Satz von Noether, Energie- und Zeitinvarianz

Ich habe an der High School Physik studiert, habe aber nur ein Pop-Sci-Verständnis für Ideen wie Noethers Theorem, also mach es einfach.

Soviel ich weiß, besagt Noethers Theorem einfach, dass jede Art von Symmetrie eines physikalischen Systems von einer bestimmten Erhaltungsgröße begleitet wird.

Das normale Beispiel dafür ist, dass, wenn wir ein System als zeitsymmetrisch betrachten (die Gesetze, die das System beherrschen, zu allen Zeitpunkten gleich sind), Energieerhaltung entsteht. Es soll jedoch Beispiele für Systeme geben, in denen Energie nicht erhalten bleibt, was impliziert, dass die Gesetze, die das System regeln, nicht symmetrisch sind.

Mein Problem ist mit dieser Idee, dass Gesetze im Laufe der Zeit nicht symmetrisch sind. Was bedeutet das wirklich? Bedeutet dies, dass sich die Gesetze im Laufe der Zeit buchstäblich ändern? Ist es nicht eine sehr grundlegende Annahme für das Studium der Physik, dass sich die Gesetze, die das Universum regieren, nie ändern? Wenn wir Systeme finden, in denen sich Gesetze ändern, wie könnten wir dann jemals die Gesetze studieren?

Ich glaube, dass meine Verwirrung hier auf ein Missverständnis dessen zurückzuführen ist, was es bedeutet, dass ein System zeitsymmetrisch ist, aber vielleicht ist es etwas anderes. Danke für alle Antworten.

Antworten (6)

Es ist etwas komplizierter als Sie sagen, weil das Objekt, das die Symmetrie besitzt, die Aktion für das System ist. Aus dieser Aktion werden dann mit der Euler-Lagrange-Gleichung die Gleichungen abgeleitet, die die Bewegung beschreiben, also die physikalischen Gesetze für dieses System .

Aber wir können ein sehr einfaches Beispiel beschreiben. Angenommen, Sie befinden sich in Ihrem Raumschiff und planen einen Vorbeiflug an einem großen Objekt, zB der Sonne. Sie starten weit von der Sonne entfernt mit einer gewissen Geschwindigkeit v , und die Schwerkraft der Sonne beschleunigt Sie nach innen mit der üblichen Newtonschen Gleichung für die Schwerkraft:

F = G M M R 2

Sie schwingen auf die Sonne zu und beschleunigen, während Sie sich bewegen, dann, wenn Sie sich wieder von der Sonne entfernen, verlangsamt Sie ihre Schwerkraft wieder und Sie entfernen sich mit der gleichen Geschwindigkeit v mit dem du angefangen hast. Ihre kinetische Energie ist unverändert.

Nehmen wir jedoch an, es stellt sich heraus, dass Newtons Konstante ist G ist tatsächlich zeitabhängig und nimmt mit der Zeit ab:

F ( T ) = G ( T ) M M R 2

Das bedeutet G , und damit die Kraft, ist für Ihre Hinfahrt geringer als für Ihre Hinfahrt. Sie werden auf der Hinfahrt weniger gebremst und fahren mit mehr Energie los als zu Beginn. Energie wurde nicht erhalten, und es ist die Zeitabhängigkeit von G das ist verantwortlich.

Kein gutes Beispiel, da es darum ging, ein Beispiel zu geben, wo Energie nicht gespart wird, ohne dass sich die Naturgesetze im Laufe der Zeit ändern. Es gibt viele solcher Beispiele, beginnend mit der Expansion des Universums.
@safesphere gibt es beobachtete/experimentell verifizierte Situationen oder Phänomene, bei denen die Energieeinsparung nicht in dem Sinne eingehalten wird, dass Energie "erzeugt" wird (abgesehen von der Tatsache, dass die Dichte der dunklen Energie / Vakuumenergie konstant bleibt, wenn sich das Universum ausdehnt)?
@vengaq Das Grundgesetz ist nicht Energieeinsparung, sondern das Prinzip der kleinsten Wirkung. Kurz gesagt heißt es: Wenn die Zeit gleichförmig ist, bleibt die Energie erhalten (das Noether-Theorem), weil Zeit und Energie als Fourier-Paar zusammenhängen. Das bedeutet auch, wenn die Zeit nicht gleichförmig ist, wird die Energie nicht erhalten, aber sie bleiben immer noch ein Fourier-Paar. Daher kann die Energieerhaltung in der Allgemeinen Relativitätstheorie verletzt werden, wo die Zeit nicht einheitlich ist, aber das Prinzip der kleinsten Wirkung immer gültig ist. Energie wird beim Urknall erzeugt, weil die Zeit in Bewegung gerät, aber es gibt keine beobachteten Fälle von Energieerzeugung.

Wenn wir ein physikalisches System betrachten, bezeichnet die Umgebung alles andere, was nicht Teil des Systems ist.

Während das System dynamische Variablen hat, die wir zu lösen versuchen, werden die Variablen der Umgebung als gegeben angenommen.

Es kommt häufig vor, dass das System nicht isoliert ist und externe Kräfte aus der Umgebung auf das System einwirken. Wenn sich die Umgebung ändert, erhalten diese Kräfte typischerweise eine explizite Zeitabhängigkeit.

Beispiel: Das physikalische System sei ein Kind auf einer Schaukel. Die Umgebung kann zB ein Elternteil sein, der die Schaukel zeitabhängig schiebt. Die Energie des Kindes muss nicht gespart werden.

In einem offenen System wird also keine Energie gespart. Darum ging es in der Frage nicht.

Das einfachste und gebräuchlichste System, das aufgrund von Zeitverschiebung nicht symmetrisch ist, ist einfach jedes mechanische System mit Dissipation. Zum Beispiel zwei Steine, die sich durch Reibung aufeinander bewegen. Unter solchen Umständen wird ein Teil der Energie in Wärme umgewandelt, was in der rein idealistischen mechanischen Beschreibung nicht berücksichtigt wird. Das System als Ganzes spart natürlich Energie, aber sein mechanischer Teil (beschrieben über die klassische Mechanik, mit Wirkung, Lagrange, Jacobi-Gleichungen usw.) enthält keinen Teil der Beschreibung, der über die Thermodynamik getragen werden muss. In diesem Fall funktioniert das Noether-Theorem nicht. Es besteht keine Notwendigkeit für die Quanten-Allgemeine Relativitätstheorie, um dieses Beispiel zu verstehen, und tatsächlich würde ich vorschlagen, sich eher auf das Zwei-Baustein-System zu konzentrieren, um dieses Zeug zu verstehen.

Das ist falsch. Das Noether-Theorem sowie der Energieerhaltungssatz gelten für geschlossene Systeme. Ihr Beispiel ist kein geschlossenes System und hier nicht anwendbar. Wenn Sie Ihr Zwei-Baustein-System geschlossen machen, zB indem Sie Wärme als potentielle Energie oder als mechanische Molekularbewegung behandeln, würde das Noether-Theorem gut funktionieren.
Das steht natürlich auch schon im obigen Post - bitte lesen Sie oben noch einmal den 3. und 4. Satz. Aber genau das sind die Ursachen für den auftretenden Effekt. Sie können kein Beispiel für geschlossene physikalische Systeme geben, die von der Lagrange-Mechanik beschrieben werden, nicht konservierte Energie. Kanst du?
Ich glaube du kannst. Ich kann mir drei Bedingungen vorstellen, die dafür erforderlich sind: Die Raumzeit ist gekrümmt, das System ist nicht statisch und die Bewegung ist nicht umkehrbar. Die FLRW-Metrik sollte konform sein. Spart es Energie? Es ist umstritten, aber der Konsens ist, dass dies nicht der Fall ist, da die durch die Rotverschiebung verlorene Energie nicht wiederhergestellt werden kann, da die Bewegung nicht umgekehrt werden kann. Obwohl die Zeit-Energie-Symmetriebeziehung bestehen bleibt (Fourier-Konjugationen) und Energie eine Noether-Ladung bleibt, bleibt sie einfach nicht erhalten.
Sie denken also im Grunde genommen an ein System mit Zeitverschiebungssymmetrie einer Aktion, die vollständig durch diese Aktion beschrieben wird und keine Bewegungskonstante im Zusammenhang mit dieser Symmetrie hat? In diesem Fall erwarten Sie ein Gegenbeispiel zum Noether-Theorem. Das wären tolle Neuigkeiten...
Ich brauchte eine Minute, um zu sehen, woher die Verwirrung kommt, es liegt an meiner Aussage, dass „ die Zeit-Energie-Symmetriebeziehung bestehen bleibt “. Dies bezieht sich nicht auf die Zeittranslationssymmetrie, sondern auf die Symmetrie von Zeit und Energie, die Fourier-konjugiert sind, unabhängig davon, ob die Zeittranslationssymmetrie existiert oder nicht. Mit anderen Worten, Energie ist eine Noether-Ladung in Bezug auf die Zeit, unabhängig davon, ob die Energie erhalten bleibt oder nicht. Beispielsweise ist die Energie eines Photons immer noch umgekehrt proportional zur Zeitdauer der EM-Oszillationen, selbst wenn die Energie durch die Rotverschiebung verloren geht, ohne dass eine Zeittranslationssymmetrie vorhanden ist.

Es gibt ein erstaunliches Beispiel, das die Wirkung von Noethers Theorem zeigt: Die Nichterhaltung der Energie in der Allgemeinen Relativitätstheorie. Es erfordert tatsächlich das Verständnis dieser Theorie, aber sie ist so klar, dass sie als Demonstrationsfall sehr nützlich ist. Der Satz von Noether besagt (unter anderem), dass, wenn in einem physikalischen System eine Verschiebung in der Zeit (jeder Zeitpunkt ist äquivalent zu jedem anderen) das System nicht ändert, die Energie in diesem System erhalten bleibt. Es funktioniert für Millionen von Fällen, aber nicht für die Gravitation nach Einsteins Theorie.

Ein Gravitationsfeld ist unter Zeitverschiebungen nicht mehr invariant, da das Gravitationsfeld als Krümmung der Raumzeit betrachtet wird, also Raum und Zeit im Allgemeinen gekrümmt sind, insbesondere kann sich die Krümmung zeitlich ändern. Zeitpunkte sind dann also nicht mehr wirklich gleichwertig. Der Satz von Noether sagt uns also, dass die Energie nicht unbedingt erhalten bleibt.

Das mag ein ziemlich schockierendes Ergebnis sein, aber es lässt sich leicht auf andere Weise demonstrieren: Durch eine Koordinatentransformation kann der Gravitationseffekt lokal „wegtransformiert“ werden, dh lokal eliminiert werden, wenn also in einem Koordinatensystem ein Energiehaushalt (einschließlich der Gravitationsenergie ) des Systems aufgebaut ist, ist im anderen System, wo die Gravitationswirkung lokal "wegtransformiert" ist, auch die Gravitationsenergie weg (also keine Erhaltung der Gesamtenergie). Dies ist eine letzte Folge des Äquivalenzprinzips.

Obwohl dies zutrifft, ist dieser Effekt in fast allen Fällen renormierbar, indem die "potenzielle Energie der Gravitation" für einen jederzeit reversiblen Prozess eingeführt wird. Der einzig wahre Effekt dieser Nichtkonservierung ist, wenn der Prozess zeitlich nicht rückgängig gemacht werden kann, wie etwa bei der Expansion des Universums. Auch in diesem Fall bleibt Energie die Noether-Ladung, die nicht erhalten bleibt, da wir die globale potentielle Energie des Universums aufgrund der nicht umkehrbaren Expansion nicht einbringen können.

Ja, die Verletzung der Einheitlichkeit der Gesetze in der Zeit (Zeittranslationsinvarianz) bedeutet tatsächlich, dass die Gesetze zu verschiedenen Zeiten NICHT gleich sind.

Während es in der Physik üblich ist anzunehmen, dass die Gesetze zeitlich konstant sind, muss dies im Prinzip nicht der Fall sein. Wenn sich die Gesetze auf bestimmte Weise ändern, könnten wir immer noch die Gesetze beschreiben und ihre Auswirkungen berechnen und somit Wissenschaft betreiben.

John Rennie gab ein gutes Beispiel für diese Situation – wenn Newtons universelles Gravitationsgesetz tatsächlich gelesen wird F = G ( 1 + T ) M 1 M 2 R 2 , mit T die Zeit seit dem Urknall (sagen wir), dann haben wir ein sehr spezifisches physikalisches Gesetz und wir könnten seine Konsequenzen bestimmen und sie mit Experimenten testen und so weiter. Wir könnten Physik betreiben, obwohl das Gesetz nicht zeitinvariant ist.

Nun werden die Dinge in der Allgemeinen Relativitätstheorie etwas kompliziert. Was "Zeit" in GR ist, ist ein bisschen subtil, so dass Sie mit einer Theorie enden, deren Grundgesetze nicht explizit von der Zeit abhängen (wie die T oben), aber das erlaubt immer noch, dass sich die effektiven Gesetze mit der Zeit ändern, wenn sich der Raum ausdehnt. Das Ergebnis ist ein ziemliches Durcheinander, ob Energie gespart wird oder nicht. Es hängt irgendwie davon ab, was Sie als „Energie“ definieren, und, nun ja, es ist ein Durcheinander.

Mein Problem ist mit dieser Idee, dass Gesetze im Laufe der Zeit nicht symmetrisch sind. Was bedeutet das wirklich?

Es soll bedeuten, dass die Lagrange-Funktion, die Wechselwirkungen zwischen verschiedenen Freiheitsgraden des Systems und der Umgebung codiert, nicht explizit von der Zeit abhängt. Das ist oft der Fall und man kann es der Tatsache zu verdanken haben, dass grundlegende physikalische Gesetze der Bewegung und Interaktion von Körpern sich zeitlich nicht ändern. Zum Beispiel kann ein Lagrange eines Körpers, der die Erde umkreist, geschrieben werden als

L = 1 2 M ( v X 2 + v j 2 + v z 2 ) + G M M X 2 + j 2 + z 2 .
Die Tatsache, dass sich die Schwerkraft nicht mit der Zeit ändert, impliziert dies G ändert sich auch zeitlich nicht; es ist konstant, die gleiche Zahl für jedes Mal, wenn wir die Formel verwenden. Wenn sich die Schwerkraft mit der Zeit ändern würde, würde die obige Lagrange-Funktion nicht funktionieren. Eine andere, bei der ein Teil von der Zeit abhängt, könnte funktionieren.

Aber es kann einen anderen Grund dafür geben, dass die Zeit im Lagrange erscheint.

Beispielsweise kann ein Partikel, auf das eine EM-Welle einwirkt, durch einen Lagrange-Typ modelliert werden

L ( X , X ˙ ) = 1 2 M X ˙ 2 + Q X E 0 Sünde ⁡ ( Ω T ) .

Aufgrund der harmonischen EM-Welle gibt es einen zeitabhängigen Begriff, da die Welle als zeitlicher Prozess gegeben ist. Aber nichts über physikalische Gesetze der EM-Theorie, die sich mit der Zeit ändern, ist impliziert.

Es ist einfach nicht wahr. Symmetrisch über die Zeit bedeutet genau das, was gesagt wird: Beim Verschieben der Zeit ändert sich die Aktionsfunktion nicht. Es ist weit davon entfernt zu sagen, dass Lagrange nicht von der Zeit abhängt! Die zeitunabhängige Lagrange-Funktion ist nur ein bestimmtes Beispiel, kann es aber im Allgemeinen sein. Da die Wirkung ganzzahlig über die Zeit ist, ist es möglich, dass sich Randterme aufheben, selbst wenn die Lagrangefunktion explizit eine Funktion von t enthält. Stellen Sie es sich als kontinuierliche Symmetriegruppe vor, genau wie die kontinuierliche Translationssymmetrie, aber nur in t.
kakaz, vielleicht hast du recht. Haben Sie ein Beispiel, bei dem Lagrange nicht trivial von der Zeit abhängt (auf eine Weise, die nicht durch Subtrahieren einer Funktion von Zeit und Koordinaten eliminiert werden kann), aber die Aktion immer noch nicht von der Zeit abhängt?
Es ist nicht einfach. Erstens, wenn Lagrange nicht explizit von der Zeit abhängt, gilt dasselbe für Bewegungsgleichungen. Solche Gleichungen nennt man autonom. Wenn wir also zum Beispiel suchen, sollte es ein nicht autonomes System von pde sein. Zweitens ist es schwer zu sagen, ob Erhaltungsgrößen für solche Systeme Energie oder Impulse genannt werden können, aber sie können mit verschiedenen Symmetriegruppen in Beziehung stehen, die uns für autonome Systeme solche Invarianten liefern. Mit anderen Worten, wir sprechen von einer kühnen Verallgemeinerung.
Ein explizites Beispiel für ein solches System und eine Invariante finden Sie am Ende dieses Artikels: fismat.unizar.es/~jfc/pdfs/pub62.pdf Wie Sie vielleicht sehen und wahrscheinlich erwartet haben, ist es schwer zu lesen. Vielleicht Eine weitere wichtige Bemerkung hier ist, dass, wenn wir die ursprüngliche, zeitunabhängige Lagrange-Zahl £ durch £' = £ + π ersetzen, wobei π die vollständige Zeitableitung einer Funktion von (p,q,t) ist, das Aktionsintegral unverändert bleibt, also wahrscheinlich Durch einen cleveren Trick können Sie zeitabhängige Lagrange erzeugen, was tatsächlich eine Art gefälschtes Beispiel wäre ...
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