Ist das Unendlichkeitsaxiom wirklich ein Axiom?

Ich hoffe, ich kann mein Anliegen gut kommunizieren, um mich über ein Thema zu verständigen, über das ich seit einigen Tagen intensiv nachdenke und recherchiere. Ich denke an die tatsächliche Unendlichkeit in der Mathematik, insbesondere an die Mengenlehre in Bezug auf das Unendlichkeitsaxiom und die Menge der natürlichen Zahlen als vollständige Unendlichkeit.

Ich verstehe, dass es auf diesen Beitrag keine Antworten geben wird, die die Frage lösen, ob theoretisch eine tatsächliche Unendlichkeit existiert oder nicht, aber ich hoffe, Antworten zu haben, die Einsichten in meinem Kopf wecken werden.

Fragen::

  1. Ist das Unendlichkeitsaxiom wirklich ein Axiom?

Was ich meine ist, dass Axiome normalerweise als selbstverständliche Wahrheiten angesehen werden, die keinen Beweis benötigen, aber ich sehe nicht, wie das Axiom, dass eine tatsächliche unendliche Menge existiert, wirklich selbstverständlich ist. Es scheint, dass es nur geschaffen wurde, um die Möglichkeit unendlicher Mengen zu ermöglichen, unabhängig davon, wie selbstverständlich es sein mag oder nicht, was im Widerspruch dazu zu stehen scheint, wie Axiome verwendet werden sollen.

  1. Gibt es plausible Gründe, an die theoretische Existenz einer vollendeten Unendlichkeit zu glauben?

Ich glaube, dass es theoretisch eine tatsächliche unendliche Menge gibt, wie die Menge der natürlichen Zahlen. Ich sehe nichts grundsätzlich Falsches oder Mehrdeutiges an der Definition der Menge natürlicher Zahlen oder an der induktiven Menge, die im Axiom der unendlichen Menge verwendet wird. Darüber hinaus glaube ich auch, dass, wenn eine Menge definiert ist, alle Elemente, die die Definition oder Eigenschaft dieser Menge erfüllen, bereits in dieser Menge vorhanden sind, obwohl wir möglicherweise nicht in der Lage sind, sie alle aufzuzählen, selbst wenn wir unendlich viel Zeit haben. Folglich befinden sich alle natürlichen Zahlen in der Menge, die sie enthält, was bedeutet, dass diese Menge eine vollständige Unendlichkeit ist. Irgendwie finde ich es plausibel, eine Sammlung von unendlich vielen Objekten innerhalb einer Sammlung zu haben, aber ich bin gespannt, ob jemand vernünftige Argumente gefunden hat, um sein Vertrauen zu stärken, dass die Annahme dieses Axioms nicht nur ein Vertrauensvorschuss ist.

Ich hoffe, dass diese Frage ihrer Natur nach philosophisch genug ist oder zumindest das Potenzial hat, eine philosophische Diskussion anzuregen.

Ich danke Ihnen allen im Voraus für jedes Feedback.

Dass das Axiom der Unendlichkeit nicht selbstverständlich ist, war einer der Kritikpunkte an Russell, der in Principia versuchte, die gesamte Mathematik aus „Denkgesetzen“ abzuleiten. Die Idee, dass Axiome selbstverständlich sein sollen, wurde jedoch schon vor langer Zeit aufgegeben, es wird vielmehr erwartet, dass sie fruchtbar und nützlich bei der Organisation des betrachteten Theoriekörpers sind. Ebenso ist die „theoretische Existenz“ der vollendeten Unendlichkeit keine Frage des Glaubens, sondern der praktischen Anwendbarkeit. Angesichts der Art und Weise, wie Mathematik praktiziert wurde, war es vor Cantor rational, sie abzulehnen, genauso wie es jetzt rational ist, sie zu akzeptieren.
Sie interessieren sich wahrscheinlich für „Defending the Axioms“ von Penelope Maddy. Hier ist eine Beziehungsfrage zu math.SE. Hier spricht Russell über das Axiom der Unendlichkeit.
Wenn Sie sich für Mengenlehre oder mathematische Grundlagen im Allgemeinen interessieren, sollten Sie wissen, dass ZF minus dem Unendlichkeitsaxiom genauso stark ist wie die Peano-Arithmetik. Keine dieser Theorien kann etwas über unendliche Zahlen aussagen. Wenn Sie also glauben, dass die Menge der natürlichen Zahlen existiert (wie Sie in der Frage sagen), können Sie formal nicht mit ZF minus unendlich allein dorthin gelangen. Ist das nicht philosophischer Grund genug, um für das Axiom zu argumentieren?
"Axiome werden normalerweise als selbstverständliche Wahrheiten angesehen, die keines Beweises bedürfen". NEIN: Sie werden als "Ausgangspunkte" angenommen, auf die wir uns ohne Beweis einigen.
Ein "großer" Teil der Mathematik befasst sich mit der Unendlichkeit ; daher brauchen wir eine Annahme bezüglich der Existenz einer "anfänglichen" unendlichen Sammlung.
Die stärkste rationale Unterstützung für die Nichtexistenz einer endlichen "Menge" von Zahlen ist die sehr grundlegende Intuition über die unbegrenzte Möglichkeit, die Grundoperation von +1 zu wiederholen. Betrachten Sie das sehr einfache Spiel, einen Jungen zu fragen: "Bitte denken Sie an die größte Zahl, die Sie sich vorstellen können ... Fertig? Jetzt fügen Sie eins hinzu." Aber Sie können Ultrafinitismus in Betracht ziehen : Es scheint, dass nichts an sich "irrational" oder widersprüchlich darin ist.
1: Ihr Begriff des Axioms scheint veraltet zu sein. Heute wählen wir unsere Axiome aus verschiedenen Gründen aus. Mit dem Axiom der Unendlichkeit kann man mehr machen, also nehmen die meisten Mathematiker es mit an Bord. 2: Ihr Begriff der theoretischen Existenz bedarf der Ausarbeitung.
@ Conifold Nun verdammt. Ich habe über die tatsächliche Unendlichkeit und den Inhalt des Axioms nachgedacht, ohne auch nur in Frage zu stellen, ob mein Verständnis davon, was ein Axiom wirklich ist, legitim ist. Vielen Dank!
@Lukas Ich stimme deinem ersten Punkt zu. Ich erwähnte die theoretische Existenz, um ein Missverständnis zu vermeiden, dass ich frage, ob eine tatsächliche Unendlichkeit in der physischen Welt existiert oder nicht. Insbesondere wollte ich über mathematische Objekte sprechen, sofern sie in einem gegebenen System logisch definierbar sind und anderen Dingen nicht widersprechen. Ich gebe zu, dass ich das Wort „Existenz“ wahrscheinlich nicht hätte verwenden sollen.
@BenedictVoltaire Danke für die Aufklärung. Logisch möglich macht für mich Sinn :)
Sehr interessante Frage! Ich beschäftige mich regelmäßig mit "effektiver Unendlichkeit" im Zusammenhang mit rechnerischer Widerspenstigkeit. Ich finde die Idee von unendlichen Spielen nützlich, wie zum Beispiel Conway's Angel Problem . Aus CGT-Sicht scheint es eher ein praktisches als ein theoretisches Problem zu sein, das sich auf den Standpunkt von @Conifold bezieht.
1) Das Axiom der Unendlichkeit ist wirklich ein Axiom der Mathematik, weil es eine selbstverständliche Wahrheit ist. (Es gibt einige moderne Perversionen der Mathematik, die jeden Unsinn als Axiome zulassen - genau wie einige moderne Perversionen der Kunst Scheiße auf der Bühne zulassen.) Es ist selbstverständlich durch die grundlegendste Aktion, auf der die Mathematik basiert, nämlich durch Zählen , dass für jeden erreichten Schritt ein weiterer Schritt möglich ist. Es gibt jedoch einige Bestimmungen zu beachten. A) Diese Aussage betrifft ideale Mathematik, dh Mathematik, die nicht durch physikalische Zwänge eingeschränkt ist. Offensichtlich können Sie
Auf meiner naiven Ebene würde ich sagen, dass „unendliche Menge“ einfach eine Grenze definiert und dass es so etwas wie eine tatsächliche unendliche Menge nicht gibt. Aber es gibt technische Details.

Antworten (4)

Ist das Unendlichkeitsaxiom wirklich ein Axiom?

Ja, es ist ein Axiom der Mengenlehre.

Aber in der Mathematik muss ein Axiom einer Theorie nicht nach unserer alltäglichen Intuition plausibel sein. Die einzige Anforderung, die es erfüllen muss: Das Axiom widerspricht nicht den anderen Axiomen der Theorie.

Natürlich sollten Axiome nicht willkürlich gewählt werden. Sie sollten als Grundlage einer starken Theorie dienen. Cantors Axiome über die Existenz transfiniter Mengen erlauben es, Addition und Multiplikation auf unendliche Mengen zu extrapolieren und zwischen unendlichen Mengen mit unterschiedlichen Kardinalitäten zu unterscheiden.

Die Plausibilitätsforderung eines Axioms ist meines Erachtens ein Relikt einer Philosophie, die sich auf die Grenzen unserer alltäglichen Intuition beschränkt.

Gibt es plausible Gründe, an die theoretische Existenz einer vollendeten Unendlichkeit zu glauben?

Was meinen Sie mit dem Begriff „theoretische Existenz“?

Einerseits „existiert“ ein mathematisches Objekt, sobald wir es eingeführt – also erfunden – haben. Es existiert niemals in der physischen Welt. Andererseits kann ein mathematisches Objekt ein nützliches Werkzeug sein, um Phänomene in der physikalischen Welt zu beschreiben. Aber selbst dann ist das mathematische Objekt ein Modell, es ist kein Teil der physikalischen Welt.

Wie in Antwort auf Ihre erste Frage gesagt, halte ich unendliche Mengen für eine nützliche - sogar geniale - Erfindung im Bereich der Mathematik. Darüber hinaus argumentiert jede physikalische Theorie, die sich auf die Infinitesimalrechnung stützt, mit der Menge der reellen und komplexen Zahlen.

Eine sehr gute Antwort. Und was ich mit theoretischer Existenz meinte, ist so, wie Sie die Existenz eines mathematischen Objekts beschrieben haben; es existiert, weil wir es definiert haben. Es ist theoretisch, weil es nicht in der physischen Welt existiert, sondern im Bereich der reinen Vernunft und Ideen.

Die andere Antwort hat die formalen Aspekte abgedeckt. Ich werde argumentieren, dass mit dem richtigen mentalen Modell das Axiom der Unendlichkeit „selbstverständlich“ ist .

(Ich verwende erschreckende Anführungszeichen, weil ich glaube, dass der Ausdruck „selbstverständlich“ eher ein Verstärker als etwas Bedeutungsvolles ist.)

Bei der Mengentheorie, wie sie auf Grundlagen angewendet wird, geht es nicht darum, Objekte zusammen zu „sammeln“ – es geht darum, Logik zu betreiben . Dies manifestiert sich am stärksten, wenn man sich die Axiome der Erweiterungen und des Verstehens zusammen mit der Konstruktion des dritten Aufzählungszeichens ansieht

  • S und T sind genau dann dieselbe Menge, wenn x∈S genau dann gilt, wenn x∈T gilt
  • Wenn Φ eine Aussage ist, gibt es eine Menge S Φ mit der Eigenschaft, dass x Φ genau dann erfüllt, wenn x∈S Φ
  • Wenn S eine Menge ist, dann ist x∈S ein Satz, den wir fragen können, ob x erfüllt ist

Daher sind die Begriffe Menge und Satz nur unterschiedliche Arten, über dieselbe Sache zu sprechen.

(Nebenbei: Diese Korrespondenz wird etwas durch die Tatsache beeinträchtigt, dass uneingeschränktes Verständnis zu Paradoxien führt, aber selbst das entspricht den Problemen, die die Logik mit dem Paradoxon des Lügners hat. Aber sowohl die Mengentheorie als auch die Logik haben sich entwickelt, um mit diesen Störungen umzugehen.)

Allein die Tatsache, dass „x ist eine natürliche Zahl“ eine bedeutungsvolle Aussage ist, die man von einem Objekt stellen kann, macht deutlich, dass es eine entsprechende Menge gibt – und wir nennen diese Menge die Menge der natürlichen Zahlen.

Sie könnten daran interessiert sein, die Typentheorie als Variation des Themas zu betrachten , die eher entlang der Linien der formalen Logik entwickelt wird.

Ich bin nicht ganz davon überzeugt, dass die Mengenlehre als Unterdisziplin der Logik angesehen werden sollte. Nehmen Sie typische Begriffe aus der Mengenlehre, zB die Potenzmenge oder die Funktion: Haben diese Begriffe rein logische Begriffe als Gegenstück?
@JoWehler: Ja; in der modernen Formulierung ist das im Grunde die Bedeutung von "höherer Ordnung" in "höherer Ordnungslogik". ZB können wir in der Logik zweiter Ordnung Beziehungsvariablen betrachten, und das Prädikat in R gegeben durch "∀x: wenn x R erfüllt, dann ist x eine natürliche Zahl" ist das Prädikat, das der Potenzmenge der natürlichen Zahlen entspricht.
Wie drückt man die Potenzmenge von N, also die Menge aller Teilmengen, rein logisch aus?
@JoWehler: Genau durch das Prädikat, das ich in meinem vorherigen Post gegeben habe. Im Set-Prädikat-Wörterbuch bedeutet "S ist eine Teilmenge von T" "∀x: x∈S impliziert x∈T". Das Übersetzen über das Set-Prädikat-Wörterbuch ergibt "∀x : P(x) impliziert Q(x)". Wenn Sie Q festlegen (z. B. als "Q(x) := x ist eine natürliche Zahl"), ist diese Formel ein Prädikat in der Variablen P. Diejenigen P, die dieses Prädikat erfüllen, sind genau die Prädikate, die den Teilmengen von N entsprechen .

Formal lautet das Unendlichkeitsaxiom in der Standardmengentheorie (ZFC) wie folgt:

Es gibt eine Menge I , die die leere Menge enthält, und die immer dann, wenn sie eine Menge x enthält, auch die Menge {x} enthält .

Dies behauptet die Existenz einer potenziell unendlichen Menge und nicht einer vollständigen ; es heißt zum Beispiel, es gibt die Menge:

0, 1, 2, 3 ...

und nicht

0, 1, 2, 3 ... Omega

Wobei Omega die Vervollständigung des Vorhergehenden ist.

Dass dem so ist, zeigt die direkte Übernahme dieses Axioms sowohl in der intuitionistischen als auch in der konstruktiven Mengenlehre, wo der Begriff der potentiellen Unendlichkeit strikter eingehalten wird.

Sogar in der Standard-ZFC gibt es ein gewisses Unbehagen über die Verwendung vollständiger Unendlichkeiten, und dies wird oft durch die Hervorhebung des Auswahlaxioms in Lehrbüchern signalisiert, in denen dieser Begriff am prominentesten ist; Das Axiom besagt, dass ich eine vollständige Unendlichkeit von Entscheidungen treffen kann und nicht nur eine endliche ; dies wurde nicht als so „selbstverständlich“ empfunden wie die anderen Axiome.

Tatsächlich war dieses Axiom auf indirekte Weise die Ursache für einen von Feynmans „Witzen“ über seine mathematischen Freunde, in dem er sie darauf hinwies, dass einer ihrer Theoreme, über die sie sich aufregten (das Banach-Tarski-Paradoxon), nicht wahr sein könnte , er führte es auf ihre Verwendung der unendlichen Teilbarkeit zurück und sagte, dies sei physikalisch unmöglich; Tatsächlich war er strenger und sagte, dass Sie eine große Anzahl von Schnitten machen können, aber keine beliebig hohe, geschweige denn eine vollständige Unendlichkeit von Schnitten.

Mathematisch gesehen handelt es sich um eine Form des Ultra-Finitismus, wie er beispielsweise von dem russischen Mathematiker Esenin-Volpin beschrieben wird .

Ich weiß, worauf du hinauswillst. Aber ist es eine Frage der Interpretation des Axioms, ob die Menge I im Axiom eine abgeschlossene oder potenzielle Unendlichkeit ist oder nicht? Ich habe gelesen, dass einige Autoren in einigen Büchern über Mengentheorie und reelle Analyse schreiben, nachdem sie das Axiom der Unendlichkeit formuliert haben, dass das Axiom besagt, dass mindestens eine unendliche Menge existiert, nämlich die Menge N der natürlichen Zahlen, und ich glaube nicht, dass die meisten Mathematiker dies tun würden denke, dass N keine abgeschlossene Unendlichkeit ist. Ich denke also, meine Frage ist, ob Mathematiker, wenn sie die Existenz einer vollständigen unendlichen Menge annehmen, sagen würden, dass das Axiom der Unendlichkeit diese Annahme einschließt?
Eine andere Frage: Selbst wenn N eine potentiell unendliche Menge ist, deren Existenz vom Axiom abhängt, müssten Mathematiker beweisen, dass N tatsächlich eine unendliche Menge ist? Ich glaube nicht, dass sie das tun können, es sei denn, sie vermuten bereits, dass solche Mengen existieren, was erfordern würde, dass sie ein Axiom wie das einer unendlichen Menge haben. Vielen Dank für Ihre Geduld mit mir Anfragen.
Nun, wie ich bereits sagte, gibt es einen Unterschied zwischen 1,2,3 ... und 1,2,3, ... Omega; und es ist die Existenz des ersten, die behauptet wird, nicht die zweite; Mathematik-Lehrbücher sind nicht dafür bekannt, philosophisch zu sein, sie sind da, um Technik zu lehren, und dafür stehen sie auf dem Universitätslehrplan; Ich nehme an, sie vertreten die praktische Ansicht, dass man etwas lernen sollte, bevor man lernt, etwas zu hinterfragen; Ich erinnere mich, dass ich verwirrt war, warum sie das Axiom der Wahl immer wieder als kontrovers bezeichneten, ohne zu erklären, warum.
Es gibt schließlich eine Menge Technik zu lehren! Natürlich sind Interpretationen wichtig, aber ich möchte auf die Tatsache hinweisen, dass dieses Axiom in der Standardmengentheorie und der Intuitionslehre dasselbe ist, um zu bestätigen, was ich geschrieben habe. Wichtig ist, dass sie nicht zwischen dem potentiellen und dem tatsächlichen Unendlichen unterscheiden, die Menge N der natürlichen Zahlen ist ein Name für eine potentiell unendliche Folge.
Sicher, ich würde das, was Sie gesagt haben, ein wenig erweitern und sagen, dass sie per Fiat die Existenz einer tatsächlichen, potenziell unendlichen Menge annehmen; aus den anderen Axiomen konnten sie so etwas nicht beweisen.
@ Mozibur Ullah: Du hast recht. Es wird zwischen 1,2,3... und 1,2,3,... Omega unterschieden. Das Axiom der Unendlichkeit behauptet nur die erste Menge. Aber Mengentheoretiker behaupten, dass die erste Menge Omega ist und dass sie Omega = aleph_0 Elemente hat. Das ist die Quelle der großen Verwirrung.
@heinrich: Nicht alle Mengentheoretiker denken so, das ist die Quelle der großen Verwirrung.

Aber wo existiert es? Ich schlage vor, dass es, wie zum Beispiel Identität, Ursache und Wirkung und perfekte Kreise, nur in unseren Köpfen und konzeptuellen Strukturen existiert. Wir haben eine tiefe Intuition, dass unser „Selbst“ real ist, und verwenden das Konzept als solches auf eine Weise, die es als real kategorisiert. Ebenso unendlich. Aber das ist alles Reale, eine konzeptionelle Kategorie.

Ist das Unendlichkeitsaxiom wirklich ein Axiom?
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