Spektren von Kantenzuständen numerisch bestimmen

Einfach, kombinieren Sie Real- und$\mathbf{k}$-Weltraumbilder! Die Grundidee ist, Ihre aufzuteilen$n$-dimensionales System in mehrere$(n-1)$-dimensionale Systeme. Angenommen, Sie haben ein quadratisches 2D-Gitter und definieren Ihre Kanten entlang$x$-Richtung. Dann müssen Sie das 2D-Gitter in 1D-Gitter zerlegen, die in die zeigen$x$-Richtung. Mit anderen Worten, Sie müssen die Translationssymmetrie in brechen$y$-Richtung. Betrachten Sie der (analytischen) Einfachheit halber das Modell in:

Markus König, Hartmut Buhmann, Laurens W. Molenkamp, ​​Taylor Hughes, Chao-Xing Liu, Xiao-Liang Qi und Shou-Cheng Zhang. „ Der Quantenspin-Hall-Effekt: Theorie und Experiment .“ Journal of the Physical Society of Japan 77 , No. 3 (2008): 031007. ( arXiv )

In Gl. (10) sie haben a$\mathbf{k}$-Raummodell, auch als Bernevig-Hughes-Zhang (BHZ)-Modell bekannt, des gesamten 2D-Systems

$${\cal H}=\sum_{\mathbf{k}}\left(A\sin(k_{x})\Gamma^{1}+A\sin(k_{y})\Gamma^{2}+{\cal M}(\mathbf{k})\Gamma^{5}\right)c_{\mathbf{k}}^{\dagger}c_{\mathbf{k}}$$ Wo $M(\mathbf{k})=M-2B\left(2-\cos(k_{x})-\cos(k_{y})\right)$und die Gitterkonstante wurde auf 1 gesetzt. Der nächste Schritt, wie Gl. (11) zeigt, ist nur die Fourier-Transformation zurück in den Realraum $y$-Richtung aber die verlassen $x$-Richtung unverändert. Das meinte ich, als ich sagte, wir „kombinieren Real- und $\mathbf{k}$-Weltraumbilder.“ Mit anderen Worten, wir brechen die Translationssymmetrie nur in der $y$-Richtung. Dies geschieht durch Einsetzen von Gl. (11), die hier der Einfachheit halber wiederholt wird, in die obige Gleichung $$c_{\mathbf{k}}=\frac{1}{L}\sum_{j}e^{ik_{y}j}c_{k_{y},j}$$ Wo $j$ist die Koordinate des Gitters (oder der 1D-Kette) in der $y$-Richtung u $y=0,1,2,\dots L$. In diesem Beispiel $L$wird nicht so viel ausmachen; aber es wird, wenn Sie die Streuung numerisch berechnen. Ein Brute-Force-Plug-and-Play gibt

$$\mathcal{H} = \frac{1}{L^{2}}\sum_{k_{x}k_{y}}\left[A\sin(k_{x})\Gamma^{1}+\frac{A}{2i}\left(e^{ik_{y}}-e^{-ik_{y}}\right)\Gamma^{2}\right. \\ \left.+\left(M-2B\left(2-\cos(k_{x})-\frac{1}{2}\left(e^{ik_{y}}+e^{-ik_{y}}\right)\right)\right)\Gamma^{5}\right]\sum_{\ell}e^{-ik_{y}\ell}c_{k_{x},\ell}^{\dagger}\sum_{j}e^{ik_{y}j}c_{k_{x},j}$$

$$\mathcal{H} = \frac{1}{L}\sum_{k_{x}}\sum_{j}\left[A\sin(k_{x})\Gamma^{1}+\left(M-4B+2B\cos(k_{x})\right)\Gamma^{5}\right]c_{k_{x},j}^{\dagger}c_{k_{x},j} \\ +\frac{1}{L}\sum_{k_{x}}\sum_{j}\left(-\frac{iA}{2}\Gamma^{2}+B\Gamma^{5}\right)c_{k_{x},j+1}^{\dagger}c_{k_{x},j}$$

$$\mathcal{H} = \frac{1}{L}\sum_{k_{x}}\sum_{j}\mathcal{M}(k_{x})c_{k_{x},j}^{\dagger}c_{k_{x},j}+\frac{1}{L}\sum_{k_{x}}\sum_{j}\mathcal{T}^{\dagger}c_{k_{x},j+1}^{\dagger}c_{k_{x},j}+\frac{1}{L}\sum_{k_{x}}\sum_{j}\mathcal{T}c_{k_{x},j-1}^{\dagger}c_{k_{x},j}$$

Wo$\mathcal{M}(k_{x})=A\sin(k_{x})\Gamma^{1}+\left(M-4B+2B\cos(k_{x})\right)\Gamma^{5}$Und$\mathcal{T}=(iA/2)\Gamma^{2}+B\Gamma^{5}$und wir haben von der Deltafunktionsidentität des Typs Gebrauch gemacht

$$\frac{1}{L}\sum_{k_{y}}e^{ik_{y}(j-\ell\pm1)}=\delta_{j-\ell\pm1}$$ mehrmals. Mit dem Ansatz in Gl. (15), dh $\psi_{\alpha}(j)=\lambda^{j}\phi_{\alpha}$, kann eine analytische Lösung der Randzustände erhalten werden (siehe Gl. (22)). Die Lösung der Eigenwertgleichung mit diesem Ansatz wurde elegant in Abschnitt 2.2 von diskutiert:

G. Tkachov und EM Hankiewicz. „ Spinhelikaler Transport in normal- und supraleitenden topologischen Isolatoren .“ physica status solidi (b) 250 , nr. 2 (2013): 215. ( arXiv )

und ich werde es hier nicht wiederholen. Im Fall von Graphen, wie von Kane und Mele diskutiert, haben wir nicht so viel Glück. In diesem Fall müssen wir den obigen Hamiltonoperator numerisch diagonalisieren, indem wir wählen$L$= 50-100. Das Hauptkriterium bei der Bestimmung$L$stellt sicher, dass sich die Randzustandswellenfunktion an gegenüberliegenden Grenzen überlappt ($y$=0 und$y=L$) Ist vernachlässigbar. Ich vermute, dass Sie es nur durch Versuch und Irrtum herausfinden.

Ein weiterer Hauptunterschied zwischen BHZ und dem Kane-Mele-Modell besteht darin, dass wir im Kane-Mele-Modell die zusätzliche Komplexität haben, zu bestimmen, ob wir eine Zickzack- oder Sesselgrenze haben. Je nachdem, welche Wahl wir treffen, müssen wir die 1D-Systeme entsprechend definieren; Sie sind offensichtlich keine geraden Linien wie in BHZ und hängen davon ab, ob Sie die Translationssymmetrie in brechen$x$- oder$y$-Richtung.

Hoffe das hat geholfen.

PS : Ich weiß, dass ich bei den obigen algebraischen Manipulationen ein paar Schritte übersprungen habe und den Rest der Lösung auf das obige Papier verwiesen habe. Falls Sie interessiert sind, könnte ich ein PDF-Dokument hochladen, das alle Schritte enthält.