Wie soll man die moderne Mathematik interpretieren, wenn man nicht an die Unendlichkeit glaubt?

Der Unglaube an die Unendlichkeit wird Ihnen nur dann Probleme bereiten, wenn Sie ein mathematischer Realist sind, was bedeutet, dass Sie glauben, dass eine Zahl wie 5 eine unabhängige ontologische Existenz hat, die der Unendlichkeit fehlt. Falls Sie denken, dass sowohl 5 als auch unendlich nur nützliche Konzepte sind, dann verschwindet das Problem.

Es gibt viele Konzepte, die wir im Leben und in der Wissenschaft nützlich finden, ohne ihnen eine größere oder tiefere Realität zuzuschreiben. Zum Beispiel fordert uns der große theoretische Physiker Richard Feynman in seinem Buch QED auf, sich Licht als kleine rotierende Pfeile vorzustellen. Was diese Pfeile betrifft, ist er in keiner Weise ein Realist. Er glaubt nicht, dass Licht ein kleiner rotierender Pfeil mit beliebiger Vergrößerung ist oder durch irgendein Instrument untersucht wird. Aber er findet es nützlich, Licht als rotierende Pfeile zu konzeptualisieren, weil es bestimmte schwierige theoretische Konzepte und Berechnungen einfacher zu visualisieren macht. Auch für den Fall, dass Sie ein Realist sein wollen um 5, könnte man immer noch behaupten, dass die Unendlichkeit eine bequeme Fiktion ist, die für Berechnungen einiger Art hilfreich ist. In diesem Fall werden Sie jedoch möglicherweise gebeten, zu erklären, warum eine dieser Zahlen „realer“ ist als die andere.

Es ist jedoch erwähnenswert (wie in den Kommentaren ausgeführt), dass der tatsächliche Ultrafinismus über den bloßen Unglauben an die Unendlichkeit hinausgeht. Es beinhaltet die Verpflichtung, überhaupt nicht (auch nicht als nützliche Fiktion) mit Zahlen umzugehen, die nicht vernünftig konstruiert werden können. In Anbetracht dessen, dass Sie, wenn Sie tatsächlich ein Ultrafinist sind, möglicherweise zwischen diesem Engagement und erheblichen Teilen der modernen Mathematik wählen müssen.

Mir scheint, es besteht ein grundlegender Widerspruch zwischen zwei Teilen Ihrer Frage.

Zuerst sagst du: "Ich bin ein Ultrafinitist".

Dann fragen Sie, wie Sie moderne Mathematik interpretieren sollen.

Aber der Ultrafinitismus ist eine Interpretation der Mathematik. Entweder Sie schließen sich dieser Interpretation an, in diesem Fall brauchen Sie sicherlich nicht zu fragen, was das ist, oder Sie schließen sich ihr nicht an, in diesem Fall sind Sie kein Ultrafinitist.

Wenn Sie „Moderne Mathematik“ als „ Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre möglicherweise mit einigen Erweiterungen und zusätzlichen Definitionen“ lesen, dann muss ein Ultrafinitist sicherlich das Axiom der Unendlichkeit verstehen . Vielleicht möchten Sie einfach sagen, dass es keine solche Menge gibt, wie sie das Axiom beschreibt; Wenn dies der Fall ist, hat Ihr Vorschlag Konsequenzen für zB kontinuierliche Funktionen in der Analyse. Dies ist eine Position, die von einigen Ultrafinitisten wie Doron Zeilberger verteidigt wird , die zum Beispiel argumentiert, dass jede echte kontinuierliche Analyse auf diskrete Analyse reduziert wird.

Eine andere Position wäre zu versuchen, das Axiom der Unendlichkeit irgendwie zu rehabilitieren - dass die durch das Axiom beschriebene Menge existiert, aber nicht wirklich unendlich ist; vielleicht denken wir zum Beispiel, dass die "unendliche Menge" ein Fallout einer erzwingenden Erweiterung des tatsächlichen endlichen mengentheoretischen Universums ist. (Obwohl das Erzwingen für den Ultrafinitisten wahrscheinlich unhaltbar ist, wurden alternative Neuinterpretationen vorgeschlagen, zum Beispiel die Verwendung innerer Modelle durch Yessenin-Volpin. )

Eine weitere Alternative wäre, einfach auf den Ansatz der mengentheoretischen Grundlagen zugunsten von Frameworks zu verzichten, die für kombinatorische Methoden freundlicher sind. Ein Beispiel dafür (obwohl selbst nicht unbedingt als finitistisches Programm zu lesen) ist das Programm Homotopy Type Theory . HTT nimmt eine abstraktere algebraische Sicht auf mathematische Grundlagen ein, die idealerweise darauf abzielt, solche zu vermeideneine Art mengentheoretisches Verpflichtungsgespräch, unabhängig von den jeweiligen Strukturen und Algebren, die es möglicherweise untersucht. Eine explizite Bindung an die infinitistischen Praktiken der Mengenlehre zu vermeiden, könnte vielleicht eher dem entsprechen, worum es einer ultrafinitistischen Sichtweise der Mathematik geht, ohne notwendigerweise die Forderung an sie zu stellen, tatsächlich zu erklären, wie der Verlust "transfiniter Zahlen" gemildert werden kann. als solche.

Es ist ein Axiom der modernen Mathematik, dass Unendlichkeit existiert, also widerspricht die moderne Mathematik meiner Meinung; Ich denke jedoch, dass es ein großer Fehler wäre, die gesamte moderne Mathematik nur wegen meines dummen Hängenbleibens wegzuwerfen. Schließlich funktioniert die moderne Mathematik.

Wenn Ihre Prämissen logischerweise zu einem Widerspruch führen, dann ist mindestens eine Ihrer Prämissen falsch. Ich schlage vor, dass Ultrafinitismus in diesem Fall falsch ist, nicht moderne Mathematik.

Ich glaube nicht, dass es so etwas wie Unendlichkeit gibt. Für mich ist es offensichtlich, dass es eine möglichst große Zahl geben muss; Ich weiß nur nicht, was es ist.

Hier liegt zunächst einmal ein Widerspruch vor.

Nennen wir die größte Zahl "N". Dann ist die Hälfte von N gleich N/2 – was offensichtlich kleiner als N ist, also nicht die größte Zahl. Dann gibt es eine Zahl, die N/2 + 1 ist. Eine solche Zahl ist auch kleiner als N, es sei denn, N ist zwei (und da wir fünf Finger in jeder Hand haben und fünf größer als 2 ist, scheint es ziemlich einfach anzunehmen dass N größer als 2 ist). Aber jetzt haben wir ein Problem. Für alle Zahlen gleich oder kleiner als N/2 gilt, dass alle Zahlen mit zwei multipliziert werden können: (1 X 2 = 2, 2 X 2 = 4, 3 x 2 = 6... (N/2 ) X2 = N). Aber N/2 + 1 kann nicht mit zwei multipliziert werden, denn das wäre N + 2, was größer als N ist und folglich keine Zahl ist, da N per Definition die größte Zahl ist. Manche Zahlen lassen sich also mit 2 multiplizieren, andere nicht. Oder dass sie es können, aber dann ist das Ergebnis keine Zahl (was sind sie dann?).

Zweitens... Ich glaube nicht an Kreise. Und während Sie nicht beweisen können, dass es eine größte Zahl gibt, kann ich sogar beweisen, dass es keine Kreise gibt. Wenn Materie aus Atomen besteht, dann muss jeder Kreis, der x Atome in seinem Radius hat, einen Umfang von π x Atomen haben – was unmöglich ist, da π irrational ist. Kreise existieren also nicht.

Dennoch weiß ich ziemlich genau, was ein Kreis ist und wann und warum man so etwas verwendet. Es ist eine Abstraktion; Wie Chris Sunami es ausdrückt, ist es ein nützliches Konzept. Ohne sie gibt es keine moderne Mathematik; aber schlimmer noch, es gibt keinen Euklid oder sogar Pythagoras ohne ihn.

Also ich denke das ist das Problem:

Physikalisch ist es möglich, dass es im Universum eine größte Zahl „gibt“: die Anzahl der kleinsten Teilchen oder der kleinstmöglichen Länge oder Fläche oder des kleinstmöglichen Volumens, die im Universum oder im Multiversum existieren. Aber jeder Mathematiker oder sogar ein lästiger Laie kann dann sagen: „diese Zahl … plus eins“, „diese Zahl … mal zwei“, „diese Zahl … zum Quadrat“. Und obwohl solche Zahlen größer sind als die Anzahl der zählbaren "Dinge" im Universum, sind sie immer noch Zahlen, denn jede der gewöhnlichen arithmetischen Operationen kann mit ihnen durchgeführt werden.

Mathematik ist keine „Wissenschaft“ im Sinne von Physik, Biologie oder Soziologie. Es ist eine Methode, und zwar eine Methode, die auf Dinge angewendet werden kann, die existieren, und auch auf Dinge, die nicht existieren.

Vier Einhörner sind immer noch doppelt so viel wie zwei Einhörner.

Wie soll man die moderne Mathematik interpretieren, wenn man nicht an die Unendlichkeit glaubt?

Um Ihre Frage im strengen und wörtlichen Sinne zu beantworten: Wer nicht an die Unendlichkeit glaubt, sollte sich von der Mathematik verabschieden. Ändere nicht die Mathematik, lass uns unsere Meinung ändern :-)

Aber ich nehme an, dass Sie sich ernsthaft für den Begriff der Unendlichkeit in der Mathematik interessieren, sagen wir zumindest seit den Zeiten von Cantor. Daher empfehle ich, ein wenig Cantors Theorie der transfiniten Zahlen zu studieren, zB Lesen

"Joseph W. Dauben: Georg Cantor and the Origins of Transfinite Set Theory. Scientific American, Vol. 248, No. 6 (1983)" (Falls Sie keinen Zugriff auf das Journal haben, kann ich Ihnen eine Kopie zusenden.)

Ein Spruch von Hilbert besagt:

"Niemand soll uns aus dem Paradies vertreiben, das Cantor für uns geschaffen hat."

Sie sagen, Sie wollen eine Möglichkeit, Mathematik zu interpretieren. Dies ist ein allgemeiner Schrei: Wir alle wollen auch Mathematik interpretieren, ob wir Ultrafinitisten sind oder nicht. Die Mathematik selbst ist ausreichend abstrakt, dass sie angewendet werden muss, um nützlich zu sein.

Zum Glück für Sie ist das eine gute Sache. Es ist abstrakt genug, dass Sie es als nichts anderes als „eine Reihe von Symbolen“ interpretieren können. Auf der grundlegendsten Ebene qualifiziert sich das als Interpretation der Mathematik.

Ich gehe davon aus, dass Ihr Ziel darin besteht, diese Mathematik tatsächlich zu verwenden. Um im Wortlaut genau zu sein, versuchen Sie, eine mathematische Formulierung (wie "1 + 1 = 2") in eine Form zu verwandeln, die es Ihnen ermöglicht, auf die Welt um Sie herum einzuwirken (Sie verlangen zwei Münzen. Ich gebe Ihnen eine Münze , dann gebe ich dir eine Münze. Wir sind quitt). Hier kommt der Ultrafinitismus ins Spiel. Sie sollten keine Probleme mit der Definition natürlicher Zahlen haben, N. Es steht den Leuten frei, beliebige Formulierungen zu verwenden, sogar alberne. Womit Sie Probleme haben sollten, ist die Anwendung dieser Formulierungen auf eine Weise, die Ihr tägliches Leben beeinflusst. Wenn ich Ihnen sagen kann, dass Sie auf dem Wasser gehen können, indem Sie die Kardinalität der natürlichen Zahlen als Teil meines mathematischen Beweises verwenden, sollten Sie der Nützlichkeit meiner Behauptung gegenüber skeptisch sein.

Sehr, sehr wenige dieser Anwendungen kommen tatsächlich direkt mit Unendlich zurecht. Normalerweise verwenden sie die Unendlichkeit als Teil eines Beweises. Beweise werden mit Wahrheit und Falschheit in Verbindung gebracht. Ein Beweis beweist, dass eine Theorie wahr ist. Wenn Sie einen gültigen Beweis haben, spielt es keine Rolle, wie absurd das Ergebnis ist, weil es sich als wahr erwiesen hat.

Dementsprechend kann man sich die moderne Mathematik anschauen. Vieles davon braucht eigentlich keine Unendlichkeiten. Viele Beweise für Aussagen, die endliche Zahlen beinhalten, stützen sich jedoch auf Unendlichkeiten, wie sie beispielsweise in der mathematischen Induktion zu finden sind. Das sind die kniffligen.

Um auf das zurückzukommen, was Sie wirklich versuchen, wandeln Sie Ihre "Realität" in ein mathematisches Bild um, beweisen etwas darüber und wenden das Ergebnis dann wieder auf die Realität an. Für diejenigen, die an die Unendlichkeit glauben, ist der Beweis ausreichend. Für Sie müssen Sie vielleicht etwas Intuition einsetzen, weil Ihnen jemand etwas sagt, das wahrscheinlich nützlich, aber nicht beweisbar ist. Wenn die Einsätze niedrig sind, kann es effektiv sein, sie zu beruhigen und ihre Abkürzung mit unmöglichen Zahlen zu verwenden. Wenn viel auf dem Spiel steht, sollten Sie wahrscheinlich versuchen, die Aussage ohne Unendlichkeiten zu beweisen.

Andernfalls steht es Ihnen frei, ihre Formulierungen mit einer möglichen Inkonsistenz zu übersetzen. Jedes Mal, wenn sie sich auf eine Unendlichkeit verlassen, steht es Ihnen frei zu argumentieren, "es ist möglich (wenn auch nicht unbedingt beweisbar), dass es eine willkürlich große Zahl gibt, für die dieser Satz inkonsistent ist."

Es gibt ein verwandtes Problem, das in der Mainstream-Mathematik auftaucht, bekannt als Axiom of Choice. Das Axiom der Wahl wird der Zermelo-Frankel-Mengentheorie (einer Mengentheorie, die Unendlichkeiten beinhaltet, wie ich weiß) hinzugefügt, um zu sagen, dass „aus einer gegebenen Menge von Mengen eine neue Menge konstruiert werden kann, indem man ein Element aus jeder der ursprünglichen Menge herauszieht setzt." Im endlichen Land macht es Sinn: "Wenn ich 10 Tüten voller Süßigkeiten habe, kann ich eine neue Tüte mit Süßigkeiten herstellen, indem ich aus jeder Tüte ein Stück Süßigkeiten nehme."

Im Infinity-Land wird es wackelig. Wenn Sie Sätze von unendlichen Elementen haben, können Sie seltsame Dinge tun, wie z. B. mit einer Kugel beginnen, sie in 5 Abschnitte würfeln, jeden dieser 5 Abschnitte drehen und 2 volle Kugeln mit denselben Abmessungen erzeugen. Der Trick besteht darin, dass Sie es in disjunkte unendliche Mengen von Punkten zerlegen. Dies ist so widerspenstig, dass viele Zermelo-Frankel mit dem Axiom of Choice (ZFC) nicht akzeptieren und stattdessen nur Zermelo-Frankel (ZF) verwenden.

Aber selbst diejenigen, die sich weigern, ZFC zu akzeptieren, beobachten, welche Beweise in diesem Bereich vor sich gehen. Viele Beweise, die jetzt nur mit ZF akzeptiert werden, wurden zuerst mit ZFC bewiesen und später verbessert, um vom Auswahlaxiom unabhängig zu sein. Daher können diejenigen, die ZF-Theorien entwickeln, ZFC als Quelle der Inspiration betrachten und vorschlagen, wo sie als nächstes nach einem Beweis suchen sollten.

Wenn Sie ein echter Physiker sind, dann gibt es in der Praxis angesichts der Grenzen von Zeit und Prozess die größte Anzahl, die jemals verwendet wird. Das bedeutet nicht, dass es sich im Prinzip um eine magische Grenze handelt, aber Zahlen darüber hinaus sind einfach irrelevant. Aber wer sind wir jetzt, um zu entscheiden, welche Zahl das sein wird? Warum nicht halbwegs bescheiden sein und so tun, als ob es weit über alles hinausgeht, was wir uns vorstellen können? Warum nicht für eine lange Zukunft planen?

Sie wählen diese Richtung, Sie können die Unendlichkeit aufgeben, aber Sie müssen sowieso eine kontinuierliche Steigerung zulassen.

Aus Sicht der „Nichtstandardanalyse“ sind die Elemente von Mengen wie die reellen Zahlen oder die ganzen Zahlen mit Unendlichkeit nicht real, sondern axiomatische Definitionen, die sich als Dinge tarnen. (Zwei ist die Eigenschaft, unterschiedliche Dinge zu haben, aber so wenige wie möglich , usw.) Zählbare Unendlichkeit, als Zahl mit jeder Zahl, die Ihnen als Vorgänger begegnet ist, aber kein unmittelbarer Vorgänger, ist die Abkürzung für die Codierung der kontinuierlichen Zunahme. Es ist die größte jemals verwendete Zahl, die sich für immer von uns entfernt und in das entgleitet Zukunft.

Jede solche axiomatische Definition, ausgedrückt in einem Muster, das niedergeschrieben werden kann, ist ein Erkennungsmechanismus, der umgestaltet werden kann, um als Erzeugungsmechanismus verwendet zu werden.

Zum Beispiel ist das native intuitionistische Modell (a la Brower) einer reellen Zahl „ein frei fließender Strom von Bits“. Jede reelle Zahl ist ein Prozess, der Ihnen immer die nächste Ziffer an Genauigkeit liefert. Die Zahl selbst wird wie ein Punkt im Raum behandelt, aber ihr liegt wirklich eine fortlaufende Annäherung zugrunde.

Angesichts der Vorstellung, dass jede Regel als Prozess betrachtet werden kann, können alle anderen nützlichen Anwendungen der Unendlichkeit in ähnlicher Form neu codiert werden.

Es ist also völlig vernünftig, die numerischen Teile der Mathematik als gutes Nachdenken über Messungen und Annäherungen und ihre endgültigen Einschränkungen zu betrachten, selbst wenn Sie „Grenzen nehmen, wenn x gegen unendlich geht“ oder zwei Dinge dividieren, die beide „gegen Null gehen“.

Dinge wie unendliche Gruppen usw. abstrahieren diesen zugrunde liegenden Mechanismus, vorausgesetzt, er kann getreu in einer Intuition erfasst und aus seinen konkreteren Formen herausgerissen werden. Wenn Sie nicht bereit sind, diesen Sprung zu machen, dann können Sie sich an Geometrien und endliche Strukturen halten und davon ausgehen, dass die nominell unendlichen keine Anwendungen haben, die Sie interessieren werden.

Wenn Sie diesen Sprung machen, sind Sie von der Berechnung zur Psychologie übergegangen. Indem Sie davon ausgehen, dass menschliche Intuitionen in Bezug auf Dinge wie Unendlichkeit oder Kontinuität ein eigenes Interesse haben und dass die Faszination, die wir für sie empfinden, eine gewisse Grundlage hat, können Sie sich auf eine Art tiefpsychologische Kunst einlassen, entweder aus Interesse an der Psychologie, oder Anziehungskraft auf die Kunst.

Einige der Produkte dieser Kunst stellen sich als Repräsentationen in der Realität heraus, die bestimmte Arten anderer Dinge leichter vorstellbar machen. Genauso wie andere Arten von Geschichten uns helfen, durchs Leben zu kommen. Aber diese Geschichten sind immer 'Roman a Clef', wir wissen, woher die Charaktere kommen. So können die Darstellungen wieder in endliche Terme abgewickelt und in Berechnungen modelliert werden, wenn sie echte Anwendungen haben.

Die Frage ist, warum wir leichter von der Berechnung zur Kunst und zurück zur Berechnung gelangen, wenn wir uns ein gewisses Maß an Exzess in der Kunst erlauben, als wenn wir an der Realität festhalten. Warum ist im Grunde die menschliche mathematische Intuition ein stärkeres Werkzeug als ihre Motivation, wenn alles, was sie über ihre konkreten Anwendungen hinaus modelliert, wirklich nicht vorhanden ist?

Es ist dieselbe Frage, die Sprache faszinierend macht. Wenn das Universum im Grunde physikalisch ist und die Evolution das meiste davon antreibt, warum um alles in der Welt sollten wir dann etwas so viel Mächtigeres entwickeln als die Evolution selbst (das die gleichen Probleme hundertmal schneller löst) und das dann verwenden, um ein anderes zu erschaffen Art der Evolution insgesamt (konkurrierende Ideologien und Kulturen)?

(Realität ist genug. Niemand braucht Lügen. Aber wie Nietzsche betont, haben wir noch nicht einmal begonnen, ihre Macht einzuschätzen.)

Die Physik ist in gewissem Sinne ultra-finitistisch, da tatsächliche Unendlichkeiten normalerweise als Zeichen eines Scheiterns (oder einer Aporie ) in einer Theorie angesehen werden; und diese Vorstellung ist tatsächlich antiken Ursprungs – Aristoteles zum Beispiel argumentierte in seiner Physik , dass nur potentielle Unendlichkeit in der Welt gilt.

Hier sind Sie also in guter Gesellschaft.

Es gibt zwei Möglichkeiten, wie die Mathematik die Unendlichkeit verwendet – die unendlich kleine im Kalkül und die unendlich große in der Mengenlehre; und die normale Einstellung ist entweder platonisch, formal oder pragmatisch.

Pragmatisch wurde bereits durch die Antwort von Sunami abgedeckt; Formalismus entsteht gewissermaßen aus Pragmatismus - da es uns nur darum geht, ob es funktioniert und nicht, ob die darin enthaltenen Konzepte ontologisches Gewicht haben, brauchen wir uns im Grunde nur um logische Konsistenz zu kümmern.

Platonismus ist das, was man mathematischen Realismus nennen könnte, wo man sich um die Ontologie von Zahlen kümmert; und es scheint, dass Sie das tun - dann muss man in diesem Raum denken; und ich würde vorschlagen, dass es hier zwei verwandte Möglichkeiten gibt, den Konstruktivismus , der eine Zahl nur zulässt, wenn sie konstruierbar ist, dh ich kann ihre Existenz nicht einfach behaupten; und Intuitionismus, der das LEM (Gesetz der ausgeschlossenen Mitte) fallen lässt.

Ich denke, es ist durchaus möglich, sich mit moderner Mathematik zu beschäftigen und dabei zu glauben, dass es keine Unendlichkeit gibt. Technisch gesehen, wenn der Glaube in mathematischen Überlegungen angewendet werden müsste, würde dies schnell zu Selbstwidersprüchen und unsinnigen Ergebnissen führen. Aber genauso wie ein religiöser Mensch, der glaubt, dass alles nach dem Willen eines oder mehrerer Götter geschieht, weiterhin Entscheidungen treffen, sich um andere kümmern usw. kann weiter rechnen, als ob diese Dinge existierten, nur ungläubig, dass sie wirklich existieren.

Es handelt sich um ein wenig Doppeldenken, eine kontextabhängige Aussetzung des Glaubens/Unglaubens in mindestens einem Teil des Geistes. Wir sind gut darin, doppelt zu denken. Selbst eine Person, die keine großen irrationalen Überzeugungen wie die oben erwähnten hegt, muss gelegentlich zweimal nachdenken, weil es physikalisch unmöglich ist, immer konsistente Überzeugungen über alles zu haben. Und manchmal entdeckt man durch die Konsequenzen seiner Überzeugungen, dass man zwei oder mehr sich widersprechende Überzeugungen hegt – zur Rettung doppelt denken!

Andersherum gesehen ist es physikalisch unmöglich, sicher zu sein, dass alle eigenen Überzeugungen konsistent sind, weil es eine willkürlich hohe Verarbeitungskapazität erfordern würde, um die relevanten Konsequenzen abzuleiten, wo man direkt sehen kann, dass sie kollidieren. Doppeldenken ist es also, wenn man sich nicht von solchen Vorkommnissen aufhalten lässt, die dem Fortbestand ernsthaft schaden könnten. Und da wir uns entwickelt haben, um widersprüchliche Überzeugungen zu berücksichtigen, tun wir dies (anscheinend) ganz einfach.

Nun, ich glaube nicht, dass moderne Mathematiker glauben, dass Unendlichkeit existiert. Wir verwenden den Begriff unendlich und führen Objekte wie unendlich ein, um die erweiterten reellen Zahlen zu bilden und wenn wir Möbius-Transformationen diskutieren, aber man sollte nicht zu viel hineininterpretieren. Erstens haben die komplexen Zahlen im zweiten Fall keine Ordnungsstruktur, und im ersten Fall, wenn man annimmt, dass die reellen Zahlen unbegrenzt sind, warum sich dann die Mühe machen, endlich viele Objekte einzuführen?

Ich verstehe Ihren jetzigen Punkt, dass die reellen Zahlen tatsächlich nicht unbegrenzt sind (oder genauer gesagt, die natürlichen Zahlen sind nach oben begrenzt) und daher notwendigerweise endlich sind (weil es unmöglich ist, zu den reellen Zahlen zu gelangen, ohne die natürlichen Zahlen zu durchlaufen oder zu sprechen über die Unendlichkeit - in der Tat, wenn wir die Unendlichkeit nicht hätten, könnten wir nicht über die reellen Zahlen sprechen).

Mein obiger Punkt ist, dass, wenn man Unendlichkeit in einem formalen mathematischen Sinne diskutiert, dies daran liegt, dass man eine Aussage über eine „unendliche“ Menge diskutiert. Eines der Axiomschemata – witzigerweise das Unendlichkeitsaxiom – lautet wie folgt:

Es existiert eine Menge N, so dass die leere Menge E in N ist, und wenn x ein Element von N ist, dann ist die Menge, deren Elemente x und {x} sind, auch ein Element von N.

Dies ist eine rein formale Definition und stützt sich in keiner Weise auf die Unendlichkeit oder erwähnt sie – man könnte sich vorstellen, dass N unendlich ist, aber vom formalen Standpunkt aus ist es nichts weiter als diese Symbole.

Daher kann man sagen, dass die Unendlichkeit ihre Bedeutung aus ihrer Verwendung in einer geeigneten mengentheoretischen Sprache ableitet und nicht daraus, dass sie irgendwie „unendlich“ ist, obwohl sie richtig ist.

Ich empfehle, das „Flat Earth“-Modell der planaren Messung in Betracht zu ziehen, obwohl wir wissen, dass die Erde eine Kugel ist. Entfernungen messen wir nicht in Bogen-, sondern in Längeneinheiten. Dies funktioniert gut für Straßenfahrten, Bauvorhaben und wahrscheinlich die meisten Landvermessungen (obwohl ich vermute, dass Flugreisen die Entfernung auf einem Bogen messen). Der Grund, warum wir linear messen können, obwohl die Formel dafür tatsächlich ungenau ist, ist, dass sie nahe genug an der tatsächlichen Messung liegt, damit sie nützlich bleibt.

Um Ihre Frage zu beantworten, könnten Sie die moderne Mathematik als ungefähr genau auf die Realität interpretieren, von der Sie überzeugt sind, dass sie existiert (dies ist keine Kritik an Ihrer Entscheidung, die Unendlichkeit zu leugnen). Moderne Mathematik kann als "nah genug" angesehen werden, und daher ist es kein Problem, sie so zu verwenden, wie sie ist. Sie werden sich nur seiner Grenzen bewusst bleiben und wissen, dass es die Realität (wiederum die Realität, die Sie akzeptieren) möglicherweise nicht 100% genau darstellt.

Ich stimme auch dem ersten Kommentar von @Keelan und @Cheers und hth zu. - Alfs Ausführungen zum "Double-think".