Wie man Zeitverschiebungen in Noethers Theorem im Hamiltonschen Formalismus beschreibt

Question

Wie man Zeitverschiebungen in Noethers Theorem im Hamiltonschen Formalismus beschreibt

Quantenpeitsche

Wie zum Beispiel in diesem Beitrag beschrieben, kann man den Satz von Noether auch in der Hamilton-Mechanik formulieren. Symmetrien werden dann durch Vektorfelder dargestellt, die von Observablen erzeugt werden, deren Poisson-Klammern mit dem Hamilton-Operator des Systems verschwinden.

Meine Frage ist: Wie beschreibt man Zeittransformationen in diesem Formalismus? Strömungen im Phasenraum stellen nur aktive Transformationen des Phasenraums dar, ändern aber nichts an der Zeitvariablen. Aus einer Symmetrie bezüglich der Zeitverschiebungen des Systems lässt sich beispielsweise keine Energieerhaltung ableiten.

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Wie man Zeitverschiebungen in Noethers Theorem im Hamiltonschen Formalismus beschreibt

udrv · Answer 1

Ja, es ist möglich, genau wie bei der Lagrange-Aktion. Nimmt man die Hamilton-Aktion als

S_{H} {Q, P} = \int_{T_{ich}}^{T_{F}} D T [P \dot{Q} - H (Q, P, T)]

$S_H\{q, p\} = \int_{t_i}^{t_f}{dt\; \left[p\dot{q} - H(q, p, t) \right]}$ Betrachten Sie eine infinitesimale Zeitverschiebung

t^{'} = t + δ t

$t' = t +\delta t$ , mit

q^{'} (t^{'}) = q (t) + δ q

$q'(t') = q(t) +\delta q$ ,

p^{'} (t^{'}) = p (t) + δ p

$p'(t') = p(t) +\delta p$ , und nehmen Sie Invarianz unter Zeitübersetzungen an:

S_{H} {Q, P} = \int_{T_{ich}}^{T_{F}} D T [P \dot{Q} - H (Q, P, T)] = \int_{T_{ich}^{'}}^{T_{F}^{'}} D T [P^{'} \dot{Q^{'}} - H (Q^{'}, P^{'}, T)]

$S_H\{q, p\} = \int_{t_i}^{t_f}{dt\; \left[p\dot{q} - H(q, p, t) \right]} = \int_{t'_i}^{t'_f}{dt\; \left[p'\dot{q'} - H(q', p', t) \right]}$ Die 2. Gleichheit oben ergibt

\int_{T_{ich}}^{T_{F}} D T [P \dot{Q} - H (Q, P, T)] = \int_{T_{ich} + δ T_{ich}}^{T_{F} + δ T_{F}} D T [P \dot{Q} - H (Q, P, T) + P δ \dot{Q} + \dot{Q} δ P - \frac{\partial H}{\partial Q} (Q, P, T) δ Q - \frac{\partial H}{\partial P} (Q, P, T) δ P]

$\int_{t_i}^{t_f}{dt\; \left[p\dot{q} - H(q, p, t) \right]} = \int_{t_i + \delta t_i}^{t_f + \delta t_f}{dt\; \left[p\dot{q} - H(q, p, t) + p\delta \dot{q} + \dot{q}\delta p - \frac{\partial H}{\partial q}(q, p, t)\delta q - \frac{\partial H}{\partial p}(q, p, t)\delta p \right]}$ oder nach leichter Umordnung,

[P \dot{Q} - H] |_{T_{F}} δ T_{F} - [P \dot{Q} - H] |_{T_{ich}} δ T_{ich} + \int_{T_{ich} + δ T_{ich}}^{T_{F} + δ T_{F}} D T [P δ \dot{Q} + \dot{Q} δ P + \dot{P} δ Q - \dot{Q} δ P] = = \int_{T_{ich}}^{T_{F}} D T \frac{D}{D T} [P \dot{Q} δ T - H (Q, P, T) δ T + P δ Q] = \int_{T_{ich}}^{T_{F}} D T \frac{D}{D T} [2 P δ Q - H (Q, P, T) δ T] = 0

$\left[p\dot{q} - H \right]\Big|_{t_f}\delta t_f - \left[p\dot{q} - H \right]\Big|_{t_i}\delta t_i + \int_{t_i + \delta t_i}^{t_f + \delta t_f}{dt\;\left[p\delta \dot{q} + \dot{q}\delta p + \dot{p}\delta q - \dot{q}\delta p \right]} = \\ = \int_{t_i}^{t_f}{dt\; \frac{d}{dt}\left[ p\dot{q}\delta t - H(q,p,t)\delta t + p\delta q\right]} = \int_{t_i}^{t_f}{dt\; \frac{d}{dt}\left[ 2 p\delta q - H(q,p,t)\delta t \right]} = 0$ wo Gebrauch gemacht wird

\dot{q} δ t = δ q

$\dot{q}\delta t = \delta q$ und die Hamiltonschen EOMs,

\dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p}

$\dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p}$ ,

\dot{p} = - \frac{\partial H}{\partial q}

$\dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q}$ . Für eine Zeittranslation, die Endpunkte invariant lässt, so dass

δ q |_{t_{i}} = δ q |_{t_{f}} = 0

$\delta q\Big|_{t_i} = \delta q\Big|_{t_f} = 0$ , die letzte obige Gleichheit reduziert sich auf

\frac{D H}{D T} (Q, P, T) = 0

$\frac{dH}{dt}(q, p, t) = 0$ oder

H (Q, P, T) = C Ö N S T .

$H(q, p, t) = const.$

Gibt es eine Möglichkeit, diese Zeitverschiebung oder gemischte Transformationen in Raum und Zeit so zu beschreiben, wie es im verlinkten Artikel gemacht wird? Das heißt, die Verwendung von Beobachtbaren, die einen Fluss in einem Vielfachen erzeugen, der die Transformation darstellt, die die Aktion invariant lässt?
Betreff: Der ursprüngliche Artikel, Qmechanic hat Ihre Frage bereits separat beantwortet. Ich würde vielleicht hinzufügen, dass Sie, wenn Sie die Feldtheorieversion mit Invarianz unter Raum-Zeit-Übersetzungen betrachten, am Ende die Erhaltung des Spannungs-Energie-Tensors erhalten würden. $\partial^\mu T_\mu^\nu =0$ , unter Berücksichtigung der Energie-Impuls-Erhaltung. Dies ist wahrscheinlich die "Flow-Charge" -Form, nach der Sie suchen.
Es tut mir leid, aber was Sie hier als Fluss beschreiben, ist ein kombiniertes 4-Vektor-Feld (oder Lorentzensor), dessen Zeit- und Raumkomponenten diese Kontinuitätsgleichung erfüllen. Was ich meine, wenn ich Fluss sage, ist ein Vektorfeld (oder ein Fluss, der die Innenkurven dieses Vektorfelds ist), das die Symmetrietransformationen im Noether-Theorem beschreibt, wie es in dem von mir verlinkten Artikel getan wird. Der Artikel tut dies nur für "vertikale" Transformationen, da ich nach einer Art Ablauf für "horizontale Transformationen" suche, wenn ich die Sprache von Qmechanic verwenden möchte.
Was ich beschreibe, ist das Erhaltungsgesetz für die "Stromdichte", das dem Satz von Noether für Raum-Zeit-Übersetzungen entspricht / ausdrückt, nur dass in diesem Fall der "Strom" tensorisch und nicht vektoriell ist. Es ist weit entfernt von "einem (beliebigen) kombinierten 4-Vektorfeld". Bitte sehen Sie sich zumindest die Grundlagen hier an: en.wikipedia.org/wiki/Noether%27s_theorem#Field_theory_version . Siehe Absatz oben Gl. für $T_\mu^\nu$ .
Nichts für ungut, ich weiß, was diese Stromdichte ist und dass sie der Ausdruck der Erhaltung in Feldtheorien ist und dass sie aus der Raum/Zeit-Translationsinvarianz der Lagrange stammt. Es ist einfach nicht das, was ich erwähnt habe, als ich meine Frage gepostet habe. Das wollte ich sagen, als ich vorerst sagte, es ist nur ein Lorentztensor, dessen Divergenz verschwindet, im Gegensatz zu einem Vektorfeld, das Transformationen erzeugt, wie im verlinkten Artikel.
Bearbeiten: Ich habe den von mir verlinkten Artikel überprüft, und es ist wahrscheinlich nicht so klar, was ich mit diesem Artikel meine. Was ich sagen möchte, ist, dass Sie im Hamilton-Formalismus Symmetrietransformationen beschreiben können, indem Sie einen Fluss im Phasenraum verwenden, und zwar jede Observable $F$ erzeugt einen solchen Fluss. So erzeugt beispielsweise der Drehimpuls Rotationen um den Ursprung des Koordinatensystems. Ich habe dies nur für Transformationen des Phasenraums gesehen, und ich möchte sehen, ob es eine Möglichkeit gibt, Transformationen der Zeit oder gemischte Transformationen von Zeit und Phasenraum auf die gleiche Weise zu beschreiben.
Meinen Sie "Hamiltonsche Flüsse" kanonischer Transformationen, die von Symmetriegeneratoren erzeugt werden? Zum Beispiel wie hier: damtp.cam.ac.uk/user/tong/dynamics/four.pdf , secs. 4.4.1-4.4.2, um Gleichungen (4.112-4.114) herum? In diesem Fall denke ich, dass der Generator der Hamiltonian selbst ist und der Fluss nur die Evolution, die er erzeugt. Andernfalls können Sie Qmechanic danach fragen.

QMechaniker · Answer 2

Kommentare zur Frage (v2):

Zunächst sollte erwähnt werden, dass der Hamiltonian Zeitentwicklung erzeugt, obwohl ich mir sicher bin, dass OP dies bereits weiß.
Der Hamiltonsche Lagrangian
$\begin{matrix} (1) & L_{H} (Q, \dot{Q}, P, T) := \sum_{ich = 1}^{N} P_{ich} {\dot{Q}}^{ich} - H (Q, P, T) \end{matrix}$ $\tag{1} L_H(q,\dot{q},p,t) ~:=~\sum_{i=1}^n p_i \dot{q}^i - H(q,p,t)$
kann als ein Lagrange-System erster Ordnung angesehen werden $L_H(z,\dot{z},t)$ in doppelt so vielen Variablen $\begin{matrix} (2) & (z^{1}, \dots, z^{2 N}) = (Q^{1}, \dots, Q^{N}; P_{1}, \dots, P_{N}) . \end{matrix}$ $\tag{2} (z^1,\ldots,z^{2n}) ~=~ (q^1, \ldots, q^n;p_1,\ldots, p_n).$
Wie man Noethers Theorem für die Energieerhaltung in einem Lagrange-System anwendet, wird zB in meiner Phys.SE-Antwort hier diskutiert . Keine der vorgeschlagenen infinitesimalen Transformationen in meiner Phys.SE-Antwort hat die Form eines vertikalen Vektorfelds
$\begin{matrix} (3) & δ z^{ICH} = ε v^{ICH}, δ T = 0, \end{matrix}$ $\tag{3} \delta z^I~=~\varepsilon V^I, \qquad \delta t~=~0,$
so dass die Vektorfeldkomponenten $V^I$ nicht abhängen $\dot{z}$ , was im Kern der Frage von OP zu stehen scheint.
Die entsprechende Lagrange-Energiefunktion
$\begin{matrix} (4) & H_{H} (z, \dot{z}, T) := \sum_{ICH = 1}^{2 N} {\dot{z}}^{ICH} \frac{\partial L_{H} (z, \dot{z}, T)}{\partial {\dot{z}}^{ICH}} - L_{H} (z, \dot{z}, T) = H (z, T) \end{matrix}$ $\tag{4} h_H(z,\dot{z},t)~:=~ \sum_{I=1}^{2n}\dot{z}^I\frac{\partial L_H(z,\dot{z},t)}{\partial \dot{z}^I} - L_H(z,\dot{z},t)~=~H(z,t)$ ist wenig überraschend der Hamiltonian selbst. Es wird die Rolle der Noether-Gebühr für Zeitübersetzungen spielen.
Energie wird auf der Schale konserviert, wenn der Hamiltonian Lagrangeian $L_H$ (oder gleichwertig der Hamiltonian $H$ ), hat keine explizite Zeitabhängigkeit.

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