Hat ein Schaufelblatt in Überschallströmung keine Zirkulation?

Vielleicht übersehe ich etwas, das für Sie offensichtlich ist, aber warum glauben Sie, dass es keine Auflage gibt?

Nehmen Sie den einfachsten Fall einer unendlich dünnen 2D-Flachplatte in einer linearisierten Überschallströmung . Die Lösung im gestörten Geschwindigkeitspotential ($\hat{\phi}$) Ist:

$$\hat{\phi}= \begin{cases} 0 & x\pm\beta z<0 \\ \frac{1}{\beta}\alpha(x-\beta z) & 0\le x-\beta z\le c, & z>0 \text{ (upper surface)}\\ -\frac{1}{\beta}\alpha(x+\beta z) & 0\le x+\beta z\le c, & z<0 \text{ (lower surface)}\\ \pm\frac{1}{\beta}(\alpha c) & x\pm\beta z>0 \end{cases}$$

Wo$c$ist die Sehnenlänge der flachen Platte,$x$Und$z$sind die horizontalen und vertikalen Koordinaten,$\alpha$ist der Anstellwinkel und$\beta=\sqrt{M_\infty^2-1}$ist der Überschall-Prandtl-Glauert-Faktor.

Das Geschwindigkeitsfeld ($\vec{V}$) erhalten Sie als:

$$\vec{V} = \begin{bmatrix}V_\infty \\ 0\end{bmatrix}+V_\infty\nabla{\hat{\phi}} = \begin{bmatrix}V_\infty\pm\frac{1}{\beta}\alpha V_\infty \\ -\alpha V_\infty\end{bmatrix}$$

Wo$V_\infty$ist die Fluggeschwindigkeit im freien Strom. Die erste Gleichung ist plus für die obere Fläche und minus für die untere Fläche.

Nehmen Sie einen unendlich dünnen geschlossenen Pfad ($C$), die sich um die Ober- und Unterseite wickeln, und berechnen Sie die Zirkulation ($\Gamma$):

$$\Gamma = \oint_C\vec{V} \cdot \hat{n} ds=\frac{2\alpha c V_\infty}{\beta}$$

Dies ist offensichtlich nicht Null. Tatsächlich ist dies leicht durch den potenziellen Sprung im Kielwasser zu erkennen.

Und wenn wir den Auftriebskoeffizienten berechnen ($C_l$) dieses flachen Profils unter Verwendung des Satzes von Kutta-Joukowski ($L'=\rho_\infty V_\infty \Gamma$) erhalten wir die klassische Überschallauftriebsbeziehung :

$$C_l=\frac{L'}{1/2\rho_\infty V_\infty^2 c}=\frac{4\alpha}{\beta}$$