Berechnung der Leitfähigkeit aus Greenschen Funktionen

Ich kann versuchen, die allgemeine Idee hier zu skizzieren, aber meine Schlussfolgerung ist möglicherweise nicht sehr genau (bitte lesen Sie in Ihren Büchern nach, um die Koeffizienten und Vorzeichenkonventionen zu überprüfen).

Ich denke also, die Frage ist, dass ein freies Fermion-System gegeben ist, das durch die folgende Aktion beschrieben wird

$$S=-\sum_k\psi_k^\dagger G^{-1}(k)\psi_k, ...(1)$$ Wo $G(k)=-\langle\psi_k\psi_k^\dagger\rangle$ist die Greensche Funktion bei der Impulsfrequenz $k=(i\omega,\vec{k})$, was ist die elektrische DC-Leitfähigkeit?

1. Beginnen Sie mit der Definition der Leitfähigkeit$j_\mu=\sigma_{\mu\nu} E_{\nu}$(Wo$j_\mu$ist die aktuelle und$E_\nu$ist das elektrische Feld). Betrachten Sie die lineare (differentielle) Antwort $$\sigma_{\mu\nu}= \frac{\delta j_\mu}{\delta E_\nu}....(2)$$
2. Führen Sie das Eichpotential ein$A_\mu$. Per Definition ist Strom die Quelle des Messpotentials, dh$j_\mu = \delta S/\delta A_\mu$, und das elektrische Feld ist der konjugierte Impuls des Eichpotentials, was bedeutet$E_\nu=\partial_t A_\nu$nach der Bewegungsgleichung. Setzen Sie in den Ausdruck Gl. (2) für$\sigma$ $$\sigma_{\mu\nu} = \frac{\delta}{\delta \partial_t A_\nu}\frac{\delta S}{\delta A_\mu}=-i\delta_{A_0}\delta_{A_\nu}\delta_{A_\mu}S....(3)$$ Weil$i\partial_t$bedeutet die Frequenz$i\omega$. Für DC-Leitfähigkeit sollten wir die Frequenz senden$i\omega\to 0$, was bedeutet, dass wir tatsächlich in Bezug auf variieren$i\omega$. Aber weil$i\omega$tritt immer mit dem chemischen Potential auf$A_0$in Form von$(i\omega+A_0)$in der Aktion, also wird es gleichbedeutend mit nur in Bezug auf variieren$A_0$. So können wir ersetzen$1/\partial_t$von$-i\delta_{A_0}$(Es gibt mehr strenge Abzüge für diesen Ersatz, aber lassen Sie uns vorerst dieses einfache Argument nehmen).
3. Sie fragen sich vielleicht, wie das Messpotential ist$A_\mu$trat in die Aktion ein$S$(Beachten Sie, dass die ursprüngliche Fermion-Aktion nicht einmal das Feld enthält$A_\mu$). Dies geschieht durch die minimale Kopplungsprozedur, die einfach jeden ersetzen$k$von$k+A$. Die Wirkung in Gl. (1) ist eigentlich$S=-\sum_k\psi_k^\dagger G^{-1}(k+A)\psi_k$. Die Idee ist dann, das Fermion-Feld zu integrieren$\psi$, und erhalten Sie die effektive Aktion für das Eichfeld$S[A]$, kann dann die Leitfähigkeit nach Gl. (3). Aber all dies kann auf einfachere Weise erreicht werden, indem man sich dessen bewusst ist$k$erscheint immer mit$A$, So$\delta_A=\delta_k$, und damit Gl. (3) wird $$\sigma_{\mu\nu}=-i\delta_{k_0}\delta_{k_\nu}\delta_{k_\mu}S....(4)$$
4. Um die Impuls-Frequenz-Variation zu berechnen, sollten wir zuerst das Fermion-Feld herausintegrieren$\psi$: $$S\xrightarrow{\int\mathcal{D}[\psi]}S=-\sum_k\text{Tr}\ln(-G^{-1}(k))....(5)$$ Anwendung der Ableitungsregel$\delta G = G (\delta G^{-1}) G$was aus der Definition folgt$G G^{-1}\equiv 1$(und durch Variieren beider Seiten) ist es nicht schwer, aus den Gl. (4) und (5) das $$\sigma_{\mu\nu}=-i\sum_k \text{Tr} G(k)\gamma_0 G(k)\gamma_\nu G(k)\gamma_\mu, ...(6)$$ bei dem die$\gamma$Matrizen sind definiert als $$\gamma_\mu=-\partial_{k_\mu}G^{-1}(k)....(7)$$

OK. Gl. (6) ist bereits die Kubo-Formel, die in Bezug auf die Green-Funktion geschrieben wurde. Sie können einfach Ihre Green-Funktion einstecken und die Impuls-Frequenz-Summierung vervollständigen, um die elektrische Leitfähigkeit zu erhalten.

BEISPIEL:

Um zu demonstrieren, wie dies funktioniert, gestatten Sie mir bitte, ein einfaches Beispiel vorzustellen. Betrachten Sie die Hall-Leitfähigkeit eines Zweibandsystems

$$G(k)=(i\omega\sigma_0-k_1\sigma_1-k_2\sigma_2-m\sigma_3)^{-1}=\frac{i\omega\sigma_0+k_1\sigma_1+k_2\sigma_2+m\sigma_3}{(i\omega)^2-E^2},$$ mit $E=\sqrt{k_1^2+k_2^2+m^2}$. Aus Gleichung (7), $\gamma_0=-\sigma_0$, $\gamma_1=\sigma_1$, $\gamma_2=\sigma_2$. Dann Einstecken in Gl. (6). $$\sigma_{\mu\nu}=\sum_{k}\frac{2m}{((i\omega)^2-E^2)^2}=\sum_{\vec{k}}\frac{m}{2E^3}=\frac{m}{2|m|},$$ was wir für einen einzelnen Dirac-Kegel erwarten.