Als ich Kants Kritik las, hatte ich das Gefühl, dass er eine Art Formel gefunden hatte, um etwas eine Dimension zu nennen. Der Raum scheint aus einer unendlichen Ausdehnung zu entstehen. Die Zeit scheint aus einer unendlichen Dauer zu entstehen.
In jüngerer Zeit scheint es mit fraktaler Geometrie eine andere Art von Unendlichkeit zu geben: Komplexität. Kann Komplexität oder „Zoom“ als Dimension betrachtet werden?
Ist es gültig, sich die Unendlichkeit in Dimensionen vorzustellen?
Ich bin mir nicht sicher, was Ihre Frage genau ist, also werde ich sie auf meine eigene Weise interpretieren:
Grob gesagt entstand die Dimension zuerst, als Descarte entdeckte, wie man den Raum koordiniert. Sobald Sie festgestellt haben, dass 3 Zahlen dazu dienen, einen Punkt im Raum zu identifizieren, können Sie verallgemeinern, dass 5 Zahlen sagen, und das identifiziert einen Punkt in einem neuen Raum, der jetzt 5-dimensional ist .
Das erscheint zunächst naiv und nicht wirklich interessant. Spielen wir nur Spiele mit einer Liste von Zahlen? Aber es stellt sich heraus, dass traditionelle geometrische Begriffe auf diesen Kontext angewendet werden können. Sachen wie Krümmung, Länge, Winkel usw. Es wird also interessant.
Es stellt sich heraus, dass die Idee der Dimension auf verschiedene Arten von Räumen und Algebren angewendet werden kann, zum Beispiel topologische Räume oder Ringe (eine bestimmte Art von Algebra), diese haben unterschiedliche Definitionen. Diese Räume oder Algebren können endlich sein, also hat die Dimension in gewisser Weise nichts damit zu tun, eine unendliche Anzahl von Punkten zu haben.
Nun, Dimension, wie sie traditionell im Raum verstanden wird, ist ein intrinsischer Begriff, Sie müssen den Raum nicht verlassen, um sie zu messen. Zum Beispiel können Sie sich eine Linie vorstellen, die an und für sich liegt und nicht in einem anderen Raum liegt, im Gegensatz zu einer Linie, die Sie beispielsweise auf die flache Oberfläche eines Tisches zeichnen könnten. Eine bessere Möglichkeit, sich letzteres vorzustellen, ist, dass Sie Ihre Zeile für sich genommen und (das ist der traditionelle mathematische Begriff) in den Tisch eingebettet haben.
Ein Fraktal entsteht, wenn diese Einbettung in gewisser Weise kompliziert ist, nämlich selbstähnlich . Die fraktale Dimension misst die Komplexität dieser Einbettung. In unserem Beispiel liegt es also zwischen 1, der Dimension dessen, was Sie platzieren - die Linie, und 2 - der Dimension dessen, was Sie platzieren - die Ebene.
Damit sich die fraktale Dimension von einer unterscheidet, benötigen Sie eine unendliche Anzahl von Punkten, sonst könnten Sie nicht hoffen, beim Heranzoomen Selbstähnlichkeit zu erzielen.
Was das mit Kant zu tun hat, keine Ahnung. Ich verstehe, dass er sich für Raum und Zeit interessierte und sie als Formen unserer Intuition postulierte. Das heißt, Raum und Zeit sind nicht da draußen , sondern in uns: Wir sehen die Welt durch Raum- und Zeitbrillen. Mir war nicht bewusst, dass er sich für die Idee der Dimension interessierte, vielleicht können Sie auf die Passage hinweisen, in der er sie beschreibt?
Josef Weissmann
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Josef Weissmann