Hamiltonsche Mechanik und Energieerhaltung?

Die zeitliche Entwicklung einer beliebigen Größe$F(q(t),p(t);t)$, Wo$q,p$die verallgemeinerten Orte und Impulse bezeichnen, können mit der Kettenregel, den Hamilton-Gleichungen und der Poisson-Klammer geschrieben werden$\{\cdot,\cdot\}$:

$\frac{\mathrm dF}{\mathrm dt} = \sum_i\left[\frac{\partial F}{\partial q_i}\dot q_i+\frac{\partial F}{\partial p_i}\dot p_i\right]+\frac{\partial F}{\partial t} = \sum_i\left[\frac{\partial F}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i}-\frac{\partial F}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i}\right]+\frac{\partial F}{\partial t} = \{F,H\}+\frac{\partial F}{\partial t}$.

Eine ähnliche Gleichung namens Satz von Ehrenfest gilt auch in der Quantenmechanik, wo man die zeitliche Entwicklung von Erwartungswerten betrachtet und die Poisson-Klammer durch den Kommutator ersetzt.

Insbesondere z$F=H$das sieht man sofort$\frac{\mathrm dH}{\mathrm dt}=\frac{\partial H}{\partial t}$als$\{H,H\}=0$. Für einen Hamiltonoperator ohne explizite Zeitabhängigkeit, dh wenn keine externe Energie in das System eingespeist wird, bleibt also die Gesamtenergie erhalten.

Denken Sie daran, dass wir eine physikalische Größe sagen$Q$bleibt erhalten , sofern sich sein Wert nicht mit der Zeit ändert, wenn sich ein System entwickelt. Mathematisch gesehen ist eine physikalische Größe nur eine Funktion, die eine Zahl zuweist$Q(q,p,t)$zu jedem Zustand (Punkt im Phasenraum plus Zeit) des vorliegenden Systems, sodass die Erhaltung einer solchen Größe mathematisch wie folgt ausgedrückt werden kann:

Der Hamiltonian$H$und Gesamtenergie$E$eines gegebenen Systems sind zwei solche Größen. Es gibt eine große Klasse von Systemen, für die die Hamiltonsche und die Gesamtenergie gleich sind, nämlich$H=E$. In solchen Systemen bleibt die Energie des Systems genau dann erhalten, wenn der Hamiltonoperator des Systems erhalten bleibt.

Wenn die zeitliche Ableitung der Hamilton-Funktion gleich Null ist, bleibt die Hamilton-Funktion erhalten. dh wenn Poission-Klammer (H, H) + Teilzeitableitung von H = 0 ist, bleibt die Hamilton-Funktion erhalten. Wenn der Hamiltonian erhalten bleibt, bleibt die Energie erhalten.