Unterschiede zwischen numerischen Propagatoren

Sie sollten überprüfen, welchen Propagator GMAT verwendet. Eine RK4-Methode mit konstanter Schrittgröße wird im Laufe der Zeit von der wahren Lösung der ODE abweichen. Wenn GMAT also eine adaptive Schrittgrößenmethode verwendet, die an einigen Stellen von der Größenordnung von Millisekunden bis zu mehreren zehn Sekunden reicht, wird dies wahrscheinlich der Fall sein näher an der Lösung als RK4.

Im Wesentlichen macht die Konstante Schrittgröße von RK4 Folgendes: Es nimmt mehrere Auswertungen der Ableitung zwischen jetzt und dem nächsten Zeitschritt vor, um eine bessere Schätzung zu erhalten, wie sich die Funktion ändert (im Gegensatz zu einer Euler-Methode 1. Ordnung). ). Anschließend wird ein gewichteter Mittelwert dieser Schätzungen ermittelt, um zu bestimmen, welche Ableitung für diesen Schritt verwendet wird. Wie aus dem Diagramm ersichtlich ist, wird die Fläche unter der Kurve an einigen Stellen unterschätzt und an anderen überschätzt, was im Laufe der Zeit zu Fehlern führt.

Hier ist eine verkleinerte Version (und ein 500-Sekunden-Zeitschritt), um den Effekt zu zeigen.

Da Sie 60 Sekunden verwenden, wird der Fehler weniger schnell wachsen, aber dennoch mit der Zeit driften.

Ein Solver mit adaptiver Schrittgröße ändert seine Schrittgröße basierend darauf, wie schnell sich die Ableitung ändert (die zweite Ableitung):

Wenn also die Ableitung näher an der Konstante liegt, bedeutet dies, dass die Lösung nahezu linear ist, sodass der Solver größere Zeitschritte ausführen kann. Aber wenn sich die Ableitung ändert, ist die Lösung nichtlinear, der Solver muss kleinere Zeitschritte machen.

Die gebräuchlichste dieser Methoden ist RK4-5, die die Lösung der RK4- und RK5-Methoden vergleicht und je nachdem, wie unterschiedlich sie sind, den Zeitschritt entsprechend ändert.

Insgesamt ist also möglicherweise nichts falsch an Ihrem Modell / Ihrer RK4-Implementierung, es kann davon abhängen, welchen Propagator GMAT verwendet, mit dem Sie Ihre Lösung vergleichen

Wenn Sie neugierig sind, stammen diese Screenshots aus einem Video, das ich zu ODE-Lösern gemacht habe:

Die vorherigen Antworten enthalten einige gute allgemeine Informationen, aber TBH finde ich nicht sehr hilfreich für die Frage.

Die grundlegendste Plausibilitätsprüfung mit einem numerischen Solver lautet: Wie ändert sich das Ergebnis, wenn Sie die Schrittweite variieren? Halten Sie es so einfach wie möglich. Simulieren Sie über einen einzigen Tag und probieren Sie verschiedene Schrittgrößen aus. Versuchen Sie zum Beispiel einen Schritt von 6 Sekunden, 30 Sekunden, 200 Sekunden, 600 Sekunden. Wie unterscheiden sie sich?

Die 600 Sekunden werden sich wahrscheinlich sehr seltsam verhalten, aber die anderen – ich weiß nicht, Sie sollten es versuchen. Wenn die h = 6 Sekunden-Lösung im Wesentlichen die gleiche ist wie Ihre h = 60 s-Lösung, insbesondere wenn sie durchweg die gleichen Abweichungen vom GMAT aufweist – dann haben Sie offensichtlich ein grundlegenderes Problem, das nichts damit zu tun hat der Integrator überhaupt. Das können viele verschiedene Dinge sein.

Erst wenn Sie festgestellt haben, dass Sie definitiv alles so eingerichtet haben, wie es sein sollte, sollten Sie sich darauf konzentrieren, das Beste aus Ihrem numerischen Löser herauszuholen.

Ihr numerischer Integrator RK4 ist für diese Aufgabe ungeeignet. Die Ordnung ist viel zu niedrig für die gewünschte Genauigkeit. Es ist auch eine feste Schrittgröße. Sie haben Ihre Recherchen dazu nicht durchgeführt. Die Fehlerfortpflanzungsraten für RK-Integratoren mit fester Schrittweite sind so schlimm wie es nur geht. Erforschen Sie Prädiktor-Korrektor-Integratoren höherer Ordnung ... Ordnung 8 mit (mindestens) 64-Bit-Gleitkommaoperationen (auch wenn es sich um feste Schritte handelt).

Sie könnten sich eingebettete RK-Integratoren ansehen, die einen RK-Integrator niedrigerer Ordnung als Prädiktor innerhalb eines RK-Integrators höherer Ordnung verwenden. Sehen Sie sich RK78 als Ersatz für Ihr RK4 an. In der Vergangenheit war dieser Integrator ein Arbeitstier für Orbitalmechaniker. Dieser gibt Ihnen viel bessere Datenvereinbarungen und eine gute Genauigkeit über längere Zeitintervalle.

Adams-Moulton, oder noch besser Adams-Bashforth-Moulton, sind Prädiktor-Korrektoren, die leicht in jeder gewünschten Reihenfolge codiert werden können. Ihre Fehlerfortpflanzungsraten sind geringer als bei jedem RK-Verfahren derselben Größenordnung. Gauss-Radau-Integratoren sind auch sehr genau und gut geeignet für Orbitalmechanik-Integrationen. Codieren Sie sie nicht selbst. Herunterladen.

Es gibt viele Prädiktor-Korrektur-Methoden mit variablen Schritten, die die beste Genauigkeit und die kleinsten Fehlerfortpflanzungsraten über längere Zeitintervalle liefern. Mit diesen Methoden liefern Ihre numerischen Integrationen die beste Genauigkeit, die Sie erwarten können ... aber sie müssen von hoher Ordnung sein. Bestellung 8 ist gut.

Bevor Sie mit irgendeinem hier oder anderswo erwähnten Integrator in Ihr Projekt einsteigen, testen Sie Ihre Integratorauswahl anhand der Lösung des 2-Körper-Problems, ausgedrückt in kartesischen Koordinaten. Das ist die schlechteste Art, die 2-Körper-Gleichungen zu schreiben, und diese Form der Gleichungen wird Ihre Integratoren am besten belasten. Da die 2-Körper-Problemlösung in jedem Koordinatensystem in geschlossener Form vorliegt, werden Sie sehen, wie sich ausgewählte Integratoren in Bezug auf Fehlerfortpflanzung und Genauigkeit über kurze und lange Zeitintervalle verhalten.

Ihr Projekt ist keineswegs trivial, und Sie benötigen einen Integrator, der dieser Aufgabe gewachsen ist. Durch numerische Integrationen des 2-Körper-Problems erhalten Sie eine gute Vorstellung von dem zu verwendenden Integrator. Stellen Sie sicher, dass Ihre Anfangsbedingungen Ihnen eine 2-Körper-Umlaufbahn mit anständig hoher Exzentrizität geben: e >= 0,3. Werden Sie nicht verrückt mit einem sehr hohen e (0,8). Integratoren mit fester Schrittweite werden bei Orbits mit hoher Exzentrizität (e = 0,8) schnell sterben. Ihre Todesrate ist umgekehrt proportional zur Ordnung des Integrators.

Viel Glück.