Topologische Bandstruktur, Unterschied zwischen einer Kugel und einem Donut

Entschuldigung, diese Antwort ist zu lang geworden. Ich habe es in drei Punkte kategorisiert.

(1)

Ich denke, der Grund, warum Kohmoto betont, wie wichtig es ist, dass die Brillouin-Zone ein Torus ist$BZ = T^2$, weil er sagen will, dass BZ kompakt ist und keine Grenze hat. Dies ist wichtig wegen der Subtilität, die alles zum Laufen bringt. Der Hall-Leitwert ist gegeben durch$\sigma_{xy} = -\frac{e^2}h C_1$(Gl. 4.9), wobei die erste Chern-Zahl (Gl. 4.8) ist

$C_1 = \frac i{2\pi}\int_{BZ} F = \frac i{2\pi}\int_{BZ} dA$.

Allerdings durch naive Verwendung des Stokes-Theorems $\int_M dA = \int_{\partial M} A$, wo$\partial M$ist die Grenze von$M$. Seit$BZ= T^2$und die Tatsache, dass der Torus keine Grenze hat$\partial T^2$, dies scheint das zu implizieren$\int_{\partial BZ} A = 0$und somit$\sigma_{xy}=0$. Hier gibt es jedoch eine wichtige Subtilität, unsere Verwendung des Stokes-Theorems ist nur dann korrekt, wenn$A$kann auf allen global aufgebaut werden$BZ$und dies kann nicht im Allgemeinen getan werden. Die muss man aufteilen$BZ$Torus in kleinere Patches und konstruieren$A$lokal auf jedem Patch, die jetzt Grenzen haben (siehe Abbildung 1). Die Diskrepanz zwischen den Werten der$A$'s an den Grenzen der Patches machen$\sigma_{xy}$ungleich Null (siehe Gl. 3.13).

In Bezug auf die de Rahm-Kohomologie kann man das sagen$F$gehört zu einer nicht trivialen zweiten Kohomologieklasse des Torus, oder mit anderen Worten der Gleichung$F = dA$gilt nur lokal, nicht global. Und deshalb war unsere Anwendung des Stokes-Theorems falsch.

In diesem Fall können Sie den Torus problemlos durch eine Kugel ersetzen (warum das einige Argumente aus der algebraischen Topologie erfordert, aber ich werde gleich ein physikalischeres Bild davon geben). Bei höheren Dimensionen und bei anderen Arten von topologischen Isolatoren kann es zu einem Unterschied zwischen der Einnahme kommen$BZ$ein Torus oder eine Kugel sein. Der Unterschied besteht darin, dass Sie mit der Kugel nur das erhalten, was die Leute starke topologische Isolatoren nennen , während mit$BZ=T^2$Sie erhalten auch die sogenannten schwachen topologischen Isolatoren . Der Unterschied besteht darin, dass die schwachen topologischen Isolatoren Stapeln niederdimensionaler Systeme entsprechen und diese nur bei Translationssymmetrie existieren, mit anderen Worten, sie sind NICHT robust gegen Verunreinigungen und Unordnung. Die Leute tun daher normalerweise so$BZ$ist eine Kugel, da die starken topologischen Isolatoren ohnehin am interessantesten sind. Zum Beispiel entspricht die Tabelle für die K-theoretische Klassifizierung von topologischen Isolatoren, die normalerweise gezeigt wird (siehe Tabelle I hier ), der Verwendung der Kugel anstelle des Torus, da die Tabelle sonst voll von weniger interessanten Zuständen ist.

Lassen Sie mich Ihnen kurz etwas körperliche Intuition darüber geben, was$\sigma_{xy}$Maßnahmen durch eine Analogie zum Elektromagnetismus. In einer weniger differentiellen geometrischen Notation kann man schreiben (Gl. 3.9)

$C_1 = \frac i{2\pi}\oint_M \mathbf B\cdot d\mathbf S$,

wo$\mathbf B = \nabla_k\times \mathbf A$kann man sich als Magnetfeld im k-Raum vorstellen. Dies ist nichts anderes als eine magnetische Version des Gaußschen Gesetzes und misst den gesamten magnetischen Fluss durch die geschlossene Oberfläche$M$. Mit anderen Worten, es misst die gesamte von der Oberfläche eingeschlossene magnetische Ladung$M$(siehe auch hier ). Nehmen$M=S^2$, Die Sphäre. Wenn$C_1 = n$ungleich Null ist, bedeutet dies, dass es innerhalb der Kugel magnetische Monopole mit voller Ladung gibt$n$. Im konventionellen Elektromagnetismus$C_1$ist immer Null, da wir davon ausgehen, dass es keine magnetischen Monopole gibt! Das ist der Inhalt des Gaußschen Gesetzes für Magnetismus , der in Differentialform vorliegt$\nabla\cdot\mathbf B = 0$. Die analoge Gleichung für unser k-Raum "Magnetfeld" wäre$\nabla\cdot\mathbf B = \rho_m$, wo$\rho_m$ist die magnetische Ladungsdichte (siehe hier ). Wenn$M=BZ=T^2$Die Intuition ist die gleiche,$C_1$ist die gesamte magnetische Ladung innerhalb des Torus.

Eine andere Möglichkeit, das Obige auszudrücken, ist die Gleichung$\mathbf B = \nabla\times\mathbf A$wie wir es immer verwenden und lieben, ist global nur dann richtig, wenn es keine magnetischen Monopole gibt!

(2)

Lassen Sie mich nun den nächsten Punkt über das Gauß-Bonnet-Theorem ansprechen . Eigentlich spielt der Satz von Gauß-Bonnet hier keine Rolle, es ist nur eine Analogie. Für eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit$M$ohne Grenze, sagt das Theorem$\int_M K dA = 2\pi (2-2g)$. Hier$K$ist die Gaußsche Krümmung und$g$ist die Gattung. Zum Beispiel für den Torus,$g=1$und das Integral ist Null, wie Sie auch erwähnen. Dies ist nicht dasselbe wie$C_1$jedoch. Das Gauß-Bonnet-Theorem handelt von der Topologie der Mannigfaltigkeit (zum Beispiel der$BZ$Torus), aber$\sigma_{xy}$bezieht sich auf die Topologie des Faserbündels über dem Torus, nicht auf den Torus selbst. Oder anders gesagt, wie sich die Bloch-Wellenfunktionen global verhalten. Was für uns eine Rolle spielt, ist die Chern-Weil-Theorie , die gewissermaßen eine Verallgemeinerung des Gauß-Bonnet-Theorems ist. Das Magnetfeld$\mathbf B$, oder äquivalent die Feldstärke$F$, ist geometrisch die Krümmung eines sogenannten$U(1)$bündeln$BZ$. Die Chern-Weil-Theorie besagt, dass das Integral über die Krümmung

$C_1 = \frac i{2\pi}\int_{BZ} F$

ist eine topologische Invariante der$U(1)$bündeln. Dies ist analog zu Gauß-Bonnet, das besagt, dass das Integral über die Krümmung eine topologische Invariante der Mannigfaltigkeit ist. Daher ist diese Verbindung hauptsächlich eine Analogie, die Menschen verwenden, um ein wenig Intuition zu vermitteln$C_1$, da die Krümmung besser zu sehen ist$K$als die Krümmung$F$was abstrakter ist.

(3)

Der Kommentar von Xiao-Gang Wen ist richtig, und um ihn zu erklären, müssen Sie sich mit bestimmten tiefgreifenden Fragen darüber befassen, was topologische Ordnung und was ein topologischer Isolator ist und welche Beziehung zwischen ihnen besteht. Die Unterscheidung zwischen diesen beiden Begriffen ist sehr wichtig, und in der Literatur werden viele Terminologien missbraucht, wenn diese miteinander vermischt werden. Die kurze Antwort lautet, dass beide Begriffe mit der Topologie zusammenhängen, aber die topologische Ordnung ist eine viel tiefere und richterere Klasse von Materiezuständen, und die Topologie (und die Quantenverschränkung) spielt dort eine viel größere Rolle als bei topologischen Isolatoren. Mit anderen Worten, die topologische Ordnung ist in einem sehr starken Sinne topologisch, während der topologische Isolator in einem sehr schwachen Sinne topologisch ist.

Wenn Sie sehr interessiert sind, kann ich eine weitere Antwort mit mehr Details zum Kommentar von Xiao-Gang Wen posten, da dieser bereits zu groß ist.