Ich habe mehrere unterschiedliche Definitionen für sogenannte topologische Invarianten gesehen , zum Beispiel im Zusammenhang mit
Ungepaarte Majorana-Modi, von Kitaev: http://arxiv.org/abs/cond-mat/0010440
Topologischer Isolator in 3D, von Fu, Kane und Mele: http://arxiv.org/abs/cond-mat/0607699
Ich würde gerne ein bisschen mehr verstehen, wie sie aufgebaut sind. Sind sie Einschränkung einer generischen mathematischen Theorie (vielleicht die berühmte Chern-Konstruktion) oder werden sie für jeden Fall unabhängig konstruiert (z. B. für jede physikalische Eigenschaft, die sie haben, wie die halbe Ladung für den Majorana-Modus und den chiralen Modus für 3D-TI ) ?
Eine untergeordnete Frage (die eventuell auf einen anderen Posten verschoben werden könnte) wäre: tauchen diese topologischen Invarianten in der Berechnung einiger physikalischer Größen auf? Beispielsweise tauchte die Chern-Zahl explizit in Quanten-Hall-Systemen in der Berechnung der Leitfähigkeit auf. Was ist mit den obigen Beispielen?
Explizite Konstruktionen würden sehr geschätzt werden.
Eine topologische Invariante ist eine stetige Abbildung :
Leider ist die genaue Definition von ist noch Gegenstand aktueller Forschung. Um es kurz zu machen, wir wissen ein paar Dinge darüber, was seine Elemente charakterisieren sollte: Sie sollten eine Art Lücke (spektrale Lücke oder Mobilitätslücke) haben, die es zu einem Isolator macht, falls das betrachtete System in allen Raumrichtungen unendlich ist (halb-unendliche Randsysteme dürfen Leiter sein, sollten aber von lückenhaften unendlichen Systemen abstammen). Sie sollten lokal sein (außerdiagonale Matrixelemente haben, die im Abstand zwischen den beiden Raumpunkten des Matrixelements exponentiell abfallen). Sie sollten wie alle Hamiltonianer selbstadjungiert sein. Sie sollten möglicherweise bestimmten Symmetrien gehorchen, dh mit einem (festen) unitären oder anti-unitären Symmetrieoperator kommutieren oder anti-kommutieren.
Bisher waren die einzigen konstruierten topologischen Invarianten solche ist gleich oder . Aber das ist nicht in Stein gemeißelt. Das Ergebnis des Habens diskret ist, dass stetige Abbildungen darin lokal konstant sind, daher der Name invariant .
Wie ist so ein konstruiert?
1) Überlege dir eine Karte , und beweise, dass sie stetig ist. Wenn ich mich nicht irre, so ist die FKM-Invariante entstanden.
2) Verwenden Sie eine mathematische Theorie der (Homotopie-) Klassifikation von Räumen, um systematisch Invarianten zu erzeugen. Wenn Sie weiterhin davon ausgehen, dass Ihr System übersetzungsinvariant ist (eine physikalisch schlechte Entscheidung, da zum Beispiel Unordnung notwendig ist, um Schlüsselmerkmale des IQHE zu erklären), können Sie es anzeigen als Raum von Vektorbündeln und verwenden Sie dann die Theorie der Klassifikation von Vektorbündeln. Eine Einführung finden Sie in dem Buch von Milnor mit dem Titel "Characteristic Classes". Die erste Chern-Zahl ist ein Beispiel für eine Invariante, die auf diese Weise in der wegweisenden Arbeit von TKKN konstruiert wurde. Wenn Sie keine Translationsinvarianz annehmen, betreten Sie das Reich der nicht-kommutativen Geometrie und dann gibt es eine parallele Theorie der charakteristischen Klassen, die von Alain Connes entwickelt wurde. Hier sind die Vektorbündel ersetzenden mathematischen Objekte Projektionen in C-Stern-Algebren. Ihre Homotopietheorie heißt "C-Star-Algebra K-Theorie" und ein gutes Buch für den Anfang ist Rordams . Dann wäre die Parallele zu Milnors Buch in dieser Umgebung Higsons Buch mit dem Titel "Analytic K-Homology".. Jetzt gibt es eine Formel für die nicht kommutative erste Chern-Zahl, die keine Bloch-Zerlegung erfordert (nur ein Beispiel, das das Beispiel der ersten Chern-Zahl ergänzt). Diese Ansicht wurde von Jean Bellissard vertreten. Ob in kommutativer oder nicht-kommutativer Geometrie, die Konstruktion solcher Invarianten ist völlig systematisch und lässt keinen Raum für Wahlmöglichkeiten. Beachten Sie jedoch, dass diese Klassifizierung nicht vollständig ist, sodass weitere Invarianten über den Rahmen von (kommutativen oder nicht kommutativen) Merkmalsklassen hinaus konstruiert werden können.
Soweit ich die Dinge verstehe, wurde erst im IQHE zuerst die physikalische Größe berechnet und dann später als topologisches Objekt "erkannt". Ich denke, alle anderen Invarianten wurden bisher umgekehrt konstruiert. Das heißt nicht, dass sie keine physikalisch messbare Bedeutung haben. Eine weitere interessante Frage ist, ob diese Größen die Reaktion des Systems auf eine treibende Kraft darstellen (wie im IQHE-Fall, wo die Hall-Leitfähigkeit eine lineare Reaktion auf die Ansteuerung des Systems mit einem elektrischen Feld ist, das über die Formel von Kubo berechnet wird). Die Antwort auf diese Frage scheint "Nein" zu lauten, und der FKM-Index ist wahrscheinlich ein Gegenbeispiel.
Dieses Papier Eine kurze Anleitung zu topologischen Begriffen in den effektiven Theorien der kondensierten Materie von Akihiro Tanaka und Shintaro Takayoshi (Februar 2015), in dem die topologischen Begriffe in den effektiven Feldtheorien von CMP untersucht werden, ist möglicherweise das, womit Sie beginnen möchten. Die Übersicht erschöpft jedoch möglicherweise nicht alles, was in der Literatur erschienen ist.
Eine topologische Invariante in kondensierten Materiesystemen ist eine Zahl, die sich unter einer glatten Deformation des Hamilton-Operators nicht ändert. Ich stelle mir dies gerne als Dehnung eines Materials vor, das beispielsweise die Sprungkonstanten ändern würde. Nun, die Art und Weise, wie man eine solche Zahl nehmen kann, kann variieren, und ich glaube nicht, dass es eine Einschränkung in der Definition gibt, noch dass es eine tiefe Verbindung gibt.
Zum Beispiel:
In einem Gaped-System könnte man die Berry-Phase verwenden, um eine solche Invariante in einem Bereich des Parameterraums zu berechnen. (eine Z-Invariante)
Ein anderer Fall wäre, wenn man antwortet, ob es degenerierte Punkte in der Brilloin-Zone gibt oder nicht. Die Antwort ist ja oder nein (Z2-Invariante).
PPR