Gibt es eine Massensignatur der topologischen Nichttrivialität für einen 3D-freien Fermionenbandisolator?

Ja, es gibt eine Masseninvariante für topologische 3D-Isolatoren, die als zweite Chern-Parität bekannt ist$P_3$[1-3], als Integral der Chern-Simons 3-Form der (vermutlich nicht-Abelschen) Berry-Verbindung$\mathcal{A}$(im Impulsraum) über der Brillouin-Zone (BZ). Beachten Sie, dass die Brillouin-Zone jetzt eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit ist (als 3D-Torus).

$$P_3=\frac{1}{16\pi^2}\int_\text{BZ}\mathrm{Tr}(\mathcal{F}\wedge\mathcal{A}-\tfrac{1}{3}\mathcal{A}\wedge\mathcal{A}\wedge\mathcal{A}),$$

Wo$\mathcal{F}=\mathrm{d}\mathcal{A}+\mathcal{A}\wedge\mathcal{A}$ist die Berry-Krümmung. Die Berry-Verbindung$\mathcal{A}$können aus den Bloch-Wellenfunktionen in den besetzten Bändern erhalten werden. Lassen$|n k\rangle$sei die Blochwellenfunktion des Elektrons in der$n$te Band beim Quasi-Impuls$k$(Hier$k=(k_x,k_y,k_z)$ist ein 3-Komponenten-Vektor).$\mathcal{A}$ist auf den Unterraum besetzter Bänder beschränkt, dh wir nehmen nur diese$n$ist so, dass die Ein-Teilchen-Energien$\epsilon_{nk}<0$sind negativ.

$$\mathcal{A}_{mn}(k)=-\mathrm{i}\langle mk|\mathrm{d}|nk\rangle,$$

wo der Differentialoperator$\mathrm{d}=\partial_{k_\mu}\mathrm{d}k_\mu$ist im Impulsraum definiert. Das wurde bewiesen$P_3$kann nur eine ganze oder eine halbe ganze Zahl sein. Wenn$P_3=0$(mod 1), dann ist der Isolator trivial. Wenn$P_3=\tfrac{1}{2}$(mod 1), dann ist der Isolator topologisch. In der Tat,$(-1)^{2P_3}$ist der$\mathbb{Z}_2$Index des topologischen 3D-Isolators. Es gibt andere äquivalente Ausdrücke für$P_3$die in [1-3] und den darin enthaltenen Referenzen zu finden sind.

In 3D benötigen alle fermionischen symmetriegeschützten topologischen (SPT) Zustände Zeitumkehrsymmetrieschutz (entweder$\mathcal{T}^2=+1$oder$\mathcal{T}^2=-1$). Es gibt also keinen topologischen nichttrivialen Zustand, der auch chiral sein kann. Ich denke, die von Ihnen gesuchte chirale Spinflüssigkeit existiert nicht, aber$Z_2$oder$U(1)$Spinflüssigkeiten mit topologischen Spinon-Bandstrukturen und anomalen lückenlosen Spinon-Oberflächenmoden existieren und wurden in letzter Zeit viel diskutiert.

[1] https://physics.aps.org/featured-article-pdf/10.1103/PhysRevB.78.195424

[2] http://arxiv.org/pdf/1004.4229.pdf

[3] http://journals.aps.org/prx/pdf/10.1103/PhysRevX.2.031008