Hamiltonsche Matrixelemente mit Leiteroperatoren für den Spin-1-Zustand

Ich lese die Doktorarbeit „Zero-Field Anisotrope Spin Hamiltonians in First-Row Transition Metal Complexes: Theory, Models and Applications“ (Link: https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00608878/document ).

Auf Seite 34 schreibt er den Nullfeldaufspaltungs-Hamiltonoperator:

$$\hat{H}=\hat{\mathbf{S}} \cdot \bar{D} \cdot \hat{\mathbf{S}}=\left(\begin{array}{ccc} \hat{S}_{x} & \hat{S}_{y} & \hat{S}_{z} \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{ccc} D_{x x} & D_{x y} & D_{x z} \\ D_{x y} & D_{y y} & D_{y z} \\ D_{x z} & D_{y z} & D_{z z} \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c} \hat{S}_{x} \\ \hat{S}_{y} \\ \hat{S}_{z} \end{array}\right)$$ Dann sagt er: „ und die$\hat{S}_x$Und$\hat{S}_y$Operatoren werden durch die adäquaten Linearkombinationen der ersetzt$\hat{S}_+$Und$\hat{S}_-$Betreiber. Durch Anwendung dieses Hamiltonoperators auf der Basis des Modellraums (in diesem Fall aller$|S,M_S\rangle$Komponenten des Grundzustandes) wird die Wechselwirkungsmatrix konstruiert."

Auf Seite 49 gibt er das folgende Beispiel für einen Spin-1-Zustand, dh für$|S,M_S\rangle=|1,M_S\rangle$:

$$\begin{array}{r|ccc} \hat{H}_{\text {mod}} & |1,-1\rangle & |1,0\rangle & |1,1\rangle \\ \hline\langle 1,-1| & \frac{1}{2}\left(D_{x x}+D_{y y}\right)+D_{z z} & -\frac{\sqrt{2}}{2}\left(D_{x z}+i D_{y z}\right) & \frac{1}{2}\left(D_{x x}-D_{y y}+2 i D_{x y}\right) \\ \langle 1,0| & -\frac{\sqrt{2}}{2}\left(D_{x z}-i D_{y z}\right) & D_{x x}+D_{y y} & \frac{\sqrt{2}}{2}\left(D_{x z}+i D_{y z}\right) \\ \langle 1,1| & \frac{1}{2}\left(D_{x x}-D_{y y}-2 i D_{x y}\right) & \frac{\sqrt{2}}{2}\left(D_{x z}-i D_{y z}\right) & \frac{1}{2}\left(D_{x x}+D_{y y}\right)+D_{z z} \end{array}$$

Nun ist meine Frage, wie werden die Matrixelemente zu einer Linearkombination der Parameter$D_{ij}$? Wenn es jemand versteht, könnten Sie ein einzelnes Matrixelement berechnen, um zu zeigen, wie es funktioniert?