Ist wirkliche Unendlichkeit physische Unendlichkeit? Oder nur das Axiom der Unendlichkeit?

Ich war in diesem Punkt immer etwas verwirrt.

Mein (aus zweiter Hand) Verständnis von Aristoteles 'Unterschied zwischen potentieller und tatsächlicher Unendlichkeit ist folgendes:

Wir alle haben eine Intuition für das Zählen der Zahlen 1, 2, 3, 4, ... Die Idee, dass "es immer eine nächste gibt", wird durch das Induktionsprinzip zusammengefasst, das besagt, dass "wenn n existiert, existiert auch n + 1".

Das ist potentielle Unendlichkeit. Es gibt unendlich viele Dinge, in dem Sinne, dass die Liste kein Ende hat. Wir können so hoch gehen, wie wir wollen. Aber es gibt keinen vollständigen "Satz" all dieser Zahlen.

Andererseits sagt das Unendlichkeitsaxiom, dass es eine Menge gibt, die die Axiome der Mengenlehre erfüllt, die 1 enthält, und wann immer sie n enthält, enthält sie n + 1. [Es ist mir egal, ob Sie lieber bei 0 anfangen zu zählen, spielt an dieser Stelle keine Rolle].

Für mich ist potentielle Unendlichkeit also Induktion; und wirkliche Unendlichkeit ist das Axiom der Unendlichkeit. Ein Ultrafinitist lehnt Induktion ab; ein Finitist akzeptiert die Induktion, weist aber das Axiom der Unendlichkeit zurück; und ein Infinitarist (kein Standardbegriff) akzeptiert sowohl die Induktion als auch das Axiom der Unendlichkeit.

Jetzt habe ich auch gesehen, dass „tatsächliche Unendlichkeit“ physische Unendlichkeit bedeutet: die Idee, dass es unendlich viele Planeten, Sterne, Elektronen, Zeitintervalle, „Ursachen“ usw. geben könnte. Man sieht diesen Gebrauch in William Lane Craigs Theologie, der darauf hinweist eine „tatsächliche Unendlichkeit“, womit er eine physikalische Unendlichkeit meint, muss absurd sein, weil sie dem „Paradoxon“ unterliegen würde (was nicht wirklich ein Paradoxon ist), dass eine unendliche Menge in Bijektion zu einer ihrer eigentlichen Teilmengen gesetzt werden kann , wie in Galileos Paradoxon oder Hilberts Hotel.

Ich frage mich, was Aristoteles mit der tatsächlichen Unendlichkeit im Sinn hatte. Ob er die physikalische Unendlichkeit meinte oder nur eine konzeptionell abgeschlossene Sammlung aller natürlichen Zahlen.

Und zweitens, gibt es einen Standardsatz von Definitionen in der Philosophie, um diese Begriffe zu disambiguieren, wie „tatsächliche Unendlichkeit“ versus „physische Unendlichkeit“, wobei erstere abstrakte Mengen bedeutet, deren Existenz vom Unendlichkeitsaxiom abhängt, und letztere eine Unendlichkeit bedeutet Menge an körperlichen Dingen.

Danke für jede Klarheit zu diesem Thema.

Siehe Aristoteles über die Unendlichkeit für einige Details: „Aristoteles argumentiert, dass im Fall von Größen eine unendlich große Größe und eine unendlich kleine Größe nicht existieren können. Tatsächlich denkt er, dass das Universum eine endliche Größe hat. […] Allerdings, seitdem Aristoteles glaubt, dass das Universum keinen Anfang hat und ewig ist, daraus folgt, dass es in der Vergangenheit unendlich viele Tage gegeben hat.Daher scheint sich seine Ablehnung des tatsächlichen Unendlichen im Fall der Größe nicht auf den Begriff der Zeit zu erstrecken ."
Dieses Papier von Shapiro und Linnebo geht sehr gut auf alle Aspekte Ihrer Frage ein. Ich konnte keine Preprint-Version davon finden, aber hier hält Shapiro einen Vortrag über das Papier und hier sind die (umfangreichen) Folien für den Vortrag.
Hamkins und Linnebo schreiben auch ein sehr interessantes technisches Papier, das das Thema erweitert.
Ob wirkliche Unendlichkeit für dich physische Unendlichkeit ist, hängt davon ab, ob du denkst, dass die tatsächliche Unendlichkeit nur koextensiv mit der physischen ist. Wenn Sie eine solche Ansicht vertreten, müssten Sie den ontologischen Status von Dingen herausfinden, die als virtuelle Unendlichkeiten und nicht ausgedehnte Unendlichkeiten charakterisiert werden könnten.
@ClearMountainWay Die Vielfalt der nicht zielgerichteten Antworten auf meine Frage muss meine eigene Schuld sein. Es gibt zu viele von ihnen, als dass es etwas anderes sein könnte. FWIW Ich habe mich nur gefragt, ob Philosophen eine klare Unterscheidung zwischen physikalischer tatsächlicher Unendlichkeit und abstrakter tatsächlicher Unendlichkeit getroffen haben. Weil ich in der Literatur viel Verwirrung darüber sehe.
Lassen Sie mich eine mögliche Interpretation Ihrer Frage überprüfen: Fragen Sie, wie sich die Behauptung "es gibt unendlich viele Sterne" (ob wahr oder falsch) auf das Thema "potenzielle Unendlichkeit / tatsächliche Unendlichkeit" in der Mathematik bezieht oder in diese passt (z. B. ob " es gibt unendlich viele Sterne" bedeutet "es gibt potentiell unendlich viele Sterne" oder ...)?
@NoahSchweber Nein, meine Frage war viel einfacher als das und ich entschuldige mich bei allen dafür, dass ich sie nicht heruntergekocht habe, bevor ich sie gepostet habe. Ich frage mich nur, ob Philosophen in ihren eigenen Gedanken, vielleicht über eine bestimmte Terminologie, eine klare Unterscheidung zwischen unendlich vielen Sternen und unendlich vielen natürlichen Zahlen getroffen haben. Ich spüre nur eine Verwirrung in vielen Artikeln, die ich über das Thema lese. Was meinte Aristoteles in ähnlicher Weise mit tatsächlicher Unendlichkeit? Eine wirkliche Unendlichkeit von Sternen? Oder eine tatsächliche Unendlichkeit (wie durch das moderne Unendlichkeitsaxiom gegeben) der natürlichen Zahlen?
Es scheint mir, dass die Antwort nein ist. In Bezug auf diese Konzepte und Begriffe wird viel Verwirrung toleriert, wie Sie vorschlagen, und mir sind keine etablierten Konventionen für die Verwendung dieser Wörter bekannt.
@PeterJ Vielen Dank. Du scheinst der einzige zu sein, der meine Frage verstanden hat. "Viel Verwirrung wird toleriert." Das fasst es zusammen. Danke noch einmal.

Antworten (4)

Die tatsächliche Unendlichkeit wurde von Cantor geschaffen, um die physische Unendlichkeit zu beschreiben.

„Ich verweise auf das, was ich in Math. Annalen Bd. XX S. 118-121 gefunden habe, dass in dem mit Körpermaterie gefüllten Raum (da ich annehme, dass die Körpermaterie erste Kardinalität hat) für den Äther (die Materie der zweiten Kardinalität) bleibt ein enormer Raum für kontinuierliche Bewegung, so dass alle Phänomene der Transparenz von Körpern sowie die der Wärmestrahlung, der elektrischen und magnetischen Induktion und Verteilung eine widerspruchsfreie natürliche Grundlage zu bekommen scheinen." [G. Cantor, Brief an G. Mittag-Leffler (16.11.1884)]

Unnötig zu erwähnen, dass die moderne Wissenschaft keine Verwendung für den Äther hat und weder die tatsächliche Unendlichkeit noch die darauf basierende Theorie, nämlich die transfinite Mengentheorie.

Ich stimme zu, dass Cantor möglicherweise physischen Raum im Sinn hatte. Aber nach meinem Verständnis unterscheiden wir heute mathematisch unendliche Mengen von einer tatsächlichen physikalischen Unendlichkeit. Wir können alle Alephs in unserer Mathematik haben, selbst wenn sich herausstellt, dass das Universum endlich ist. So wie wir das Schachspiel erfinden können, obwohl es keine physischen Bezugspunkte für die Konzepte des Schachspiels gibt. Es ist nur ein abstraktes Spiel, wie Unendlichkeitsmathematik. Tatsächliche Unendlichkeit hat also eine doppelte Bedeutung: die vollendeten Unendlichkeiten, die uns durch das Unendlichkeitsaxiom gegeben werden, die abstrakt sind; und die Idee einer tatsächlichen Unendlichkeit in der Welt.
ps -- Als Sie geschrieben haben, dass die moderne Wissenschaft keine Verwendung für Äther hat; hast du das wörtlich gemeint? Oder war das ein Tippfehler, der als Wortspiel fungierte, das ein „entweder“ sein sollte, aber auch ein Wortspiel mit dem leuchtenden Äther?
Es gibt zwei Unterschiede zwischen tatsächlicher Unendlichkeit und Schach. Erstens sind die Regeln der tatsächlichen Unendlichkeit in sich widersprüchlich. Um dies zu sehen, betrachten wir als einfachstes Beispiel die natürlichen Zahlen: Jede natürliche Zahl, auf die ich mich beziehen kann, gehört zu einem endlichen Anfangssegment, dem potentiell unendlich viele natürliche Zahlen folgen. Eine unendliche Menge ist viel größer als jede endliche Menge. Daher können fast alle natürlichen Zahlen nicht einzeln bezeichnet werden. Trotzdem behauptet die Mengentheorie, dass ich mich auf jede natürliche Zahl beziehen kann. Widerspruch. Wenn Sie nicht überzeugt sind, probieren Sie es aus! Sekunde ...
Alle Schachstellungen können auf einem Schachbrett dargestellt werden. Eine unendliche Menge, geschweige denn eine unzählbare Menge, kann nicht dargestellt werden, weil das Universum weniger als 10^100 Bits zur Verfügung hat. Und selbst bei Vernachlässigung physikalischer Randbedingungen: Es stehen nur abzählbar viele endliche Strings zur Verfügung – daher sind die meisten reellen Zahlen undefinierbar. Moderne Mengentheoretiker haben das Konzept der undefinierbaren "reellen" Zahlen geschluckt. Cantor, der noch nicht immun gegen diese Ideen war, widersetzte sich energisch (Brief an Hilbert, übersetzt in hs-augsburg.de/~mueckenh/Transfinity/Transfinity/pdf , S. 27).
Ich meinte den Äther, der von der Relativitätstheorie aufgegeben wurde und nach Cantor aus unzählbar vielen Teilchen besteht.
Mathematische Unendlichkeit und Schach ähneln sich darin, dass es sich um formale Systeme handelt, die sich nicht unbedingt auf irgendetwas in der realen Welt beziehen. Das ist die einzige Analogie, die ich gemacht habe. Ich verstehe nicht, warum Sie zwei lange Kommentare geschrieben haben, um zu argumentieren, dass sie unterschiedlich sind, weil Schach endlich ist. Das ist irrelevant für den Punkt, den ich gemacht habe. Und Sie haben sich nicht mit meinem Hauptpunkt beschäftigt, nämlich dass das, was Cantor historisch geglaubt hat, nicht so ist, wie wir die Dinge heute sehen.

Ich denke, Sie könnten ein wenig verwirrt sein, wenn Sie Aristoteles aus zweiter Hand lesen. er beschreibt die potentielle Unendlichkeit nicht als formale mathematische Induktion; Was er sagt, ist, dass die potenzielle Unendlichkeit am besten so beschrieben wird, dass sie sagt, wie viel Sie auch halten oder beschreiben, sie ist immer größer.

Nehmen Sie zum Beispiel Ihre erste "vollständige" Unendlichkeit: 1, 2, 3 ... Omega; aber kann man es wirklich als vollendete unendlichkeit bezeichnen, wenn man direkt danach omega+1, omega+2, omega+3 hat...?

Wie Sie daraus ersehen können, ist Ihre sogenannte abgeschlossene Unendlichkeit keine vollständige Unendlichkeit, da die Serie immer noch weitergeht.

Vielleicht habe ich in meiner Frage zu viel geschrieben. Ich interessiere mich nicht wirklich für Aristoteles, außer dass er die Unterscheidung zwischen potenziell und tatsächlich begründet hat. Ich bin eher neugierig zu wissen, ob es eine Standardterminologie gibt, um eine tatsächliche Unendlichkeit, die in der physischen Welt auftritt, mit der tatsächlichen Unendlichkeit der natürlichen Zahlen zu disambiguieren. Die transfiniten Ordnungszahlen gelten hier überhaupt nicht. Das Axiom der Unendlichkeit gibt Ihnen eine "vollständige" unendliche Menge. Da liege ich nicht falsch. Ein Finitist zum Beispiel lässt die Induktion zu, verneint aber das Axiom der Unendlichkeit. Die transfiniten Kardinäle sind hier ein Ablenkungsmanöver.
@ user4894 Wenn Sie an der Idee des Unendlichkeitsaxioms interessiert sind, da ein "vollständiger" Satz bereitgestellt wird, sind "vollständig" und Aristoteles "tatsächlich" unterschiedlich. Das Axiom der Unendlichkeit besagt, dass es eine Menge gibt, die potentiell unendlich ist – das heißt, dass sie immer etwas mehr enthält. Sogar „Omega+1“ ist zum Beispiel ein weiteres potenzielles Unendliches – es ist mehr als das Ding, das immer mehr enthält. Es hört sich so an, als ob Sie nicht wirklich an der Idee einer Menge interessiert sind, die "eigentlich unendlich" ist.

Dominic Soto sagte dies über den Unterschied zwischen kategorial/tatsächlich unendlich und synkategorematisch/potentiell unendlich:

Moderne Philosophen ( Neoterici philosophi ) erklären, dass der Begriff unendlich in Bezug auf kontinuierliche Größen auf zwei Arten verstanden werden kann; erstens kann es kategorisch genommen werden ...; zweitens kann es synkategorematisch genommen werden; Die Bedeutung dieses Adverbs lässt sich durch diese Worte erklären: eine Menge, die niemals so groß ist, dass sie nicht mehr werden kann ( non tantum quin majus )… Außerdem stellen sie diese Regel auf: Wenn das Wort „unendlich“ daneben steht des Prädikats eines Satzes im wörtlichen ( nominaliter ) und kategorischen Sinn genommen, wie in diesen Sätzen: Deus est infinitus, continuum habet partes infinitas. Wenn jedoch das Wort „unendlich“ auf die Seite des Subjekts gestellt wird, wird es im synkategorematischen und erklärenden Sinn ( Exponibiliter ) genommen, wie in diesem Satz: Infinita parva est pars continui .

– zitiert in Pt. 3 "Dominic Soto & Parisian Scholasticism", § "Potenzielle Unendlichkeit & tatsächliche Unendlichkeit", von Galileos Vorläufern

Ich glaube, Ihre Verwirrung kommt daher, dass Sie den Unterschied zwischen einer unendlichen Anzahl von "physischen" Dingen und einer unendlichen Anzahl von Zahlen (nicht-physischen Dingen) nicht bemerkt haben!

Wenn wir uns entscheiden, die Anzahl der Elektronen im Universum zu verwenden, um eine sehr große Anzahl physikalischer Dinge zu erhalten, obwohl wir eine sehr große Anzahl (10 ^ 90) erhalten, ist es endlich !

Wenn wir uns entscheiden, die Anzahl der Zahlen (nicht-physische Dinge) zwischen 1 und 2 zu verwenden, gibt es unendlich viele davon!

+1: Aus diesem Grund zweifelte Aristoteles natürlich an der Möglichkeit der unendlichen Teilbarkeit; dass wir ein solches Verhalten haben, wie die Quantenmechanik dies allgemein bestätigt hat.
Ich glaube nicht, dass ich verwirrt bin. Ich frage, ob Philosophen eine Standardterminologie haben, um eine physikalische Unendlichkeit von einer abstrakten wie Zahlen zu unterscheiden. Können Sie meine Frage bitte noch einmal lesen und klären, ob ich mich entweder falsch ausgedrückt habe oder Sie sie falsch verstanden haben?
ps -- Ich sehe, wenn Sie nur meinen Titel und nicht meinen Beitrag lesen, würden Sie den Eindruck bekommen, den Sie hatten. Meine Frage ist: Gibt es eine Standardterminologie, um zwischen einer tatsächlichen Unendlichkeit von Sternen und der tatsächlichen Unendlichkeit der Zählzahlen zu unterscheiden? In der Literatur scheint es bezüglich dieser Terminologie erhebliche Verwirrung zu geben.
Ist wirkliche Unendlichkeit physische Unendlichkeit? Oder nur das Axiom der Unendlichkeit?
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