Wie bestimmt man die Orientierung des massiven Dirac-Hamilton-Operators?

Eine einfache Methode zur Beurteilung der Chiralität (oder in Ihren Worten "Orientierung") des Hamilton-Operators besteht darin, die folgende Größe zu bewerten

$$f=\frac{i}{2}\mathrm{Tr}\frac{\partial h}{\partial{q_x}}\frac{\partial h}{\partial{q_y}}\frac{\partial h}{\partial{m}}.$$ Das Vorzeichen dieser Größe $f$gibt die Chiralität des Hamiltonoperators an.

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Beispiel: Gegeben seien die beiden Hamiltonianer$h_1=q_y\sigma_x-q_x\sigma_y-m\sigma_z$Und$h_2=-q_y\sigma_x-q_x\sigma_y+m\sigma_z$, können wir auswerten

$$f_1=\frac{i}{2}\mathrm{Tr}(-\sigma_y)\sigma_x(-\sigma_z)=1,$$ $$f_2=\frac{i}{2}\mathrm{Tr}(-\sigma_y)(-\sigma_x)\sigma_z=1.$$ Weil $f_1$Und $f_2$haben das gleiche Vorzeichen, also $h_1$Und $h_2$sind von gleicher Chiralität.

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Der Grund, warum dieser Trick funktioniert, ist, dass er im Wesentlichen die Berry-Krümmung schätzt, die definiert ist als

$$F=\frac{i}{2}\mathrm{Tr}\,G^{-1}\mathrm{d}G\wedge G^{-1}\mathrm{d}G\wedge G^{-1}\mathrm{d}G,$$ Wo $G=(i\omega - h)^{-1}$ist die Einzelteilchen-Green-Funktion. Die Chern-Zahl ist dann einfach ein Integral der Berry-Krümmung, dh $C=\frac{1}{2\pi}\int F$. Da sich die Berry-Krümmung hauptsächlich um den Ursprung des Impuls-Frequenz-Raums konzentrierte, muss man nur die Berry-Krümmung an diesem Punkt schätzen, um das Vorzeichen der Chern-Zahl zu bestimmen. Während in der Formel für $F$, $$G^{-1}\mathrm{d}G = (i\omega-h)d(i\omega-h)^{-1}\sim G dh,$$ was gibt die $\mathrm{d} h$Bedingungen. Und weil der Hamilton-Operator eine Lücke hat, ist die Green-Funktion im Nullimpuls und in der Frequenzgrenze eine Konstante $G\propto \partial_m h$das ist proportional zum Massenterm. Wenn wir all diese Teile zusammenfügen und in der führenden Ordnung von Impuls und Frequenz finden wir, dass die Berry-Krümmung grob geschätzt werden kann $F\sim f$. Also die Menge $f$hat das gleiche Vorzeichen wie die Chern-Zahl und kann verwendet werden, um die Chiralität des Hamilton-Operators zu bestimmen. Diese Schätzung ist genau um den Dirac-Punkt herum, was nur bei den von Ihnen angegebenen Beispielen der Fall ist.