Hatte Kant unrecht, alle Mathematik als „a priori“ zu bezeichnen?

Vorwort: Kants Behauptung wird von Prof. David Joyce widerlegt , der sich auf die nichteuklidische Geometrie bezieht, und durch den letzten Satz auf Sparknotes , der besagt, dass „empirische Geometrie synthetisch ist, aber auch a posteriori “. Deshalb erkläre ich, warum mir Mathematik im Nachhinein erscheint , anhand von mathematischen Beispielen aus der High School, die für Kant einfach genug sein sollten.

[ Quelle : ] Für Kant haben mathematische Urteile eine intrinsische Verbindung zu Raum und Zeit. Er betrachtet Mathematik als Geometrie und Arithmetik, und die Basis der Geometrie ist die Größe, die wir als Ausdehnung im Raum begreifen, während die Basis der Arithmetik die Größe ist, die wir als Ausdehnung in der Zeit begreifen. Dementsprechend wird für Kant die Frage nach der Natur der mathematischen Grundlagen zur Frage nach der Natur unserer Erfassung der Größen räumlicher und zeitlicher Ausdehnung.

Auf der Grundlage, dass er Raum und Zeit braucht, um eine Quelle a priori zu haben , folgert er, dass die Mathematik eine Quelle a priori hat . Aber die Natur dieser a priori Quelle besteht seiner Ansicht nach nicht nur darin, den Inhalt von Konzepten zu erkennen, die wir bereits besitzen (wie wenn wir beurteilen, dass ein Junggeselle unverheiratet ist), sondern beruht vielmehr auf unserer Fähigkeit, räumliche oder zu synthetisieren zeitliche Erweiterung, um zu Sätzen zu gelangen, die geometrische oder arithmetische Größen beschreiben. Indem er also mathematische Urteile für Akte der Synthese hält, die unser Verständnis von Raum und Zeit betreffen, hält er sie für synthetisch a priori .

Verstehen und das also nicht in Frage stellen

  1. Mathematik ist synthetisch (z. B.: Kann jemand die kubische Gleichung auf den ersten Blick lösen, ohne Algebra zu machen?)

  2. und Grundschulmathematik erscheint einem Erwachsenen a priori ,

Ich bestreite nur, dass Mathematik auf Highschool- und Universitätsniveau a priori ist.

Angenommen, ein Mathematikstudent kann ein Konzept richtig beweisen oder quantifizieren (z. B. das Möbiusband ( Bild ), die Hauptkomponentenanalyse ( Bild ) oder eine Gleichung, die visuell bewiesen werden kann ), aber Bilder oder intuitive Erklärungen bereichern dieses Wissen auf die nächste Ebene . Dann lernen all diese Schüler Mathematik erst, NACHDEM sie diesen intuitiven Erklärungen und Visualisierungen ausgesetzt waren, und daher muss Mathematik manchmal nachträglich sein . Richtig?

Ich denke, diese Frage hat ein häufiges Missverständnis des Begriffs a priori zur Folge : Dies bedeutet keineswegs, dass das eine dem anderen zeitlich vorausgeht , sondern vielmehr, dass es dem anderen logisch vorausgeht. Kant sagt hier eigentlich nur, dass die Mathematik aus ihren Prinzipien (Axiomen) aufgebaut ist oder zumindest aufgebaut werden kann (ich nehme dies als die Hauptsache ), ohne dass es entsprechender Intuitionen bedarf, also im Gegensatz zu empirischen Begriffen, die mit reflektierendem Urteil arbeiten und Vorstellungskraft. Dass sehr spät Axiome gefunden wurden, zB von Kolmogorov, unterstützt diese Behauptung.
Die Schüler lernen Mathematik aus Erfahrung; aber sobald sie es gelernt haben, erkennen sie seine apodiktische Gewissheit; und überhaupt wird das Wesen dieser Gewißheit a priori angenommen - wie könnte es anders sein; wie kann 1+1 etwas anderes als zwei sein; oder wie können sich die Winkel des Dreiecks zu etwas mehr oder weniger als 180 Grad addieren?
Aber Kant sagt, dass man aus der bloßen Definition des Dreiecks nicht schließen kann, dass seine Winkel sich zu 180 Grad addieren müssen – das heißt, es ist kein analytischer Satz; Angesichts der Tatsache, dass Gauß Kant gelesen hat, erscheint es mir nicht unplausibel, dass die Erfindung der nichteuklidischen Geometrie konkret in irgendeiner Beziehung zu Kant stand.
@PhilipKlöcking Danke für die Aufklärung wovon ich profitiert habe. Nur zur Klarstellung: Ich habe meinen letzten Absatz nicht auf die Reihenfolge der Zeit gestützt; Ich stützte es auf die Reihenfolge der Logik: Die Bilder und die Intuition, auf die ich mich bezog, sind KEINE logischen Argumente und erfordern daher keine Logik; ABER diese A-posteriori - Erfahrungen tragen zu dem A-priori- Teil bei, wenn sie ihn nicht erzeugen, der die Schüler verwirrt.
Natürlich erzeugen Erfahrungen in gewisser Weise a priori Wissen. Ohne Erfahrung gäbe es nichts, nicht einmal die Kategorien, denn sie sind Funktionen des Verstehens, eine Art der Informationsverarbeitung. Wie könnten Sie ohne Informationen von ihnen erfahren? Daher sollte a priori so verstanden werden, dass es die kontingente Erfahrung transzendiert und ihr nicht vorausgeht . Auch wenn Mathematik mit Hilfe von Bildern verstanden wird, wäre es ein seltsames Verständnis mathematischer Wahrheit, wenn es als aus dieser Erfahrung induziert beschrieben würde, nicht wahr?
Die Frage nach dem kantischen Status der Mathematik als „synthetisches Apriori“ ist meines Wissens sehr kompliziert und umstritten. Obwohl ich ohne ein bisschen Arbeit nichts beitragen kann, denke ich, dass die bisherigen Kommentare und Antworten nicht zufriedenstellend sind. Zunächst einmal ist nicht klar, dass Geometrie und Arithmetik bei Kant gleich behandelt werden können. Man kann sagen, dass Geometrie "Intuition a priori" beinhaltet, obwohl dies in einigen Lesarten von Kant widersprüchlich wäre.

Antworten (6)

Ich habe ein anderes Verständnis von Mathematik als das im interessanten Beitrag https://philosophy.stackexchange.com/a/32859/40722 ersichtliche . Ich werde hier einige Gründe nennen.

Ich widerspreche der Annahme, dass sich alle Menschen letztendlich auf die gleichen mathematischen Wahrheiten einigen werden, da es so etwas wie mathematische Wahrheit nicht gibt . Es gibt jedoch bestimmte Sätze von Axiomen mit bestimmten Konsequenzen, die durch mathematisches Denken abgeleitet werden können.

Argument 1: Die Wahl der Axiome ist nicht offensichtlich. Würden Sie Zorns Lemma und das Auswahlaxiom in Ihre Mengenlehre aufnehmen oder nicht?

Argument 2: Die Wahl der Begründungs- und Ableitungsmechanismen ist nicht offensichtlich. Wie würden Sie doppelte Verneinung behandeln? Müssten Beweise konstruktiv sein? Sind transfinite Mechanismen erlaubt?

Argument 3: Angemessen komplexe Axiomensätze leiden an (Goedel-)Unvollständigkeit. Für eine bestimmte Axiomatisierung der Arithmetik könnten Sie also zahlreiche Formeln X finden, die nicht abgeleitet werden können und für die Sie die Wahl haben, X oder Nicht-X zum Satz von Axiomen hinzuzufügen.

Argument 4: Sie können die sogenannte interne Mengenlehre verwenden, um zu beschreiben, was als Nicht-Standard-Analyse bekannt ist. Also, was ist jetzt die „wahre“ Analyse? Traditionelle Analyse? Nicht standardmäßige Analyse? Traditionelle Analysis ohne Zorns Lemma auf intuitionistische Beweise beschränkt? Oder eine andere Wahl?

Argument 5: Entgegen der landläufigen Meinung ist Mathematik empirisch mit der Vorstellung, die Wahrheit im Labor zu finden. Das Labor ist das menschliche Gehirn. Ich denke mir einige Axiome aus, überprüfe die Konsequenzen, stelle fest, dass sie den betreffenden Bereich nicht angemessen modellieren, und passe daher meine Axiome an.

Es gibt jedoch eine sehr starke Eigenschaft unseres Geistes, die uns glauben lässt, dass viele Dinge a priori sind. Besonders gute Kandidaten sind Logik, Geometrie und Zählen. Deshalb tauchten die meisten meiner Argumente erst vor kurzem in der mathematischen und logischen Forschung auf und stifteten Verwirrung in der Fachwelt.

Die Idee, dass Mathematik a priori ist, hat nichts mit der Schwierigkeit zu tun, sie zu lernen, oder mit der Menge an Erfahrung, die ein Mathematiker benötigen könnte, um eine bestimmte Disziplin zu meistern. Es stellt sich die Frage, ob es auf Erfahrung ankommt oder nicht:

„So werden auch die Grundsätze der Geometrie, zum Beispiel, dass ‚in einem Dreieck zwei Seiten zusammen größer sind als die dritte‘ niemals aus allgemeinen Begriffen von Linie und Dreieck abgeleitet, sondern aus der Anschauung, und zwar a priori mit apodiktische Gewissheit." [A25/B39]

Mathematische Wahrheit ist völlig unabhängig von Erfahrung. Es hängt nicht von gesellschaftlichen Konventionen ab, und es ist nicht möglich, dass eines Tages neue Beweise das zunichte machen, was wir als mathematische Wahrheit kennen. Es ist in der Logik verwurzelt, was Kant sehr gut verstanden hat.

Das Argument, dass die nicht-euklidische Geometrie Kant's Position dazu irgendwie widerlegt, zeigt ein Missverständnis dessen, was er sagte. Als Kant von euklidischer Geometrie sprach, behauptete er nicht, dass dies die einzig mögliche Geometrie sei. Vielmehr behauptete er, dass unsere Repräsentationen und wie wir die Realität erfahren, auf den dreidimensionalen Raum beschränkt sind:

„Wir können uns niemals vorstellen oder uns vorstellen, dass Raum nicht existiert, obwohl wir leicht genug denken können, dass keine Objekte darin gefunden werden. Er muss daher als Bedingung für die Möglichkeit von Phänomenen betrachtet werden, und keineswegs als eine von ihnen abhängige Bestimmung, sondern eine Vorstellung a priori, die den äußeren Erscheinungen notwendig den Grund liefert..." [A23/B37]

Das Ironische daran ist, dass selbst Mathematiker, wenn sie von alternativen Geometrien sprechen, diese Geometrien mit Begriffen der euklidischen Geometrie beschreiben. Wenn sie beispielsweise von gekrümmtem Raum sprechen, wird die Idee der Raumkrümmung relativ zur euklidischen Geometrie dargestellt. Sie ist in Bezug auf die euklidische Geradheit gekrümmt. Damit bezeugen sie tatsächlich, dass die euklidische Geometrie als Grundlage unserer Erfahrung dient.

Als Gauß versuchte, den Mangel an Notwendigkeit in der nicht-euklidischen Geometrie zu veranschaulichen, zeichnete er pseudo-euklidische Figuren, die manchmal mit seinen Beschreibungen nicht übereinstimmten. Wie würden Sie zum Beispiel einen Bogen mit zwei verschiedenen Radien zeichnen: einem endlichen und einem unendlichen? Natürlich ist es nicht möglich. Er versuchte, Gegenstände, die mit der Erfahrung unvereinbar sind, so darzustellen, als ob sie es wären. Um seine Arbeit als Mathematiker nicht zu schmälern, aber er meinte nicht dasselbe wie Kant. Kant interessierte sich für Gegenstände der Erfahrung, und die außererfahrungsbezogenen Entitäten von Gauß trugen nicht dazu bei, unsere Gewissheit zu mindern, dass die euklidische Geometrie von solchen Erfahrungen bestimmt ist.

Wenn Kant schreibt: „In einem Dreieck sind zwei Seiten größer als die dritte, werden niemals aus allgemeinen Begriffen von Linie und Dreieck gezogen“, zeigt er sicherlich, dass dieser Satz nicht analytisch sein kann ; ein analytischer Satz hat nicht mehr Inhalt als sein Subjekt, und hier bestreitet Kant ausdrücklich, dass er analytisch sein kann, indem er „nie aus allgemeinen Begriffen von Linie und Dreieck gezogen wird“; wenn es nicht analytisch ist, dann ist es synthetisch.
Und dies knüpft an Kants Manöver an, um zu zeigen, dass Geometrie und Arithmetik zusammen mit Raum und Zeit synthetische Sätze a priori sind. Ich schlug vor, dass Gauß von Kant inspiriert worden sein könnte – vorausgesetzt, er hatte ihn gelesen; aber diese Inspiration muss nicht direkt sein; und wenn dies wahr ist, dann ist es ironisch, wenn man bedenkt, wie oft die Tatsache der nicht-euklidischen Geometrie, entweder geometrisch oder physikalisch, verwendet wird, um darauf hinzuweisen, dass Kant sich geirrt hat, wie Raum erfahren wird .
Kant und Gauß sprechen sicherlich „von verschiedenen Dingen“; aber das untergräbt nicht die Möglichkeit der Inspiration, insbesondere angesichts der Kant-Phrasierung.
Mein Eindruck ist, dass Gauß Kant nicht ganz verstanden hat. Es ist nicht wichtig, dass Kant mit seiner Darstellung der Geometrie 100% richtig liegt. Wichtig ist, dass es keinen Ersatz für die Funktion gibt, die es als Form der Intuition erfüllt. Es gibt keine empirische Quelle für apodiktische Gewissheit.
„In einem Dreieck sind zwei Seiten zusammen größer als die dritte“ Es sei denn, Sie erlauben negative Dimensionen oder verwenden die komplexe Ebene. Der Appell an unsere Erfahrung weist nur auf Zufall hin, nichts Grundsätzliches. Wenn wir uns in Umgebungen mit komplexen Gravitationsfeldern und merklicher Zeitdilatation befänden, wäre unsere Intuition die Raumzeit. Die euklidische Geometrie ist falsch, weil es sich um einen Spezialfall handelt. Wir können Phänomene ohne Kantsche Voraussetzungen betrachten, wie Spin-Netzwerke der Schleifen-Quantengravitation. Zwischen Definitionen haben wir Notwendigkeit, aber ob die Definitionen richtig sind, bleibt immer eine offene Frage

Der Grund, warum Mathematik a priori sein muss, liegt darin, dass wir davon ausgehen, dass sich alle Menschen letztendlich auf dieselben mathematischen Wahrheiten einigen werden.

Das gilt für keine andere Domain. Wir gehen davon aus, dass unsere Physik durch unsere Erfahrung moderiert wird, aber nicht unsere Mathematik. Gleich kompetente und intelligente Physiker jeder Generation waren anderer Meinung, selbst wenn sie Zugang zu denselben Daten hatten. Ebenso für Biologie, Ethik, Recht usw. Aber Mathematiker erwarten, wenn ihnen einmal Beweise gegeben wurden, nicht zu widersprechen. Wenn es keinen Konsens gibt, müssen wir davon ausgehen, dass der Fehler im Beweis liegt – er ist in gewisser Weise unvollständig.

Der Wahrheitswert wird also außerhalb des Individuums gesetzt, unabhängig von Erfahrung. Es ist möglicherweise noch nicht „synthetisiert“, indem es den Reizen ausgesetzt ist, die es relevant machen. Aber es ist bereits gebildet, oder es würde letztendlich zwischen den Individuen variieren.

Eine materialistische Art, das a priori-Denken zu formulieren, wäre, dass es zumindest phylogenetisch ist: Alle Menschen stimmen darin überein, und sobald sie die Konzepte gebildet haben, ändert es sich für sie nie. Wir können nicht wissen, ob Nicht-Menschen dies tun würden, aber mit diesem Argument deutet Kant an, dass sie dies tun werden, es sei denn, ihre Wahrnehmung von Raum und Zeit ist völlig anders und hat keine gemeinsame Grundlage mit unserer eigenen.

Anhang

Um den Einwand von @Conifold zu beantworten: Um Erfahrungen zu kombinieren und überhaupt allgemeine Prinzipien abzuleiten , muss es einen Mechanismus dafür geben - Erfahrung korreliert sich nicht von Natur aus mit Regeln - wir machen das damit. Kant schlägt die Kategorien vor, die in ihrer Detailliertheit und Spezifität etwas kühn sind.

In einer eher materialistischen Richtung würde ich vorschlagen, dass der Mechanismus das angeborene subjektive emotionale Gefühl von „Klarheit“ ist. Es gibt eine Art von Kombination, die über die Spezies hinweg am deutlichsten ist, und das Ergebnis ist ein gegebenes gemeinsames Substrat von Annahmen, die zugrunde liegen und zu Logik und Mathematik werden. (Das Gefühl, dass diese Basis geteilt wird und dass wir uns in die gemeinsamen Aspekte davon vertiefen sollten, ist am deutlichsten in unserer Erfahrung der musikalischen Melodie.)

Dazu gehören zwei tief geteilte Kernsätze von Intuitionen:

  1. unser gemeinsames stereoskopisches Raummodell, das:

    • ist bei Menschen üblich, selbst wenn viele Sinne beeinträchtigt sind
    • ist sehr unabhängig von tatsächlichen oder sogar potenziellen Ansichten – denken Sie an außerkörperliche Erfahrungen

  2. die Erfahrungen der Kontinuität und Trennbarkeit von Momenten, die wir als Zeit erleben (ana la Brouwers Analyse im Intuitionismus), die:

    • stützen unsere Vorstellungen von diskret und kontinuierlich – einschließlich ihres grundlegenden paradoxen Versagens, richtig zu kombinieren, und der seltsamen, fehlerhaften Vorstellungen von Unendlichkeit und Negation, die letztendlich resultieren
    • erzeugen über Rhythmus und Tempo den Impuls zum Zählen und Messen, den wir in mathematische Zahlenvorstellungen extrapolieren
Ich nehme an, dass die Mathematik ebenso wie die Physik durch unsere Erfahrung moderiert wird, obwohl sie möglicherweise weniger transparent ist. Wenn unsere Sinnesorgane anders wären, würden wir die Geometrie anders strukturieren, wenn sich gewöhnliche Objekte anders verhalten würden, hätten wir eine andere Arithmetik. Viele Menschen, darunter auch Mathematiker, sind sich trotz ihrer Beweise selbst über grundlegende mathematische „Wahrheiten“ wie die Existenz unendlicher Mengen oder natürlicher Zahlen nicht einig, ganz zu schweigen von dem Wahlaxiom und seinen Konsequenzen. "Alle Menschen" sind sich nicht einmal über logische Gesetze einig. Universelle erfahrungsunabhängige reine Mathematik ist reine Fantasie.
@Conifold. Reine Mathematik mag eine Fantasie sein, aber ich bin mir nicht so sicher, was universelle Erfahrung angeht. Jedenfalls bin ich verwirrt über Ihre Antwort auf die Frage, die ziemlich grundlegend ist. Zu sagen, die Menschen seien sich über „dieses oder jenes“ nicht einig, beantwortet kaum Kant’s Prämisse, dass solche Meinungsverschiedenheiten nur „a priori“ in einem gemeinsamen diskursiven „Raum“ möglich sind. Was ... "Raum" ist, in Ermangelung eines besseren Begriffs. Geometrie ist genau die „a posteriori“ wissenschaftliche Erforschung dieses „a priori“ Zustands, nicht wahr?
Dann existiert Mathematik als Disziplin einfach nicht – Geometrie ist Physik, Arithmetik ist einfach ein Aspekt der Logik, ein Teilbereich der Linguistik usw. In diesem Fall hat die Frage keinerlei Bedeutung, Kant kann in Bezug auf einen Bereich nicht richtig oder falsch liegen ohne Inhalt. Aber Tatsache ist, dass wir uns im Grunde über die Dinge einig sind, über die wir uns einigen können, die bewiesen sind. Wir mögen unterschiedliche Beweisstandards haben, aber das ist nebensächlich, wir stimmen am Ende über den Inhalt auf eine Weise überein, die wir über die Physik nicht einig sind. Mathematik mag eine Frage der bloßen Psychologie sein, aber diese Psychologie ist weit verbreitet.
@Nelson Ich denke, Kants Prämisse war eher, dass Wissen (in seinem maximalistischen Sinne) möglich ist und gemeinsame a priori der Erfahrung eine Bedingung für ihre Möglichkeit sind. Es ist heute schwer zu behaupten, dass seine Prämisse gilt. Was das deflationierte Wissen betrifft, so hat Wittgenstein beispielsweise skizziert, wie es aus der gemeinsamen Praxis zusammen mit dem gemeinsamen "Diskurs", einem verdinglichten Sprachspiel, hervorgehen kann. Andere a priori-lose Darstellungen der Intersubjektivität sind ebenfalls verfügbar, zB die von Husserl. Was sie eint, ist die Übereinstimmung, dass die Annahme, dass unsere „Gemeinsamkeit“ konzeptionell ist, der Irrtum des Rationalismus ist.
@Conifold. Es entzieht sich, wie durch ein Sprachspiel die gemeinsame Erfahrung des Sehens (und der Rekonstruktion des Raumes genauso durch Klang oder Berührung, wenn das Sehen fehlt) erreicht werden kann. Es muss etwas da sein, das aufgedeckt und geteilt werden kann.
Außerdem, wer hat irgendetwas darüber gesagt, dass das A priori konzeptionell ist – ich behaupte, dass sie tatsächlich emotional sind, bis sie durch Kontakt mit anderen verfeinert werden. Berichte von denen, die keine Sprache haben oder sie spät erwerben, weisen darauf hin, dass Dinge wie Raum, Widerspruch und Verallgemeinerung nicht konzeptionell sein müssen. Aber sie sind so angeboren wie unsere Anziehungskraft auf Gesichter.
@Conifold. Die Übereinstimmung in Bezug auf die mathematische Wahrheit ist für die Frage irrelevant, da es nicht darauf ankommt, was wir wissen, sondern wie wir es wissen. Wenn die Mathematik ihre Wurzeln in empirischen Quellen hätte, würden sich Mathematiker auf wissenschaftliche Methoden wie Labortests oder vielleicht soziologische oder historische Untersuchungen verlassen. Dies ist natürlich nicht der Fall. Die Mathematik wurde immer als eine reine Disziplin etabliert und verifiziert, die sich für ihre Argumente allein auf die Logik stützt.
@PédeLeão Soweit ich weiß, ist Gauß 'Meinung zur euklidischen / nicht-euklidischen Geometrie laut Kleins Buch über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert empirisch: Experimente beweisen, welche Recht hat, nicht a priori oder kein Logikspiel. Die Mathematik in dieser Ära unterscheidet sich meiner Meinung nach ziemlich von der nach Hilbert. Und laut VIArnold ist die Mathematik ein Zweig der Physik, in dem Experimente billiger sind.
@FrankScience. Sie übersehen die Tatsache, dass weder Gauß noch sonst jemand Mathematik empirisch verifiziert. Diese sogenannten Experimente sind billig, gerade weil sie nicht empirisch sind.
@PédeLeão Experimente im Sinne von Gauß sind empirisch. Soweit ich verstanden habe, sprach Gauß nicht über die Beweise oder mathematischen Theorien an sich, sondern darüber, welches Axiomensystem wahr sein sollte (ich weiß nicht, was Gauß wirklich wollte, weil ich übersetzte Zusammenfassungen lese, nicht die von Gauß Originalworte).
@PédeLeão Vergleichen wir andererseits die Mathematik mit der Physik. Glauben Sie, dass es auf empirische Fakten ankommt? Soweit ich weiß, sind einige Zweige der Physik axiomatisiert, wie zum Beispiel die Quantenmechanik. Wie unterscheiden sie sich?
@FrankScience. Ich habe seine Argumente gelesen, und sie waren nicht empirisch. Ich kann mir nicht vorstellen, wie es anders sein könnte. Vielleicht sollten Sie seine Worte lesen, und dann können Sie mir erklären, inwieweit sie als empirisch gelten können.
@PédeLeão Kleins Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert , Seite 52: Gauß betrachtete seine nicht-euklidische Geometrie nicht nominalistisch, als bloßes intellektuelles Spiel ... Vielmehr war sein Standpunkt rein empirisch . Für ihn existierte der Raum außerhalb von uns und hatte seine eigenen festen Eigenschaften, die es wert waren, untersucht zu werden. Die Frage, welche Geometrie „in Wirklichkeit“ existiert und daher die richtige ist, sollte durch Experimente entschieden werden . Gauß drückte dies 1917 gegenüber Olbers aus (Werke 8:177).
@PédeLeão Hast du Werke 8:177 gelesen? Ich kann kein Deutsch lesen und ich weiß nicht, wie es zusammengestellt wird. Außerdem ist Kleins Buch aus dem Deutschen ins Englische übersetzt (und ins Chinesische, was ich gelesen habe). Haben Sie eine Idee dazu?
@PédeLeão Es scheint besser, den folgenden Satz von Felix Kleins Buch zu zitieren: Hier räumte er nur der Arithmetik eine a priori Wahrheit ein und stellte die Geometrie auf die gleiche Ebene wie die Mechanik , als empirische Wissenschaft.
@FrankScience. Ich würde sagen, dass Klein sich irren muss, weil es keinen Sinn macht zu behaupten, Geometrie sei empirisch. Ich empfehle, Kant zu studieren, weil er einen viel klareren Einblick in die Materie hatte.

In Thomas Vincis Kant, Geometrie und Raum , schreibt er:

Das zweite geometrische Argument verlangt von Kant, geometrische Theoreme aus den Prinzipien seiner mathematischen Methodenlehre abzuleiten und zu zeigen, dass sie den Status a priori synthetischer Sätze haben – etwas, das das erste Argument voraussetzt.

Dass dies keine leichte Aufgabe ist, führt Kant in der Einleitung der CPR und der Prologemena zu der Aussage

B19 : Wie ist es der menschlichen Vernunft möglich, mathematische Urteile zu fällen, die a priori synthetisch sind

Synthetisch bedeutet, dass die Wahrheit des Satzes außerhalb des Subjekts oder der Grammatik des Satzes liegt, während a priori das Gegenteil suggeriert, da es vor aller möglichen Erfahrung liegt, und sich daher auf reine Erkenntnis stützt; Daher ist die Frage nach einer solchen Aussage fast so, als würde man nach einer Art dialethischer Wahrheit suchen, da die beiden Begriffe Gegensätze sind.

Weiter sagt er:

philosophische Erkenntnis ist rationale Erkenntnis aus Begriffen , mathematische Erkenntnis die aus der Konstruktion von Begriffen.

Daher möglicherweise Konstruktivismus ...

Aber einen Begriff konstruieren heißt, die ihm entsprechende Anschauung a priori aufzeigen.

Deswegen

Für die Konstruktion eines Konzepts ist eine nicht-empirische Intuition erforderlich ...

Wenn es a priori ist, muss es nicht-empirisch sein

So konstruiere ich ein Dreieck, indem ich ein diesem Objekt entsprechendes Objekt zeige, entweder durch bloße Vorstellung, in reiner Anschauung; oder auf Papier als empirische Intuition; aber in beiden Fällen ganz a priori , ohne das Muster dafür irgendeiner Erfahrung entlehnen zu müssen.

Er erklärt, warum die empirisch gezeichnete Figur a priori dienen kann :

Die einzelne gezeichnete Figur ist empirisch und dient dennoch dazu, den Begriff auszudrücken, ohne seine Allgemeingültigkeit zu beeinträchtigen.

Seit

Denn wir haben bei dieser empirischen Anschauung nur die Wirkung der Bildung dieses Begriffs berücksichtigt, der viele Bestimmungen, z. B. die der Größe der Seiten und Winkel, völlig gleichgültig sind.

Und

daher haben wir von diesen Unterschieden abstrahiert, die den Begriff eines Dreiecks nicht ändern.

Dieses Bild habe ich im Kopf, wenn ich an ein Dreieck denke, als hätte ich ein Dreieck vor mir gezeichnet, dessen Seiten und Winkel nicht mit bestimmten Zahlen, sondern mit Buchstaben gekennzeichnet sind, um - mit einem Zeichen - auszudrücken, dass ich gleichgültig bin zu ihrer tatsächlichen Größe, sondern dass sie notwendig sind.

Ich kann mich für mein ganzes Leben nicht erinnern, wer das ursprünglich argumentiert hat, oder den Artikel über die Google-Suche finden, aber @Conifold hat oben darauf hingewiesen: Mathematik ist untrennbar mit der physischen Welt verbunden, in der wir leben, und ist daher nicht unbedingt a priori wahr.

Stellen Sie sich eine Welt vor, in der sich alle Materie bis auf molekulare Ebene wie eine Art Flüssigkeit verhält. Angenommen, die physikalischen Gesetze dieses Universums sind drastisch unterschiedlich. Würden die Bewohner dieser Welt die gleichen Wahrheiten haben, die wir über Mathematik haben, ohne starre Formen oder streng definierte Objekte? Hätten sie a priori Kenntnisse über Polygone? Würden ihnen jemals Dreiecke in den Sinn kommen? Es scheint sogar zweifelhaft, dass wir ohne die raffinierte Funktion, in der Materie in unserem Universum zusammenklumpt, überhaupt das gleiche Verständnis dafür hätten, wie Zahlen funktionieren.

Stoff zum Nachdenken, denke ich.

Was Ihr Gedankenexperiment betrifft, so finde ich es nicht besonders motivierend. Indem Sie mich bitten, „anzunehmen, dass Mathematik ohne externe Eingaben nicht vollständig verstanden werden kann“, nehmen Sie die Schlussfolgerung zu Ihrem Argument an, dass mathematisches Wissen nicht unbedingt a priori ist .

Sobald Sie sich mit Bleistift und Papier hingesetzt und den Satz tatsächlich selbst bewiesen haben, gibt es nichts mehr, was Ihr Verständnis "vertiefen" kann: Sie kennen ihn bereits durch und durch. Vielleicht kann Ihr Verständnis durch Interpretation oder Visualisierung "erweitert" werden, aber selbst dann sind diese Diagramme nur visuelle Darstellungen der in der Mathematik enthaltenen Logik, nicht vergleichbar mit der Beziehung zwischen Experimenten und Wissenschaft.

Es gäbe immer noch getrennte und zählbare Flüssigkeitsgruppen. Problem gelöst. Mathematik a priori erreicht .

Es gibt klare Meinungsverschiedenheiten in den Grundlagen der Mathematik, ob sie a priori ist oder nicht. Die meisten Platoniker und alle Kantianer halten mathematische Aussagen für notwendigerweise. Obwohl es zusätzlicher synthetischer Aktivität bedarf, um zu zeigen, dass 5 und 7 addiert gleich 12 sind, war es immer notwendigerweise so, dass 5 + 7 = 12. Kants „Behauptung [ist], dass alle mathematischen Urteile synthetisch und a priori sind. Dort behauptet er erstens, dass „eigentlich mathematische Urteile immer a priori Urteile sind“, weil sie notwendig sind und daher nicht aus Erfahrung abgeleitet werden können“ http://plato.stanford.edu/entries/kant-mathematics/

Für Platonsim sagt SEP, dass die meisten Platoniker die gleiche modale Notwendigkeit in Bezug auf Mathematik haben. Wie direkt der Platoniker denkt, dass wir auf abstrakte mathematische Objekte zugreifen können, sagt wahrscheinlich aus, ob der Platoniker a priori mit Mathematik zu tun hat oder nicht.

Vergleichen Sie das mit Fiktionalismus: „Yablo (2001) betont im Fall des mathematischen Fiktionalismus, dass wir bei der gewöhnlichen Verwendung mathematischer Sätze scheinbar etwas a priori und notwendig behaupten, aber es scheint nicht a priori und notwendig zu sein, dass dies gemäß der Fiktion von Standardmathematik, die Dinge stehen so und so. Im Allgemeinen zwingt Meta-Fiktionalismus die Aufmerksamkeit auf das „entsprechend der Fiktion …“ https://plato.stanford.edu/entries/fictionalism/

Ich glaube nicht, dass Formalismus oder Nominalismus hier viel Haut im Spiel haben. Ich weiß auch nicht, was Konstruktivismus und Intuitionismus sagen. Aber es ist klar, dass es Meinungsverschiedenheiten über Kants a priori-Behauptungen gibt. Ob er sich in diesem Punkt geirrt hat oder nicht, lässt sich nicht sagen, da sich der Staub noch nicht gelegt hat. Aber seine Begründung erscheint im modernen Kontext sicherlich fragwürdig und anspruchslos.

Hatte Kant unrecht, alle Mathematik als „a priori“ zu bezeichnen?
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