Warum zeigt der Exzentrizitätsvektor immer auf die Periapsis einer Umlaufbahn?

$$\newcommand{\a}{\mathbf{\ddot{\vec{r}}}} \newcommand{\v}{\mathbf{\dot{\vec{r}}}} \newcommand{\x}{\times} \newcommand{\r}{\mathbf{\vec{r}}} \newcommand{\h}{\mathbf{\vec{h}}} \newcommand{\e}{\mathbf{\vec{e}}} \newcommand{\L}{\mathbf{\vec{L}}} \newcommand{\p}{\mathbf{\vec{p}}}\newcommand{\A}{\mathbf{\vec{A}}}\newcommand{\o}{\mathbf{\cdot}}$$

Der Exzentrizitätsvektor ($\e$) ist eine konservierte Größe (etwas langer und mäandernder Beweis am Ende), sodass Sie ihre Größe überall auf der Umlaufbahn berechnen können, die Sie möchten, aber es gibt bestimmte Orte, an denen die Antwort einfacher herauszufinden ist als an anderen. Die Suche nach dem einfachsten von allen bringt Sie zur Periapsis, also verwenden wir diese, um die Standardformel zu definieren.

$\h=\r\x\v$, wenn Sie also seine skalare Größe schreiben, ist es am einfachsten, dies bei Apoapsis und Periapsis zu tun, denn dann ist die Antwort gerecht$r\dot{r}$, die Größe des Radius mal der Größe der Geschwindigkeit, ohne trigonometrische Funktion des Winkelterms, weil nur entlang der Linie Apsiden sind$\r$Und$\v$aufrecht. Wenn Sie dann versuchen, die Größe von zu berechnen$\r\x\h = \v\x(\r\x\v)$, Sie finden es wieder am einfachsten, entweder bei Periapsis oder Apoapsis zu tun, als$r\dot{r}^2$. Auf welches der beiden es zeigt, scheint Geschmackssache zu sein, aber dass es auf eines von beiden zeigen sollte, erscheint mir natürlich.

Der Beweis, den David Hammens Kommentar vorgeschlagen hat, sieht aus wie das Ergebnis einer so genannten Brute-Force-Suche nach Erhaltungsgrößen, bei der die Art von Vektoren, die man normalerweise bei mechanischen Problemen herumliegen findet (Position, Geschwindigkeit, Impuls ...) werden auf verschiedene Weise kombiniert, und wir nehmen Zeitableitungen von allen auf der Suche nach etwas, das gleich Null ist. Warum nehmen wir die Ableitungen dieser besonderenKombinationen, eher als viele andere, die wir in Betracht ziehen könnten, liegt daran, dass diese Physiker wie Laplace (1799) dazu veranlassten, interessante Nullstellen zu finden und sie zu veröffentlichen. Es sieht aus wie ein Taschenspielertrick – scheinbar willkürliche Kombinationen der Positions- und Geschwindigkeitsvektoren zu machen, nur um zu sehen, was passiert, und sich dann überrascht zu verhalten, über eine Formel gestolpert zu sein, die die Gleichung der Umlaufbahn angibt – aber es ist wirklich nur die Antwort zu kennen und rückwärts zu arbeiten.

Die meisten Lehrbücher folgen demselben grundlegenden Ansatz; die Art und Weise, wie Howard Curtis es in Orbital Mechanics for Engineering Students (4. Auflage, Seiten 67-74, 2020) behandelt, folgt beispielsweise eng der Methode von Herbert Goldsteins Classical Mechanics (2. Auflage, Seiten 102-105, 1980), fügt jedoch a hinzu Haufen von Bildern und zeigt noch viel mehr Zwischenschritte in der Algebra. Ich habe das von Goldstein gelernt, aber er geht von der Euler-Lagrange-Gleichung aus , von der ich nicht annehme, dass sie jeder kennt. Ich werde die Dinge jedoch so allgemein wie möglich halten, solange ich kann.

Physiker mögen Impuls, sowohl linearer Impuls ($\p$) und Drehimpuls ($\L=\r\x\p$), zum Teil, weil in vielen Situationen von praktischem Interesse einer oder beide erhalten bleiben , was bedeutet, dass sich ihre Werte mit der Zeit nicht ändern. Ausdrücke für$\p$kann ein wenig kompliziert werden, z. B. wenn Elektromagnetismus eingeführt wird, aber jetzt betrachten wir den einfachsten Fall,$\p=m\v$. Dann$\L=m\r\x\v$, Und$\h=\L/m=\r\x\v$. Betrachten Sie nun die Ableitung von$\h$zeitlich mit Hilfe der Produktregel:

$$\frac{d\h}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\r\x\v\right) = \frac{d\r}{dt}\x\v + \r\x\frac{d\v}{dt} = \v\x\v + \r\x\a$$

Wir wissen$\v\x\v$ist per Definition des Kreuzprodukts immer Null. Für jede Kraft, die parallel zum radialen Positionsvektor wirkt,$m\a=\mathbf{\vec{F}}=f(r)\r/r=f(r)\mathbf{\hat{r}}$, So$\r\x\a$ist proportional zu$\r\x\r$, die per Definition auch immer Null ist, so dass für jede solche Kraft (die wir als zentral bezeichnen ) der Drehimpuls erhalten bleibt ($\mathbf{\dot{\vec{L}}}=m\mathbf{\dot{\vec{h}}}=0$). Da das für uns gut funktioniert hat, machen wir es noch einmal, aber unter Berücksichtigung von zwei anderen Kombinationen.

Nehmen Sie zuerst die zeitliche Ableitung der quadrierten Größe des Positionsvektors,$r^2=\|\r\|^2=\r\o\r.$Wir haben

$$\frac{d}{dt}r^2 = 2r\dot{r}\ \ \mathrm{and} \ \ \frac{d}{dt}\r\o\r = \v\mathbf{\cdot}\r + \r\o\v = 2\r\o\v\ \ ,$$ die uns das sagen$\r\o\v=r\dot{r}$, Im Algemeinen. Dies ist eine andere Art, Bewegung wo auszudrücken$\v$steht immer senkrecht auf$\r$ist Bewegung wo$\dot{r}=0$, was bedeutet, dass der Weg ein Kreis ist. Vorsicht hier:$\dot{r}$ist die Ableitung der Größe des Positionsvektors, die im Allgemeinen nicht gleich der Größe der Ableitung des Positionsvektors ist (was die Geschwindigkeit ist und bei Kreisbewegungen überhaupt alles sein kann). Beachten Sie, dass, wenn die Koordinaten in Bezug auf einen beliebigen Beobachter definiert sind,$r$ist die Reichweite des sich bewegenden Objekts zum Beobachter, und$\dot{r}$ist die Entfernungsrate , mit der das Objekt näher kommt (negativ$\dot{r}$), immer weiter weg (positiv$\dot{r}$) oder im gleichen Abstand bleiben (weil entweder$\v=0$oder$\r\o\v=0$), So$\dot{r}=\r\o\v/r$ergibt die Doppler-Verschiebung multipliziert mit der Geschwindigkeit des Signals.

Zweitens nehmen Sie die zeitliche Ableitung von$\p\x\L = m\v\x m\h$, was gleich ist$m^2\a\x\h$seit$\mathbf{\dot{\vec{h}}}=0$. Jetzt beginnt der Spaß. Wenn wir nichts über das Kraftgesetz wissen, müssten wir aufhören. Aber für eine zentrale Kraft wissen wir es$m\a=f(r)\r/r$, So

$$m^2\a\x\h = \frac{mf(r)}{r} \r \x (\r\x\v) = \frac{mf(r)}{r} \left[ \r (\r\mathbf{\cdot}\v) - \v(\r\o\r)\right] = \frac{mf(r)}{r} \left( r\dot{r}\r - r^2\v\right)$$ mittels einer Vektoridentität, die oft als "BAC-CAB"-Regel bezeichnet wird .

Noch eine scheinbar zufällige Zeitableitung nehmend,

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\r}{r}\right)=\frac{r\v-\dot{r}\r}{r^2} = \frac{\a\x\h}{r^3} \frac{r}{mf(r)}$$ Das bedeutet, wenn$f(r)=-k/r^2$für einige konstant$k$, die umgekehrte quadratische Kraft, die wir alle kennen und lieben (einschließlich des Gaußschen Elektrizitätsgesetzes sowie des Newtonschen Gravitationsgesetzes), also $$\frac{d}{dt}\left(\p\x\L\right)=\frac{d}{dt}\left(\frac{mk\r}{r}\right)$$ So$\A=\p\x\L-mk\r/r$hat die Zeitableitung Null und ist somit die gesuchte Erhaltungsgröße.

Nun, was wissen wir darüber$\A$? Also,$\A\o\L=0$, seit$\L$steht senkrecht dazu$\p\x\L$Und$\r$steht senkrecht dazu$\L=\r\x\p$, So$\A$muss in der gleichen Ebene liegen wie$\r$Und$\v$. Jetzt schreiben wir$\A\o\r = Ar\cos\theta$wie gewohnt mit$\theta$als Winkel zwischen den Vektoren$\A$Und$\r$. Da das dreifache Skalarprodukt zyklisch ist, können wir sagen$(\p\x\L)\o\r = (\r\x\p)\o\L = \L\o\L$, So$Ar\cos\theta=L^2-mkr$. Etwas mehr umschreiben bringt uns zu

$$\frac{1}{r}=\frac{mk}{L^2}\left(1+\frac{A}{mk}\cos\theta\right)$$ Der letzte Schritt besteht darin, mit Energiegleichgewichtsgleichungen herumzuspielen, um herauszufinden, dass die Exzentrizität der Orbitellipse in Bezug auf ihre große Halbachse ist$a$, Drehimpuls$L$, Masse$m$und Kraft konstant$k$Ist$e=\sqrt{1-L^2/mka}$, So$a(1-e^2)=L^2/mk$, was unsere Gleichung für bedeutet$\A\o\r$gibt genau die Ellipsenbahnformel an$r=a(1-e^2)/(1+e\cos\theta)$, so lange wie$A=mke$Und$\theta$ist die wahre Anomalie, das heißt$\A$weist auf Periapsis hin.

Dieser Beweis wurde im Laufe der Zeit immer schwerer nachzuvollziehen, und der letzte Teil ist gefährlich nah an "und dann geschieht ein Wunder", aber ich habe für heute schon zu viel geschrieben. Wenn jemand anderes eine gute Möglichkeit sieht, dies zu bereinigen, machen Sie bitte weiter.