Was sind "nicht-keplerische" Umlaufbahnen? Was sind einige bekannte Beispiele in unserem Sonnensystem, und können einige noch geschlossen werden?

1. Was genau sind "nicht-keplerische" Bahnen?

Streng genommen sind keine Bahnen in perfekter Übereinstimmung mit den Keplerschen Gesetzen. Keplers Gesetze sind eigentlich keine „Gesetze“ im Sinne physikalischer Gesetzmäßigkeiten, sondern Trends, die Kepler anhand astronomischer Beobachtungen der Planeten bemerkt und berechnet hat. Keplers Gesetze sind sehr genau für Planetenbahnen, da er (für die damalige Zeit) sehr genaue Planetenbeobachtungen verwendet hat. Ich denke, Wikipedia gibt Keplers Gesetze ziemlich gut wieder:

1. Die Umlaufbahn eines Planeten ist eine Ellipse mit der Sonne in einem der beiden Brennpunkte.
2. Eine Verbindungslinie zwischen einem Planeten und der Sonne überstreicht in gleichen Zeitintervallen gleiche Flächen.
3. Das Quadrat der Umlaufzeit eines Planeten ist proportional zur dritten Potenz der Länge der großen Halbachse seiner Umlaufbahn.

Newton bewies, dass Keplers Gesetze die Planetenbewegung perfekt beschreiben würden, indem er ein umgekehrtes r-Quadrat-Gesetz für die Gravitationskraft verwendete, wenn die Masse des Planeten in Bezug auf die Masse der Sonne vernachlässigbar wäre, wenn die einzige Schwerkraft, der der Planet ausgesetzt wäre, die Sonne wäre, und wenn der Planet hatte keine Fluchtgeschwindigkeit erreicht.

Bedeutet das, dass wir aufhören sollten, Keplers Gesetze zu verwenden? Mist nein! Sie sind super nützlich für alle möglichen Dinge. Als Beispiel gebe ich die einzige strenge Antwort auf diese Frage, indem ich Keplers 2. und 3. Gesetz (im Absatz direkt vor meinen Notizen) verwende: Wenn der Mond von einem Meteor geeigneter Größe getroffen würde, wie lange würde es dauern, bis er die Erde trifft? . Diese Frage gab es seit über einem Jahr, und viele Leute hatten sich an die Beantwortung gewagt und waren (meiner Meinung nach) gescheitert. Meine Lösung ist viel weniger kompliziert als eine andere clevere physikalische Antwort, die davon ausgeht, dass die Gravitationskraft konstant ist, nur um eine Untergrenze zu erhalten!

Eine "nicht-keplerische" Umlaufbahn ist eine Umlaufbahn, in der Keplers Gesetze keine Vorhersage- und Beschreibungskraft haben. Wenn eine Frage zu einer Umlaufbahn, die eine bestimmte Genauigkeit erfordert, nicht mit der erforderlichen Genauigkeit unter Verwendung der Kepler-Gesetze beantwortet werden kann, ist die Umlaufbahn im Kontext dieser Frage „nicht keplerisch“. Dies ist wahrscheinlich keine sehr befriedigende Antwort, zumal dieselbe Umlaufbahn für eine Frage als keplerisch angesehen werden könnte, für eine andere jedoch nicht. Leider ist dies in der Regel die Art und Weise, wie Engineering durchgeführt wird. Wir können einige Annahmen treffen, um zu einer Antwort zu gelangen, und diese Antwort dann verfeinern, indem wir diese Annahmen umkehren oder ein ausgefeilteres Modell verwenden. Wenn die Keplerschen Gesetze uns die erforderliche Genauigkeit nicht geben, können wir zu Umlaufbahnausbreitungssimulationen übergehen.

Keplers Gesetze wurden speziell für die Bewegung von Planeten um die Sonne geschrieben! Man könnte also argumentieren, dass eine Mondumlaufbahn um einen Planeten keine Keplerbahn ist, auch wenn die Keplerschen Gesetze immer noch sehr genau sein können, wenn man „Planet“ durch „Mond“ und dann „Sonne“ durch „Planet“ ersetzt. Ich würde eher argumentieren, dass jedes Orbitalsystem „keplerianisch“ ist, wenn Keplers Gesetze die Bewegungen der Objekte immer noch genau beschreiben.

Keplers Gesetze beinhalten nicht das Konzept eines Baryzentrums (Massenzentrum des Systems). Sie werden also für 2-Körper-Umlaufbahnen abgebaut, wenn es keinen großen Unterschied zwischen ihrer Masse gibt. Ein Kommentar unten besagt, dass ein Doppelsternsystem ein „fast perfektes Beispiel für keplrisches Verhalten“ ist, aber ich bin anderer Meinung. Man muss Keplers Gesetze verallgemeinern, um die Bewegung von Doppelsternen genau zu beschreiben:

a) Umlaufende Körper bewegen sich auf Ellipsenbahnen um den Schwerpunkt des Systems.

b) Eine Strecke zwischen dem Schwerpunkt und einem Körper überstreicht in gleicher Zeit gleiche Flächen.

c) Das Quadrat der Umlaufzeit eines Körpers ist proportional zur dritten Potenz seines mittleren Abstands vom Schwerpunkt.

Hier ist eine Tabelle, die ich erstellt habe, um meine Definition von nicht-keplerischen Umlaufbahnen zu begleiten:

2. Was sind einige bekannte Beispiele für unser Sonnensystem, das eindeutig nicht keplerisch ist?

Ich denke, das einfachste Beispiel für eine größtenteils nicht-keplerianische Umlaufbahn ist das James-Webb-Teleskop, das bald am L2-Punkt der Erde sein wird: https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_point . Keplers 3. Gesetz besagt, dass das Verhältnis der Kubik der Umlaufbahn SMA (große Halbachse) zum Quadrat der Umlaufzeit für alles, was denselben massiven Körper umkreist, konstant ist. Aber etwas im L2-Punkt der Erde hat die gleiche Umlaufzeit wie die Erde, aber eine viel größere SMA. Keplers 3. Gesetz wird verletzt, daher wird sich das James-Webb-Teleskop in einer nicht-keplerschen Umlaufbahn befinden. Wenn Sie eine exotischere Umlaufbahn und eine natürlich größtenteils nicht-keplerianische Umlaufbahn wünschen, werfen Sie einen Blick auf diese seltsame Umlaufbahn für einen retrograden Jupiter-Koorbitalasteroiden: http://www.astro.uwo.ca/~wiegert/2015BZ509/ Dies ist eine Beispiel einer 3-Körper-Problembahn.

3. Was sind geschlossene Umlaufbahnen?

Eine geschlossene Umlaufbahn ist eine Umlaufbahn, die sich in einem Trägheitskoordinatensystem wiederholt, wobei der Ursprung im Massenmittelpunkt des massereichsten Körpers liegt. Wenn Sie kein Koordinatensystem angeben, kann ich sagen, dass die Umlaufbahn eines beliebigen Objekts geschlossen ist, indem Sie ein Koordinatensystem angeben, bei dem sich dieses Objekt immer im Ursprung befindet.

4. Können einige nicht-keplerische Umlaufbahnen noch geschlossen werden?

Ja, die beiden oben angegebenen Orbit-Beispiele sind geschlossen genug. Oumuamua ist ein Beispiel für eine „nicht geschlossene“ „nicht keplerische“ Sonnenumlaufbahn. https://en.wikipedia.org/wiki/%CA%BBOumuamua

Was genau sind "nicht-keplerische" Bahnen?

Umlaufbahnen, die nicht den Keplerschen Gesetzen folgen.

Genau genommen sind alle Orbits nicht-keplerianisch. In der Praxis kann man einige Umlaufbahnen im Grunde als Keplersch modellieren, jedoch mit Störungen. Sonnensynchrone Satelliten sind ein Beispiel für Umlaufbahnen, die nahe an Kepler sind, aber nicht ganz so. Die äquatoriale Wölbung der Erde verhindert, dass Satelliten in einer Ebene umkreisen. Sonnensynchrone Satelliten nutzen die durch die äquatoriale Wölbung der Erde induzierte Präzession, sodass ihre Umlaufbahnen in einem Jahr um 360° präzedieren. Connor Garcias Beispiel von Satelliten in Pseudoumlaufbahnen um die linearen Lagrange-Punkte Sonne-Erde bildet eine weitere Reihe von Beispielen.

Was sind einige bekannte Beispiele für ausgesprochen nicht geschlossene Umlaufbahnen in unserem Sonnensystem?

Jeder Planet, jeder Mond, jeder Asteroid, ...

Was sind geschlossene Umlaufbahnen?

Gebundene Umlaufbahnen sind Umlaufbahnen, die an ein zentrales Objekt gebunden bleiben. Parabel- und Hyperbelbahnen sind nicht gebunden. Geschlossene Umlaufbahnen sind gebundene Umlaufbahnen, die ihren Weg wiederholen. Jedes attraktive zentrale Kraftgesetz kann zu Kreisbahnen führen. Diese sind trivial geschlossen. Es gibt nur zwei anziehende zentrale Kraftgesetze, die zu geschlossenen nicht kreisförmigen Umlaufbahnen führen können: ein inverses quadratisches Gesetz (z. B. Newtonsche Gravitation) und ein lineares Kraftgesetz (z. B. eine Hookesche Feder). Dies ist der Satz von Bertrand .

Was sind einige bekannte Beispiele für deutlich nicht-keplersche Umlaufbahnen in unserem Sonnensystem?

Jeder Planet, jeder Mond, jeder Asteroid, ...

Können einige nicht-keplerische Umlaufbahnen noch geschlossen werden?

Anders als eine Hookean-Feder, nein.

Vorwort:

In allen existierenden Koordinatensystemen, die mir bekannt sind, sind keine Umlaufbahnen streng keplersch. Aber vielleicht könnte man in einem erdzentrierten Koordinatensystem sagen, dass die Umlaufbahn der Erde geschlossen ist, da sich die Erde per Definition bei [0,0,0] nicht bewegt.

Im Laufe der Geschichte waren CS (Koordinatensysteme) ein großer Streitpunkt. Einstein sagte:

Können wir physikalische Gesetze so formulieren, dass sie für alle CS gelten? ... Der in den Anfängen der Wissenschaft so heftige Kampf zwischen den Ansichten von Ptolemäus und Kopernikus wäre dann ganz bedeutungslos. Beide CS könnten mit gleicher Berechtigung verwendet werden. Die beiden Sätze „Die Sonne ruht und die Erde bewegt sich“ oder „Die Sonne bewegt sich und die Erde ruht“ würden einfach zwei unterschiedliche Konventionen in Bezug auf zwei unterschiedliche KS bedeuten.

Auf praktischer Ebene denke ich, dass es bequem ist, einige Umlaufbahnen als keplersch zu behandeln, da wir mit Keplers Gesetzen viele Fragen schnell und genau von der Rückseite der Serviette beantworten können. Als Inspiration von Ptolemäus, Kepler und Einstein fragte ich mich, ob man sich ein Koordinatensystem vorstellen könnte, in dem jede Umlaufbahn perfekt keplersch und geschlossen ist. Folgendes ist das Ergebnis:

Die Umlaufbahn des Mondes um die Erde ist keplersch und geschlossen.

Um die Bewegung von Himmelsobjekten zu verfolgen und zu quantifizieren, definieren wir Koordinatensysteme. Unsere Wahl des Koordinatensystems erfolgt typischerweise, um die Berechnungskomplexität für ein bestimmtes Problem zu verringern. Beispielsweise werden Erdsatellitenberechnungen häufig in einem ECI-(Earth Centered Inertial)-Koordinatensystem durchgeführt. Das heißt, der Ursprung des Systems ist der Mittelpunkt der Erde, und die Erde dreht sich an Ort und Stelle um den Ursprung. Dies ist ein praktisches System, um die Bewegung erdgebundener Satelliten zu untersuchen, da es mit den Keplerschen Gesetzen für Erdsatelliten, einschließlich des Mondes, übereinstimmt. EBI:

In einigen Fällen ist es praktisch, ein ECEF-Koordinatensystem (Earth Centered Earth Fixed) zu verwenden. Dieses Koordinatensystem legt die Rotation der Erde fest, sodass sich die Achsen in Bezug auf die Erdoberfläche nicht ändern. Dies ist ein praktisches System für den Weltraumstart, da sich die Koordinaten von Sensoren auf Erdbasis nicht ändern. ECEF:

Wir können ein Koordinatensystem namens ECMF (Earth Centered Moon Fixed) definieren. In diesem Koordinatensystem stellen wir die x-Achse so ein, dass sie mit dem Vektor von der Erde zum Mond zusammenfällt. Wenn sich der Mond um die Erde dreht, bewegt sich das gesamte Koordinatensystem mit. Die z- und y-Achse sind um 90 Grad versetzt und liegen in der Ebene orthogonal zum Vektor Erde-Mond.

Um den Mond in unserem ECMF-Koordinatensystem „fixieren“ zu können, müssen wir die Variationen der Mondentfernung aufgrund der Exzentrizität der Umlaufbahn berücksichtigen. Wenn wir von kartesischen Koordinaten zu Polarkoordinaten wechseln, sehen wir, dass wir r, die Entfernung von der Erde zum Mond, gleich setzen können$k=500,000km$. ECMF (nicht maßstabsgetreu):

Die Koordinatentransformation von ECEF zu ECMF ist abhängig von den Polarkoordinaten des Mondes in ECEF zum Zeitpunkt$t$: [$\lambda$,$\phi$,$r$]. Um einen Punkt zu übersetzen$P = \alpha, \beta, d$von ECEF zu ECMF,$\alpha’=\alpha-\lambda$,$\beta’=\beta-\phi$, Und$d’=d*k/r$. Beachten Sie, dass die Position des Mondes [$\lambda$,$\phi$,$r$] in ECEF wird immer$[0,0,k]$im ECMF.

Das ECMF-Koordinatensystem hat einige wirklich schlechte Eigenschaften. Es dehnt den Rest des Universums basierend auf der Zeit ungleichmäßig aus. Je nach Richtung breitet sich Licht nicht mehr geradlinig aus! Regelmäßige Formen in ECEF werden in ECMF unregelmäßig. Die z-Achse wird im Bereich der Neigung des Mondes zur Äquatorialebene unregelmäßig von der Rotationsachse der Erde versetzt. Alle möglichen schlimmen Dinge passieren in ECMF.

Aus dem ECMF-Koordinatensystem können wir ein weiteres Koordinatensystem namens ECMFDR-System (Earth Centered, Moon Fixed Distance, Rotating) erstellen. Dieses Koordinatensystem dreht das ECMF-System einfach um die z'-Achse, sodass eine volle Umdrehung 1 Jahr dauert, oder$p$. Um einen Punkt P = zu übersetzen$\alpha', \beta', d'$von ECMF zu ECMFDR,$\alpha’’=\alpha’$,$\beta’’=\beta’+2\pi(t-t_0)/p$, Und$d’’=d’$. ECMFDR (nicht maßstabsgetreu):

In unserem üblichen ECEF-System ist die Umlaufbahn des Mondes nicht ganz keplersch. Stattdessen wird es durch die unregelmäßige Form der Erde gestört, es wird durch andere Gravitationskörper im Sonnensystem gestört und es bewegt sich langsam nach außen, weg von der Erde. Im ECMFDR-System befindet sich der Mond per Definition und Konstruktion in einer perfekt kreisförmigen Umlaufbahn, die sowohl eine Kepler-Umlaufbahn als auch eine geschlossene Umlaufbahn ist.

Wenn wir dieses Koordinatensystem für die Erde und den Mond erstellen können, dann können wir es auf jedes Paar umlaufender Körper verallgemeinern.

Jede Umlaufbahn ist keplersch: Betrachten Sie einen Körper$b_2$in der Umlaufbahn um einen Körper$b_1$. Für eine bestimmte Zeit$t_0$, definieren Sie ein Koordinatensystem mit einem Ursprung im Massenmittelpunkt von$b_1$, mit dem Schwerpunkt von$b_2$bei$[0,\sin(2\pi (t-t_0)/p),k]$, Wo$p$ist ein Jahr, und$k$ist eine AU.

Dann$b_2$'s Umlaufbahn herum$b_1$ist keplerisch, weil es den 3 Gesetzen von Kepler entspricht,

1. $b_2$Die Umlaufbahn von zeichnet eine Ellipse nach (da sie einen Kreis nachzeichnet und ein Kreis eine Ellipse ist).

2. Ein Ausschnitt aus$b_1$Zu$b_2$überstreicht gleiche Fläche in gleicher Zeit (da Abstand zwischen$b_1$Und$b_2$ist immer 1 AE,$b_1$ist fest, und$b_2$hält konstante Geschwindigkeit)

3. Alle umkreisen$b_1$haben das gleiche Verhältnis von Quadrat des SMA dividiert durch die Kubik der Periode, da alle Umlaufbahnen einen SMA von 1 AU und eine Periode von einem Jahr haben.

Jede Umlaufbahn ist geschlossen. Keplersche Umlaufbahnen sind geschlossene Umlaufbahnen, da eine Keplersche Umlaufbahn eine geschlossene Form (die Ellipse) nachzeichnet. Da jede Umlaufbahn eine Keplersche Umlaufbahn ist, ist jede Umlaufbahn eine geschlossene Umlaufbahn.