Hängt die Flugbahn eines Objekts, das einen Planeten umkreist, von der Masse des Objekts ab? (Mit hypothetischem Apollo-Beispiel)

Ungefähr, ja. Die groben Gravitationswirkungen auf die Bahnen des Raumfahrzeugs und des anderen Objekts werden die gleichen sein.

Die Schwerkraft zwischen zwei Objekten ist proportional zum Produkt ihrer Massen; von$F = m a$, hebt die Beschleunigung jedes Objekts seine eigene Masse auf ($a = \frac {F} {m}$) und hängt damit von der Masse des anderen Objekts ab.

Da sich der Bolzen während der Reise jedoch an einem sehr geringfügig anderen Ort relativ zu Erde und Mond befindet, wird der Einfluss der Schwerkraft auf ihn in Höhe und Richtung geringfügig unterschiedlich sein, sodass er nicht einer genau parallelen Flugbahn folgt. Es wird jedoch extrem nah sein, und in der Praxis glaube ich, dass der Unterschied im Gravitationseinfluss winzig sein wird, verglichen mit der Schwierigkeit, das Objekt mit genau null Anfangsgeschwindigkeit relativ zum Raumfahrzeug freizusetzen. Es gäbe auch andere verwirrende Faktoren: Der Sonnendruck auf die beiden Körper würde sie unterschiedlich stark vom Kurs abbringen, das Raumschiff wird verschiedene Dinge ablassen, die es herumschieben usw.

Die Erdbeschleunigung ist unabhängig von der Masse identisch, vorausgesetzt, die Masse Ihres Raumfahrzeugs ist im Vergleich zur Masse des Objekts, das Sie umkreisen, vernachlässigbar. Zum Beispiel ist der Erdmond groß genug, um die Bewegung der Erde zu bewirken, sodass er nicht den Erdmittelpunkt umkreist, sondern den gemeinsamen Massenmittelpunkt von Erde und Mond ( Baryzentrum ) . Streng genommen gilt dies für jeden umlaufenden Körper, aber für kleine Objekte ist es realistisch anzunehmen, dass der Schwerpunkt der Erdmittelpunkt ist.

Die Schwerkraft ist jedoch nicht die einzige Kraft, die auf das Raumfahrzeug wirkt, obwohl sie bis zum Eintritt in die Erdatmosphäre am stärksten sein wird. Der Widerstand der oberen Erdatmosphäre würde wahrscheinlich unterhalb von 2000 km Höhe spürbar sein und die beiden Objekte mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten beschleunigen, wodurch sie auseinanderlaufen würden. Auch der Druck der Sonnenstrahlung beschleunigt sie mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten, aber diese Kraft ist so gering, dass es länger als eine einzige Umrundung dauern würde, bis sie bemerkt wird.

Die beiden Objekte würden also ungefähr im gleichen Abstand bleiben, bis die Auswirkungen des Luftwiderstands in der oberen Atmosphäre messbar werden.

Was die anderen Antworten nicht erwähnen, ist, dass sich die Masse Ihres umkreisenden Objekts tatsächlich aufhebt. Das ist egal. Siehe diese beiden Gleichungen:

(1)$F_1 = F_2 = G m_1 m_2 / r^2$

(2)$F_1 = m_1 a_1$

Wobei F die Kraft ist, G die universelle Gravitationskonstante ist, m die Masse ist und r der Abstand zwischen den Massenschwerpunkten der fraglichen umlaufenden und umlaufenden Körper ist. Die 1 und 2 repräsentieren beispielsweise das betreffende Objekt$m_1$ist die Masse von Objekt 1 und$F_1$ist die auf Objekt 1 ausgeübte Kraft.

Daher,

$a_1 = G m_2 / r^2$

dh die Masse des umlaufenden Objekts beeinflusst seine Beschleunigung in keiner Weise.

Bearbeiten: Index 1 zu a hinzugefügt .

Dies ist eine späte Antwort; Eine eng verwandte Frage wurde kürzlich als Duplikat davon geschlossen.

Hängt die Flugbahn eines Objekts, das einen Planeten umkreist, von der Masse des Objekts ab?

Ja tut es.

Einige der Antworten berufen sich richtig auf das Prinzip der Universalität des freien Falls, das vorschreibt, dass die Beschleunigung aus der Perspektive eines Trägheitsbezugssystems eines Objekts zur Erde unabhängig von der Masse des Objekts ist. Was diese Antworten übersehen, ist, dass die Universalität des freien Falls auch vorschreibt, dass die Erde auf das umlaufende Objekt beschleunigt werden muss, und diese Beschleunigung ist direkt proportional zur Masse des Objekts.

Dies bedeutet, dass die Umlaufzeit eines Objekts die Erde umkreist

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{a^3}{G(M+m)}}$$ Wo$a$ist die Länge der großen Halbachse der Umlaufbahn,$G$ist die Newtonsche Gravitationskonstante,$M$ist die Masse der Erde, und$m$ist die Masse des umlaufenden Objekts. Dies ist die Newtonsche Version von Keplers drittem Gesetz.

In einem theoretischen Universum, in dem unser Mond durch ein erdgroßes Objekt mit einer Umlaufbahn von 385.000 km ersetzt wurde, würden dieses erdgroße Objekt und die Erde einander in 19,3 Tagen anstatt in 27,3 Tagen umkreisen, was der Länge eines Sternmonats entspricht. In einem weiteren theoretischen Universum, in dem unser Mond durch einen winzigen Felsen ersetzt wurde, der bei 385.000 km umkreist, würde der winzige Felsen die Erde in 27,5 Tagen anstatt in 27,3 Tagen umkreisen.

Dies ist eine späte Antwort; Eine eng verwandte Frage wurde kürzlich als Duplikat davon geschlossen.

Beeinflusst die Masse des umlaufenden Körpers die Umlaufgeschwindigkeit?

tl;dr: Ja, das tut es immer, ungefähr halb so viel. Wenn es klein ist, wie ein Millionstel der Masse der Primärwelle, beträgt die Geschwindigkeitsänderung beispielsweise ein halbes Millionstel. Im Extremfall, wenn die beiden Massen gleich sind, bricht der Trend jedoch zusammen und die Geschwindigkeit beträgt jetzt 70,7% ($\sqrt{1/2}$) eher als die Hälfte.

Wenn Sie den Mond entfernen und einen kleinen Stein darauf legen, würde er 0,6 % schneller umkreisen als der Mond. Jupiter ist etwa 1/1000 der Sonne oder 0,1 % der Masse. Wenn Sie Jupiter entfernen und dort einen kleinen Planeten platzieren würden, würde er 0,05 % schneller umkreisen als Jupiter!

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Wikipedias Two Body Problem und Circular Orbit sind hilfreich, aber ich fand, dass die Seite 15 von cnx.org. Two Body System - Circular Motion eine besonders einfache Behandlung des kreisförmigen Zwei-Körper-Problems enthält.

Commons Attribution 4.0-Lizenz.

Verwenden

$$r = r_1 + r_2$$

$$m_1 r_1 = m_2 r_2$$

$$\frac{v_1}{r_1} = \frac{v_2}{r_2}$$

$$\omega_1 = \omega_2 = \omega \ \ \text{ orbital angular speed}$$

$$M = m_1 + m_2$$

$$m_2 = M\frac{r_1}{r_1 + r_2}$$

...dann passiert etwas Mathe und Physik...

$$\omega = \sqrt{\frac{GM}{r^3}} = sqrt{\frac{G(m_1+m_2)}{r^3}}$$

Die Umlaufgeschwindigkeit jedes Körpers wäre nur die Winkelgeschwindigkeit$omega$mal der Radius jedes Körpers:

$$v_1 = \omega r_1$$

$$v_2 = \omega r_2$$

$$r2 = r \frac{m_1}{M}$$

$$v_2 = \omega r_2 = \omega r \frac{m_1}{M} = \sqrt{\frac{G(m_1+m_2)}{r^3}} r \frac{m_1}{M}$$

Es kann gezeigt werden, dass wenn$m_1$(dh Masse der Erde) ist konstant und die Trennung zwischen den beiden$r$konstant ist, dann ist die Geschwindigkeitsänderung halb so schnell wie das Massenverhältnis, solange es noch ziemlich klein ist.

Wenn beispielsweise die Masse des kleinen Objekts ein Millionstel der Masse des großen Objekts beträgt, dann beträgt die Geschwindigkeitsänderung (im Vergleich zum masselosen kleinen Objekt) ein halbes Millionstel .

Für den Mond haben wir zu sagen$m_2 = m_1 / 81$, Dann

$v_2$= 0,9939$r_2$= 0,9878$\omega$= 1,0062 und$\omega r_2$= 0,9939

Der Mond mit 1,23 % der Erdmasse würde sich 0,61 % langsamer bewegen als ein winziger Satellit.

Dieser Trend der „halben Differenz“ bricht zusammen, wenn die beiden Massen näher aneinander herankommen.

Wenn das zweite Objekt die gleiche Masse wie die Erde hätte, sagt dieser Trend, dass die Geschwindigkeit halb so hoch wäre wie die des winzigen Satelliten, aber es stellt sich heraus, dass die Geschwindigkeit stimmt$\sqrt{1/2}$oder 70,7 % statt 50 %.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

m1 = 1.0

m2 = np.logspace(-10, 0, 101)

M = m1 + m2

r = 1.0
G = 1

omega = np.sqrt(G * M / r**3)
r2  = r * m1 / M
v2 = omega * r2

plt.figure()
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(m2, v2)
plt.xscale('log')
plt.ylim(None, 1.02)
plt.ylabel('v(m2=0) - v "how much slower"')
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(m2, 1 - v2)
plt.xscale('log')
plt.yscale('log')
plt.xlabel('m2 with m1 = 1')
plt.ylabel('v(m2=0) - v "how much slower"')
plt.suptitle('G = r = m1 = 1')
plt.show()