Ist das eine topologische Z2Z2\mathbb Z_2 (Majorana-)Invariante in *irgendeiner* Dimension?

Betrachten Sie einen nicht-wechselwirkenden supraleitenden Hamilton-Operator in einer beliebigen Dimension. Dies wird am bequemsten in Form von Majorana-Modi ausgedrückt, die definiert sind als

γ 2 N − 1 = C N + C N †  Und  γ 2 N = − ich ( C N − ich C N † )
für jede komplexe fermionische Mode C N . Der Einfachheit halber beschriften wir N = 1 , 2 , ⋯ N Wo N ist unsere Anzahl von Standorten, aber ich gehe nicht von einer eindimensionalen Struktur aus (dh ich erzwinge keinen Begriff der Lokalität in Bezug auf diese Kennzeichnung). Ein generischer Hamiltonoperator wird dann geschrieben als
H = ich ∑ N , M γ N A N M γ M
Wo A ∈ R 2 N × R 2 N ist antisymmetrisch: A T = − A .

Eine Lücke über dem Grundzustand zu fordern, ist gleichbedeutend damit, dies zu fordern det A ≠ 0 . (Tatsächlich: die positiven Eigenwerte von A sagen Sie uns die Anregungsenergien der einzelnen Teilchen.) Aber in diesem Fall das Vorzeichen des Pfaffschen von A ist eine wohldefinierte Größe (z pf A det A ).

Dies ergibt scheinbar eine Topologie Z 2 invariant, unabhängig von der Dimensionalität! Aber das muss falsch sein, denn die Klassifikation von nicht-wechselwirkenden topologischen Isolatoren/Supraleitern sagt uns, dass diese Klasse von Hamiltonoperatoren (,Klasse D‘) nur a hat Z 2 unveränderlich, wenn die Dimension des Raumes ist D = 1 Mod 8 .

Antworten (1)

[Disclaimer: Ich finde den Schluss etwas überraschend, also vielleicht vorläufig, aber ich sehe keinen anderen Ausweg.]

Wie Kitaev (vgl. Gleichung (19) seiner wegweisenden Arbeit ) darauf hinwies, gilt das Obige Z 2 invariant ist nämlich einfach gleich der fermionischen Parität (= Parität der Anzahl der Fermionen) des Grundzustandes, dh P | ψ ⟩ = ± | ψ ⟩ . Dies steht im Einklang mit dem, was wir über die Kitaev/Majorana-Kette wissen: Bei geschlossenen Randbedingungen ist die fermionische Parität des Grundzustands − 1 .

Damit wird das obige deutlich Z 2 Invariante ist in der Tat in jeder Dimension wohldefiniert ! Der einzige Ausweg muss sein: in zB Dimensionen D = 3 , 4 , 5 , 7 (für die die `D-Klasse' laut Klassifikationstabelle nur eine triviale Phase hat, vgl. Tabelle 3 der Arbeit von Ryu et al. ) muss es unmöglich sein, einen Hamiltonoperator aufzuschreiben, für den der Grundzustand eine ungerade Zahl von hat Fermionen. (Es müssten einige Bedingungen dafür gelten, um es genau zu machen: zB ' für eine gerade Anzahl von Orten ', ' mit einer wohldefinierten thermodynamischen Grenze ', ...)

Zusammengefasst: Die Z 2 Invariante ist zwar wohldefiniert, aber man findet nicht immer ein Beispiel, das einen nicht-trivalen Wert realisiert.

Betrachten Sie das viel einfachere Beispiel der komplexen Klassen der Tabelle: Man kann immer eine Windungszahl definieren, aber sie ist nur dann ungleich Null, wenn die BZ eine ungerade Dimension hat.
Sicherlich findet man Systeme ungerader Parität in jeder Dimension: einfach Kitaev-Ketten passend übereinander stapeln. Dies könnte auf eine Auflösung hindeuten: Nicht alle Invarianten manifestieren sich in gleicher Weise am Rand. Insbesondere die Gruppen im Periodensystem sind starke Invarianten, die mit Top-Dim-Zyklen in der BZ verbunden sind (in der nicht-wechselwirkenden, translationsinvarianten Physik). Es gibt viel mehr schwache Invarianten, die mit niedrigeren Dim-Invarianten assoziiert sind.
Ist das eine topologische Z2Z2\mathbb Z_2 (Majorana-)Invariante in *irgendeiner* Dimension?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v