Was bedeutet es in Bezug auf die Bandstruktur , wenn wir sagen, dass jede topologische Invariante eines Systems nicht Null ist? Was bedeutet es zum Beispiel, wenn wir im Fall von IQHE sagen, dass die Chern-Zahl = 1 ist?
Bedeutet dies, dass es topologische invariante Zeitbänder gibt, die das Fermi-Niveau kreuzen?
Die Dynamik physikalischer Systeme wird durch Differentialgleichungen bestimmt. Als solches bedeutet dies normalerweise, dass die Evolution eine kontinuierliche und einzigartige Funktion von Anfangs- oder Grenzparametern und der Zeit ist. Trajektorien kreuzen sich nicht, unterschiedliche Lösungen fallen nicht zusammen usw. Die Topologie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit kontinuierlichen Änderungen von Objekten befasst. Zum Beispiel können Sie ein Stück Papier haben und Origami falten. Solange Sie keine Schere verwenden und kein Papier abreißen, vollziehen Sie kontinuierliche Transformationen. Vielleicht noch besser, Sie sollten an Gummi-Origami denken, das gedehnt und gestaucht, aber nicht geklebt oder gerissen ist. Wenn Sie in solchen Systemen mit einer besonderen topologischen Konfiguration beginnen, z. B. einem Ring (denken Sie an eine geschlossene, periodische Trajektorie), kann sich dies sehr stark ändern und sogar kompliziert und chaotisch werden, aber es ist immer noch ein Ring. sehr kompliziert gefaltet. Tatsächlich ist eine der einfachsten topologischen konservierten Zahlen die Windungszahl, die zählt, wie oft sich der Ring selbst windet (denken Sie an das System, in dem sich in der Mitte der Ringe etwas befindet, das nicht passiert werden kann, wie ein Punkt mit Nullenergie das System, das beispielsweise seine Energie nicht an die Umgebung abgeben kann. Denken Sie daran: wir sprechen vom Phasenraum, nicht vom Konfigurationsraum! ). In solchen Systemen bedeutet eine Windungszahl, sagen wir gleich 1, dass sich die Flugbahn einmal um ein solches Zentrum im Phasenraum dreht. Windungszahl gleich 2, dreht sich 2 mal usw. Unterschiedliche Windungszahlen können unterschiedliche Energie bedeuten! Denken Sie zum Beispiel an einen Stahlgürtel. Wicklung bedeutet, dass es eine Art Spirale bildet. Wenn es genug Zeit hat, kann es etwas Energie haben.
Aber da Sie zustimmen, dass Sie es eine bestimmte Anzahl von Malen aufwickeln müssen (wahrscheinlich weil Sie seine Enden auf eine bestimmte Weise binden müssen, um ein Abwickeln zu verhindern), wird dieses System ein diskretes Energiespektrum haben! Und Energiebänder trennten sich voneinander.
Topologische Invarianten können also zu einer Trennung von Trajektorien im Phasenraum führen, so dass eine zusätzliche Ordnung entsteht. Es wird sogar als topologischer Phasenübergang bezeichnet, denn wenn sich die Dynamik ändert, kann diese Ordnung brechen, was zu einer drastischen Änderung des Systemverhaltens führt.
Die von Ihnen erwähnte Bandstruktur ist eines der Signale einer solchen zusätzlichen Ordnung. Es kann sich als Energie, Impuls, Raum usw. Ordnung/Bänder zeigen.
Sehr ähnliche Phänomene können in Kristallnetzwerken, Halbleitern, Quantensystemen, nichtlinearer Dynamik, Polymerdynamik, Niedertemperaturphasen auftreten, in denen die Energie pro Teilchen so gering ist und Systeme isoliert sind, damit die Quanteneingriffe nicht unterbrochen werden können usw
Das Wichtigste ist, dass topologische Erhaltungsgrößen normalerweise unabhängig von verschiedenen physikalischen Eigenschaften sind und normalerweise nur von der sehr grundlegenden Struktur des Systems abhängen: seiner topologischen Konfiguration. Und natürlich hängt dies normalerweise von kontinuierlichen Beziehungen ab, die im System definiert sind. Wenn einer der Parameter aus irgendwelchen Gründen nicht stetig wird, wird die topologische Erhaltung unterbrochen.