'})] ⟩

$O=\langle\hat{O}(t)\rangle-i\int_{t_0}^{t}\mathrm{d} t' \langle[\hat{O}(t),H_{\mathrm{ext}}(t')]\rangle$ Wo

H_{e x t}

$H_{\mathrm{ext}}$ ist der störende Hamiltonoperator. Seit

H_{e x t} = - \int J \cdot A (r, t) d^{3} r

$H_{\mathrm{ext}}=-\int J\cdot A(r,t)\mathrm{d}^3r$ , wenn wir die Stromdichte betrachten, die wir haben

{\vec{J}}_{ich} (R, T) = ⟨ J_{ich} (T) ⟩ + ich \int_{- \infty}^{T} D T^{'} \int D^{3} R^{'} ⟨ [J_{ich} (R, T), J_{J} (R^{'}, T^{'})] ⟩ A_{J} (R^{'}, T^{'}) .

$\vec{J}_i(r,t)=\langle j_i(t)\rangle+i\int_{-\infty}^{t}\mathrm{d} t'\int\mathrm{d}^3{r'} \langle[j_i(r,t),j_j(r',t')]\rangle A_j(r',t').$ Wenn wir den ersten Term ignorieren, können wir dies umschreiben als

{\vec{J}}_{ich} (R, T) = - \int_{- \infty}^{\infty} D T \int D^{3} R R_{ich J} (R - R^{'}, T - T^{'}) A_{J} (R^{'}, T^{'})

$\vec{J}_i(r,t)=-\int_{-\infty}^\infty\mathrm{d}t\int \mathrm{d}^3r R_{ij}(r-r',t-t')A_j(r',t')$ Wo

R_{ich J} (R - R^{'}, T - T^{'}) = - ich θ (T - T^{'}) ⟨ [J_{ich} (R, T), J_{J} (R^{'}, T^{'})] ⟩ .

$R_{ij}(r-r',t-t')=-i\theta(t-t')\langle[j_i(r,t),j_j(r',t')]\rangle.$ Davon können wir ausgehen

A (r, t) = A (r) e^{- i ω t}

$A(r,t)=A(r)e^{-i\omega t}$ zu zeigen, dass

E (r, t) = i ω A (r, t)

$E(r,t)=i\omega A(r,t)$ . Dann erhalten wir durch Fourier-Transformation den Ausdruck für den Erwartungswert der Stromdichte

\vec{J} (k, ω) = - \frac{R_{ich J} (k, ω)}{ich ω} E_{J} (k, ω)

$\vec{J}(k,\omega)=-\frac{R_{ij}(k,\omega)}{i\omega}E_j(k,\omega)$ was bedeutet, dass DC-Leitfähigkeit ist

σ_{ich J} = lim_{ω \to 0} \frac{ich R_{ich J} (k, ω)}{ω}

$\sigma_{ij}=\lim_{\omega\rightarrow0}\frac{iR_{ij}(k,\omega)}{\omega}$ Die Fourier-Transformation der Antwortfunktion kann wie folgt gezeigt werden:

R_{ich J} (k, ω) = - ich \int_{0}^{\infty} D T e^{ich ω T} ⟨ [J_{ich} (k, T), J_{J} (- k, 0)] ⟩

$R_{ij}(k,\omega)=-i\int_0^\infty \mathrm{d} t e^{i\omega t}\langle[j_i(k,t),j_j(-k,0)]\rangle$ Wenn wir Erwartungswerte mit dem Grand Canonical Ensemble auswerten (d. h

⟨ \hat{O} ⟩ = T r (e^{- β H} \hat{O}) / Z

$\langle \hat{O}\rangle = Tr(e^{-\beta H} \hat{O})/Z$ Wo

H

$H$ beinhaltet die chem. Pot.) und über die Zeit integrieren und eine erste Bestellung durchführen

ω

$\omega$ Erweiterung wir am Ende mit

R_{ich J} (k, ω) = \sum_{N, M} (e^{- E_{M} β} - e^{- E_{N} β}) (\frac{⟨ N | J_{ich} (k, ω) | M ⟩ ⟨ M | J_{J} (- k, ω) | M ⟩}{E_{N} - E_{M} + ich ϵ} - ω \frac{⟨ N | J_{ich} (k, ω) | M ⟩ ⟨ M | J_{J} (- k, ω) | M ⟩}{(E_{N} - E_{M} + ich ϵ)^{2}}) / Z

$R_{ij}(k,\omega)=\sum_{n,m}(e^{-E_m \beta}-e^{-E_n\beta})\left(\frac{\langle n|j_i(k,\omega)|m\rangle\langle m|j_j(-k,\omega)|m\rangle}{E_n-E_m+i\epsilon}-\omega\frac{\langle n|j_i(k,\omega)|m\rangle\langle m|j_j(-k,\omega)|m\rangle}{(E_n-E_m+i\epsilon)^2}\right)/Z$ Von hier aus weiß ich nicht weiter. Alle Ableitungen für die Kubo-Formel, die ich auf dieser Seite und anderen Online-Ressourcen gefunden habe, berücksichtigen nicht die Positionsabhängigkeit des Stromdichteoperators. Jeder Rat, der mich in die richtige Richtung weist, wird geschätzt.

Everett Du

Mögliches Duplikat der Kubo-Formel für den Quanten-Hall-Effekt

Everett Du

Bitte werfen Sie einen Blick auf physical.stackexchange.com/q/1906 . Die Antwort erklärt, warum der erste Term verschwindet und der zweite Term die Kubo-Formel ergibt. Die dortige Ableitung gilt für positionsabhängige Stromoperatoren, ersetzen Sie einfach every

v_{i}

$v_i$ Betreiber dort von Ihrem

j_{i} (\pm k)

$j_i(\pm k)$ , die Algebra geht noch durch.

Honig-Senf

@EverettYou Wie genau funktioniert diese Substitution - Ersetzen

j_{i} (\pm k) \to v_{i}

$j_i(\pm k)\to v_i$ --arbeiten? Geht das TKNN-Papier davon aus, dass der aktuelle Operator nicht positionsabhängig ist?

Everett Du

Denn der Strom

j

$j$ ist proportional zur Geschwindigkeit

v

$v$ des Elektrons als

j = - e v

$j=-ev$ , sie sind also im Wesentlichen derselbe Operator. Das TKNN-Papier ging nicht davon aus, dass der aktuelle Operator positionsunabhängig ist. Das Matrixelement

⟨ a | v (q) | b ⟩

$\langle a|v(q)|b\rangle$ macht durchaus Sinn, wenn wir die Impulsabhängigkeit von mit einbeziehen

v

$v$ , dh

v (q)

$v(q)$ wird nur einen Zustand zerstreuen

| b ⟩

$|b\rangle$ von Schwung

k

$k$ in einen anderen Staat

| a ⟩

$|a\rangle$ von Schwung

k + q

$k+q$ . Man kann immer noch über alle solche Zustandspaare summieren, die erfüllt sind

E_{a} < E_{F} < E_{b}

$E_a<E_F<E_b$ und erhalten Sie die impulsabhängige Hall-Leitfähigkeit

σ_{x y} (q)

$\sigma_{xy}(q)$ .

Honig-Senf

@EverettYou Ich muss etwas falsch verstehen. Soll der Hall-Leitwert nicht impulsunabhängig sein?

Everett Du

Kommentar ist zu kurz für die Erklärung. Bitte schau dir meine Antwort unten an.

Antworten (1)

Ableitung der Kubo-Formel für den Hall-Leitwert

Mögliches Duplikat der Kubo-Formel für den Quanten-Hall-Effekt
Bitte werfen Sie einen Blick auf physical.stackexchange.com/q/1906 . Die Antwort erklärt, warum der erste Term verschwindet und der zweite Term die Kubo-Formel ergibt. Die dortige Ableitung gilt für positionsabhängige Stromoperatoren, ersetzen Sie einfach every $v_i$ Betreiber dort von Ihrem $j_i(\pm k)$ , die Algebra geht noch durch.
@EverettYou Wie genau funktioniert diese Substitution - Ersetzen $j_i(\pm k)\to v_i$ --arbeiten? Geht das TKNN-Papier davon aus, dass der aktuelle Operator nicht positionsabhängig ist?
Denn der Strom $j$ ist proportional zur Geschwindigkeit $v$ des Elektrons als $j=-ev$ , sie sind also im Wesentlichen derselbe Operator. Das TKNN-Papier ging nicht davon aus, dass der aktuelle Operator positionsunabhängig ist. Das Matrixelement $\langle a|v(q)|b\rangle$ macht durchaus Sinn, wenn wir die Impulsabhängigkeit von mit einbeziehen $v$ , dh $v(q)$ wird nur einen Zustand zerstreuen $|b\rangle$ von Schwung $k$ in einen anderen Staat $|a\rangle$ von Schwung $k+q$ . Man kann immer noch über alle solche Zustandspaare summieren, die erfüllt sind $E_a<E_F<E_b$ und erhalten Sie die impulsabhängige Hall-Leitfähigkeit $\sigma_{xy}(q)$ .
@EverettYou Ich muss etwas falsch verstehen. Soll der Hall-Leitwert nicht impulsunabhängig sein?
Kommentar ist zu kurz für die Erklärung. Bitte schau dir meine Antwort unten an.

Everett Du · Answer 1

Die Kubo-Formel gilt für den ortsabhängigen Fall und kann zur Berechnung einer impulsabhängigen Hall-Leitfähigkeit verwendet werden

σ_{X j} (Q) = \frac{ich e^{2}}{ℏ} \sum_{E_{A} < E_{F} < E_{B}} \frac{⟨ A | v_{X} (Q) | B ⟩ ⟨ B | v_{j} (- Q) | A ⟩ - ⟨ A | v_{j} (- Q) | B ⟩ ⟨ B | v_{X} (Q) | A ⟩}{(E_{A} - E_{B})^{2}} .

$\sigma_{xy}(\boldsymbol{q})= \frac{\mathrm{i}e^2}{\hbar} \sum_{E_a < E_F < E_b} \frac{\langle a|v_x(\boldsymbol{q})|b \rangle \langle b|v_y(-\boldsymbol{q})|a \rangle - \langle a|v_y(-\boldsymbol{q})|b \rangle \langle b|v_x(\boldsymbol{q})|a \rangle}{(E_a - E_b)^2}.$ Diese Formel lässt sich aus der letzten Formel (der Strom-Strom-Korrelation in der Vielteilchenbasis) in der Frage ableiten

\begin{aligned} R_{X j} (Q, ω) = \frac{1}{Z} \sum_{N, M} (e^{- β E_{M}} - e^{- β E_{N}}) ( & \frac{⟨ N | v_{X} (Q, ω) | M ⟩ ⟨ M | v_{j} (- Q, ω) | M ⟩}{E_{N} - E_{M} + ich 0_{+}} \\ - ω \frac{⟨ N | v_{X} (Q, ω) | M ⟩ ⟨ M | v_{j} (- Q, ω) | M ⟩}{(E_{N} - E_{M} + ich 0_{+})^{2}}), \end{aligned}

$\begin{split} R_{xy}(\boldsymbol{q},\omega)=\frac{1}{Z}\sum_{n,m}(e^{-\beta E_m}-e^{-\beta E_n})\bigg(&\frac{\langle n|v_x(\boldsymbol{q},\omega)|m\rangle\langle m|v_y(-\boldsymbol{q},\omega)|m\rangle}{E_n-E_m+\mathrm{i}0_+}\\ &-\omega\frac{\langle n|v_x(\boldsymbol{q},\omega)|m\rangle\langle m|v_y(-\boldsymbol{q},\omega)|m\rangle}{(E_n-E_m+\mathrm{i}0_+)^2}\bigg), \end{split}$ indem Sie bemerken, dass der erste Term verschwindet (wie in der Kubo-Formel für den Quanten-Hall-Effekt erklärt ) und die Grenze von nehmen

σ_{x y} (q) = lim_{ω \to 0} i R_{x y} (q, ω) / ω

$\sigma_{xy}(\boldsymbol{q})=\lim_{\omega\to0}\mathrm{i}R_{xy}(\boldsymbol{q},\omega)/\omega$ für die zweite Amtszeit. Wechseln Sie dann auf die Einzelteilchenbasis (kann für freie Fermionen durchgeführt werden) und nehmen Sie die Nulltemperaturgrenze

β \to \infty

$\beta\to\infty$ schließlich.

Aus der impulsabhängigen Hall-Leitfähigkeit kann man die explizite Ortsabhängigkeit durch Fourier-Transformation wiederherstellen

σ_{X j} (R - R^{'}) = \sum_{Q} σ_{X j} (Q) e^{ich Q \cdot (R - R^{'})} .

$\sigma_{xy}(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}')=\sum_{\boldsymbol{q}}\sigma_{xy}(\boldsymbol{q}) e^{\mathrm{i}\boldsymbol{q}\cdot(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}')}.$ Die einheitliche Leitfähigkeit ist definiert als

σ_{x y} = \int d^{2} r^{'} σ_{x y} (r - r^{'})

$\sigma_{xy}=\int d^2\boldsymbol{r}' \sigma_{xy}(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}')$ die die Null-Impuls-Komponente auswählt

σ_{x y} (q = 0)

$\sigma_{xy}(\boldsymbol{q}=0)$ . Die Veröffentlichung von TKNN konzentriert sich hauptsächlich auf die einheitliche Hall-Leitfähigkeit und ihre topologische Bedeutung. Aber die Verallgemeinerung der Kubo-Formel auf den nicht einheitlichen (inhomogenen) Fall ist, wie oben beschrieben, einfach. Allerdings für eine generische Dynamik

q \neq 0

$\boldsymbol{q}\neq0$ , die Hall-Leitfähigkeit

σ_{x y} (q)

$\sigma_{xy}(\boldsymbol{q})$ nicht mehr auf eine ganze Zahl quantisiert und nicht mehr auf den topologischen Index (Chern-Zahl) der elektronischen Bandstruktur bezogen, aus diesem Grund

σ_{x y} (q)

$\sigma_{xy}(\boldsymbol{q})$ wird weniger untersucht. Aber experimentell

σ_{x y} (q)

$\sigma_{xy}(\boldsymbol{q})$ ist definitiv eine Größe, die auch gemessen werden kann.

Ganz allgemein kann man den impuls- und frequenzabhängigen Leitfähigkeitstensor definieren $\sigma_{ij}(q)$ (Wo $q=(\omega,\boldsymbol{q})$ ist der Impuls-Frequenz-Vektor) aus der Elektron-Green-Funktion $G(k)$ ,

\begin{aligned} σ_{ich J} (Q) & = - ich \sum_{k} Tr G (k) γ_{0} G (k) γ_{ich} G (k + Q) γ_{J}, \\ γ_{μ} & = - \partial_{k_{μ}} G^{- 1} (k) (μ = 0, 1, 2) . \end{aligned}

$\begin{split} \sigma_{ij}(q)&=-\mathrm{i}\sum_k \text{Tr} G(k)\gamma_0 G(k)\gamma_i G(k+q)\gamma_j,\\ \gamma_\mu&=-\partial_{k_\mu}G^{-1}(k)\quad(\mu=0,1,2).\end{split}$ Dies wird als inhomogene dynamische Leitfähigkeit oder optische Leitfähigkeit bezeichnet. Der Knotenoperator

γ_{μ}

$\gamma_\mu$ ersetzen den Strom/Geschwindigkeitsoperator in der Quantenfeldtheorie (als Verallgemeinerung der Gammamatrizen von Dirac-Fermionen). Siehe Berechnung der Leitfähigkeit aus Greenschen Funktionen zur Ableitung dieser allgemeinen Form.

Danke für den Einblick in die ungleichmäßige Leitfähigkeit. Können Sie Ressourcen empfehlen, die dieses Thema behandeln und auf die Unterscheidung zwischen gleichmäßiger und ungleichmäßiger Leitfähigkeit hinweisen? Es scheint, als würden viele Ableitungen darüber hinwegsehen, obwohl es sich wie eine nicht triviale Tatsache anfühlt.
Suchen Sie einfach nach "dynamischer Leitfähigkeit", Sie können viele Diskussionen über alle Arten von Leitfähigkeiten abseits des statischen / einheitlichen Falls sehen.
Könnten Sie bitte erläutern, was Sie genau mit „Wechsel auf die Einzelteilchenbasis“ gemeint haben? Wie genau konvertieren Sie außerdem vom Strom (den ich als Operator im gesamten Fock-Raum ansehe) in den Geschwindigkeitsoperator (der mir als Operator im Einzelteilchenraum erscheint)?

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