Warum ist der L1-Punkt (Lagrange) fast 1 Million Meilen von der Erde entfernt? Sollte es nicht näher bei uns sein?

Wenn Sie 333.000 durch 10.000 dividieren, erhalten Sie 33,3, was bedeutet, dass die Sonne an einem Objekt auf L1 mit mehr als der dreißigfachen Kraft der Erde ziehen sollte ....

So sind die Lagrange-Punkte nicht definiert.

Irgendwo zwischen Sonne und Erde gibt es einen Punkt, an dem die Gravitationsbeschleunigung eines Objekts in Richtung Sonne genau gleich groß ist, aber in entgegengesetzter Richtung zur Gravitation dieses Objekts in Richtung Erde. Bezeichnung$G$als Newtonsche Gravitationskonstante,$M$als Masse der Sonne,$m$wie die Masse der Erde,$R$wie der Abstand zwischen der Erde und der Sonne, und$r$als Entfernung zwischen der Erde und dem betreffenden Punkt ist dies gegeben durch

$$\frac{G M}{(R-r)^2} = \frac{G m}{r^2}$$ Das Ergebnis ist das$r$beträgt etwa 258810 km oder etwa 2/3 der Entfernung zwischen Erde und Mond.

Beachten Sie, dass die Gravitationsbeschleunigung des Mondes in Richtung Sonne mehr als doppelt so groß ist wie die Gravitationsbeschleunigung des Mondes in Richtung Erde. (Einige verwenden diese Tatsache als Argument dafür, dass der Mond eher die Sonne als die Erde umkreist. Kraft ist keine gute Metrik, um festzustellen, ob Körper$c$Körper umkreist$a$oder Körper$b$. Der Mond umkreist die Erde.)

Ich schaue mir das zirkulär eingeschränkte Drei-Körper-Problem an. Das Drei-Körper-Problem untersucht im Allgemeinen, wie drei Körper, die einer gegenseitigen Gravitationskraft (und nichts anderem) ausgesetzt sind, interagieren. Das eingeschränkte Drei-Körper-Problem beschränkt die Untersuchung auf Fälle, in denen einer der drei Körper im Vergleich zu den anderen beiden eine so geringe Masse hat, dass dieser dritte Körper im Wesentlichen keinen Einfluss auf das Verhalten der beiden Hauptkörper hat. Das Circular Restricted Three Body Problem (kurz CR3TB) schränkt die Dinge noch weiter ein: Beim Circular Restricted Three Body Problem werden die beiden Hauptkörper auf kreisförmigen Bahnen umeinander angenommen.

Es kann hilfreich sein, die Dinge aus der Perspektive eines rotierenden Bezugsrahmens zu betrachten, um das Konzept der Lagrange-Punkte zu verstehen. Dieser Rahmen hat seinen Ursprung im Massenmittelpunkt der beiden primären Objekte, seine Rotationsachse ist die gleiche wie die Rotationsachse der Umlaufdrehimpulsachse der beiden Körper und dreht sich mit der gleichen Geschwindigkeit wie die beiden Körper umkreisen sich gegenseitig.

Aus Sicht dieses Drehrahmens haben die beiden Primärkörper feste Orte. Dies wirft eine interessante Frage auf: Gibt es Punkte, an denen der dritte Körper (der Körper mit vernachlässigbarer Masse) platziert werden kann, die aus der Perspektive dieses rotierenden Rahmens ebenfalls einen festen Ort haben? Die Antwort ist ja. Es gibt fünf solcher Punkte. Dies sind die Lagrange-Punkte. Alle fünf liegen auf der Bahnebene der beiden Primärkörper. Drei sind kollinear mit den beiden Primärkörpern. Die anderen beiden bilden mit den beiden Primärkörpern gleichseitige Dreiecke.

Ich schaue mir L ₁ an , den kollinearen Lagrange-Punkt, der zwischen den beiden Primärkörpern liegt. Ich werde bezeichnen

• $M$als Masse des größeren Primärkörpers,
• $m$als Masse des kleineren Primärkörpers,
• $R$als Abstand zwischen den beiden Primärkörpern,
• $d$als Abstand zwischen dem größeren Primärkörper und dem Massenmittelpunkt der beiden Primärkörper,
• $\omega$als Winkelgeschwindigkeit der Umlaufbahn der beiden Primärkörper umeinander, und
• $r$als der Abstand zwischen dem kleineren Primärkörper und dem L1 _- Punkt.

Dies ist ein gleichmäßig rotierender Rahmen, daher werden Punkte darin Zentrifugal- und Coriolis-Beschleunigungen ausgesetzt. Die Coriolis-Beschleunigung verschwindet für einen stationären dritten Körper und hinterlässt drei Beschleunigungen, die sich zu Null summieren müssen, um die Position dieses stationären Punktes zu finden:

$$(R-d-r)\,\omega^2 - \frac{GM}{(R-r)^2} + \frac{Gm}{r^2} = 0 \tag{1}$$ Aus der Newtonschen Mechanik,$d=R\frac m{M+m}$. Bezeichnung$\frac{m}{M+m}$als$\mu$ergibt sich$d=R\mu$. Mit der Tatsache, dass$\omega^2=\frac{G(M+m)}{R^3}$(ebenfalls aus der Newtonschen Mechanik) und bezeichnend$x=\frac{r}{R}$, Gleichung (1) kann umgeschrieben werden als $$(1-\mu-x)\,(1-x)^2\,x^2 - (1-\mu)\,x^2 + \mu\,(1-x)^2 = 0\tag{2}$$

Im Fall des Sonne-Erde-L _1- Punkts (genauer gesagt des Sonne-Erde-Mond-Schwerpunkts L _1- Punkt) ergibt sich daraus$x\approx 0.0100109943$. Angesichts der Skalierung ist dies ein Wert von$x$ist in astronomischen Einheiten. Umrechnung in metrische Erträge$r$beträgt etwa 1,497623 Millionen Kilometer oder etwa 930580 Meilen.

PS: Ist L2 genau so weit von uns entfernt wie L1? Oder nur ungefähr?

Nur ungefähr. Die zu Gleichung (2) äquivalente Gleichung für den L ₂ -Punkt ist

$$(1-\mu+x)\,(1+x)^2\,x^2 - (1-\mu)\,x^2 - \mu\,(1+x)^2 = 0\tag{3}$$ Die wirkliche Lösung ist$x\approx0.0100782578$, etwas größer als die Lösung für den Punkt L ₁ . Gleichung (3) ist wie Gleichung (2) eine quintische Gleichung. Beide Gleichungen haben vier komplexe Wurzeln und eine reelle Wurzel für$0<\mu<1$. Die wirklichen Lösungen liegen sehr nah beieinander. _{Der Punkt Sonne-Erde L 2} ist jedoch etwas weiter von der Erde entfernt als der Punkt Sonne-Erde L ₁ .

Quintische Gleichungen sind böse. Wie viele Quintiken können die Gleichungen (2) und (3) nur mit numerischen Methoden gelöst werden. Es gibt eine kubische Gleichung, die einen gemeinsamen Näherungswert für die Entfernung von der Erde zum Punkt Sonne-Erde L ₂ und zum Punkt Sonne-Erde L _{1 liefert.}