Gibt es eine formale Unterscheidung zwischen potentiellen und tatsächlichen Unendlichkeiten?

In der modernen Mengenlehre wird der Unterschied zwischen tatsächlicher Unendlichkeit und potentieller Unendlichkeit oft nicht verstanden oder sogar geleugnet. Vor einigen Jahrzehnten jedoch waren sich Mathematiker wie Hilbert oder Poincaré, ganz zu schweigen von Cantor oder Fraenkel, des Unterschieds voll bewusst. Meine Frage: Gibt es eine formale Definition der potentiellen Unendlichkeit im Gegensatz zur tatsächlichen Unendlichkeit, und wer hat sie als erster gegeben?

Ein Beinahe-Duplikat ist: math.stackexchange.com/questions/1351529/… . Außerdem scheint mir der übliche Begriff der „berechneten Menge“ (= „rekursive Menge“) ein guter Kandidat für den üblichen modernen Begriff der „potenziell unendlichen Menge“ in einem vagen philosophischen Sinne zu sein.
Genau diese falsche Ansicht, die dort in einer positiven Antwort geäußert wurde, möchte ich als solche enthüllen. Offensichtlich gibt es einen Abgrund zwischen Topf. und handeln. und keineswegs mathematische Identität. Beispielsweise ist es unmöglich, eine reelle Zahl durch eine potentiell unendliche Folge von Ziffern zu definieren.
Danke fürs klarstellen; Zur Klarstellung wiederum: Ich wollte keine inhaltliche Wertung des von mir verlinkten Threads implizieren. Ich wollte lediglich Kontext hinzufügen und die Konnektivität von SE erhöhen.
„Tatsächliche“ Unendlichkeit ist stärker als „potenzielle“ und in ZF behauptet das Axiom der Unendlichkeit die Existenz einer unendlichen Menge. Die Analyse funktioniert jedoch gut, wenn nur "beliebig große" (oder kleine) finite Elemente verwendet werden, was der potenziellen Unendlichkeit entspricht, aber sogar ihre Erwähnung vermeidet. Vielleicht ist eine formale Unterscheidung nicht wirklich erforderlich.
Es wird allgemein angenommen, dass intuitionistische/konstruktivistische Axiomatisierungen der Mathematik die potenzielle Unendlichkeit ausdrücken, während die (jetzt) ​​klassischen die tatsächliche Unendlichkeit ausdrücken. Daher können Sie innerhalb der "modernen Mengenlehre" (ZFC, nehme ich an) keine formale Unterscheidung haben, Sie müssen einige ihrer Axiome und sogar den zugrunde liegenden logischen Rahmen formal modifizieren.
@Conifold: Ich denke, dass eine weiter entwickelte Sprache eine primitivere definieren kann. Die Sprache von ZFC ist sogar in der Lage, das Axiom der Unendlichkeit überhaupt abzulehnen. Außerdem definiert ZFC die tatsächliche Unendlichkeit nicht wirklich. Zumindest ergibt das Unendlichkeitsaxiom nicht aleph_0.
@sand1: In ZFC behauptet das Axiom der Unendlichkeit die potenzielle Unendlichkeit. Es als tatsächliche Unendlichkeit zu interpretieren, ist nicht gerechtfertigt, obwohl es mit dem Axiom der Extensionalität argumentiert werden kann. Ich stimme Ihnen und Hilbert vollkommen zu, dass für die Analyse das Potenzial unendlich ausreichend ist. Scheinbar haben sich Zermelo und Fraenkel darin geirrt: „Wer es wirklich ernst meint mit der Ablehnung des eigentlichen Unendlichen in der Mathematik, sollte ... auf die ganze moderne Analysis verzichten“ (Zermelo). "Wenn der Angriff auf das Unendliche gelingt ... bleiben nur Reste der Mathematik" (Fraenkel).
Wenn Sie es technisch machen wollen, gibt es in der modernen Mathematik keine Unendlichkeit. Eine Sammlung wird als unendlich bezeichnet, wenn sie mit einer strengen Teilmenge ihrer selbst bijeziert werden kann, aber „unendlich“ ist wirklich besser als eine Art und Weise zu verstehen, wie Menschen diese Eigenschaft interpretieren, als als etwas, das tatsächlich definiert wird.
@Stella Biderman: Es gibt eine unendliche Menge, die durch das Unendlichkeitsaxiom gegeben ist. Die einzige Frage ist, wie man die in der Analysis geforderte potentielle Unendlichkeit von der tatsächlichen Unendlichkeit der Mengenlehre unterscheidet. Das ist eine Frage der Interpretation - nicht der Tatsache, dass die Mathematik stark auf Unendlichkeit basiert.
@Wilhelm Das Unendlichkeitsaxiom besagt, dass es eine Menge gibt, die in Bijektion mit einer strengen Teilmenge von sich selbst steht.
@Stella Biderman: Das Unendlichkeitsaxiom sagt nichts über bijektive Funktionen aus. Siehe zum Beispiel S. 45 von hs-augsburg.de/~mueckenh/Transfinity/Transfinity/pdf
@Wilhelm Ich denke, das hängt davon ab, wie Sie es schreiben möchten. Die Art und Weise, wie ich es richtig machen würde, würde bijektive Funktionen beinhalten.
@Stella Biderman: Ich meinte die ursprüngliche Formulierung von Zermelo und die übliche Art und Weise, wie das Axiom angegeben wird. Aber deine Vorgehensweise würde mich interessieren.
Ich brauchte 10 Sekunden, um den Wikipedia-Eintrag zu lesen, um diese Kontroverse als „eine ganze Menge Wichsen“ zusammenfassen zu können. Ich bestreite kategorisch, dass dieses Argument innerhalb der Mathematik irgendeinen funktionalen Wert hat.
@Wilhelm Keine Ahnung, so haben wir das in meinen Kursen nicht gemacht. Ich kann nicht darüber sprechen, was außerhalb der Gruppen, mit denen ich vertraut bin, üblich ist.
@Conifold Infinity ist Banane, lesen Sie bitte hier (obwohl die Ausgabe noch nicht abgeschlossen ist, sicher. groups.google.com/forum/#!topic/sci.math/Kw14wMHdwB8
@wilhelm Es tut mir leid, Sir, aber ich hatte Probleme, Ihren ersten Kommentar zu verstehen. Behaupten Sie, dass "es unmöglich ist, eine reelle Zahl durch eine potenziell unendliche Folge von Ziffern zu definieren", oder behaupten Sie, dass dies eine falsche Ansicht ist?

Antworten (4)

Nicht "formal", aber ziemlich präzise: Aristoteles und Apeiron .

Siehe Meta , Buch IX ( Θ ), 1048b10 :

Das Unendliche und das Nichts und alle ähnlichen Dinge sollen potentiell und tatsächlich in einem anderen Sinne existieren als viele andere Dinge, zB das, was sieht oder geht oder gesehen wird. [...] Aber das Unendliche existiert nicht potentiell in dem Sinne, dass es jemals tatsächlich eine getrennte Existenz haben wird; seine Getrenntheit liegt nur im Wissen. Denn dass die Teilung nie aufhört, möglich zu sein, ergibt, dass diese Wirklichkeit potentiell existiert, aber nicht, dass sie separat existiert.

Und Phys , Buch III, 4, 206b17:

Durch Addition gibt es also auch potentiell ein Unendliches, nämlich das, was wir in bezug auf die Teilung gewissermaßen als dasselbe beschrieben haben wie das Unendliche. Denn es wird immer möglich sein, etwas extra mitzunehmen . Aber die Summe der genommenen Teile wird jede bestimmte Größe nicht überschreiten, ebenso wie in der Richtung der Teilung jede bestimmte Größe überschritten wird und es immer einen kleineren Teil geben wird.

Und 207a32:

Es ist vernünftig, dass es in Bezug auf die Addition kein Unendliches gibt, das jede Größe übertrifft.

Danke, aber viele "moderne Mathematiker" werden das nicht verstehen oder als rein philosophisch disqualifizieren. Leider haben die meisten von ihnen die Fähigkeit verloren, andere als formalisierte Texte zu verstehen.
@Wilhelm Kannst du diese Aussage begründen?
Hilberts „On the Infinite“ ist ein weiterer Klassiker, den ich hier erwähnen möchte. Es endet mit den Worten „Logik allein genügt nicht“ und erläutert seine kantische Haltung.
@ José Carlos Santos: Gerne mehr als viele. Aber der Platz ist begrenzt. Siehe zum Beispiel die positive Antwort in math.stackexchange.com/questions/1351529/… : [Sie] sind mathematisch nicht zu unterscheiden. Oder PL Clark in hs-augsburg.de/~mueckenh/Transfinity/Transfinity/pdf , p. 11. Oder Dan Christensen: Es besteht keine Notwendigkeit, tatsächliche und potentielle Unendlichkeit formal zu unterscheiden. Es taucht nie in der realen Mathematik auf. groups.google.com/forum/#!topic/sci.logic/-hsEMkwt6FM%5B1-25%5D
@Wilhelm Viele Mathematiker lesen und verstehen Aristoteles. Es scheint, als gäbe es eine Person oder Gruppe von Personen, gegen die Sie mit der Antwort auf diese Frage kämpfen möchten. Keiner der von Ihnen bereitgestellten Links zeigt, dass Mathematiker artistotle nicht verstehen können. Sie zeigen, dass diese Mathematiker denken, dass es keinen Bedarf für einen Mathematiker gibt, zwischen den beiden zu unterscheiden. Das sind ganz verschiedene Dinge.
@Sella Biderman: Mathematiker, die Aristoteles, Cantor, Fraenkel, Zermelo, Hilbert, Nelson, Feferman, Robinson, Jech, Schechter usw. verstehen, können nicht glauben, dass es nicht notwendig ist, Unendlichkeiten zu unterscheiden. „Trotz des bedeutenden Unterschieds zwischen den Begriffen des potentiellen und des tatsächlichen Unendlichen, wo ersteres eine variable endliche Größe ist, die über alle Grenzen wächst, letzteres eine konstante Größe, die in sich selbst fixiert ist, aber über alle endlichen Größen hinausgeht, kommt es bedauerlicherweise oft vor, dass das das eine wird mit dem anderen verwechselt." (Kantor) ctd.
Beispielsweise könnte eine Funktion niemals die Zählbarkeit einer Menge oder ihre Unzählbarkeit zeigen, es sei denn, der Bereich ist fertig oder vollständig. Einfaches Beispiel: Das Diagonalargument versagt im potentiellen Unendlichen, weil man nie die für eine Entscheidung erforderliche Vollständigkeit erreicht.
@Wilhelm was meinst du damit, dass das diagonale Argument "in potentieller Unendlichkeit" fehlschlägt? Meinen Sie das Kontrafaktische „Wenn die natürlichen Zahlen potenziell unendlich wären, würde das Diagonalargument nicht funktionieren“? Meinst du „wenn du nur potentiell unendlich viele Schritte ausführen darfst, dann schlägt das Diagonalargument fehl“? Meinst du etwas anderes?
@Stella Biderman: Das diagonale Argument beweist, dass die vollständige Menge N nur eine Teilmenge von R aufnehmen kann. Warum sollten wir das glauben, wenn es keine vollständige Menge N gibt?

Die Unterscheidung zwischen potentiellen und tatsächlichen Unendlichkeiten war Aristoteles' clevere Lösung für Zenons Paradoxien. Die Idee war, dass wir, obwohl wir Segmente mental in zwei Hälften teilen können, die resultierende Sequenz auf unbestimmte Zeit aktualisieren, was Zeno in Dichotomie tut, ein Fehler ist. Aus Metaphysik VIII.8:

„ Obwohl es unendlich viele Hälften in einem Kontinuum gibt, sind diese potentiell und nicht tatsächlich … Die Antwort, die wir also auf die Frage geben müssen, ob es möglich ist, unendlich viele Teile zu durchqueren … ist, dass es einen Sinn gibt, in dem es möglich ist und was nicht. Wenn sie tatsächlich existieren, ist es unmöglich; aber wenn sie potentiell existieren, ist es möglich. “

Nach der Erfindung der Infinitesimalrechnung wurden jedoch alternative Auflösungen verfügbar, und Cantors Arbeit überzeugte viele Mathematiker, dass auch andere "Paradoxien der Unendlichkeit" behandelt werden könnten, siehe Warum hat Cantor (und andere) verwendet C für das Kontinuum? . Darüber hinaus entwickelte Cantor eine Theorie der aktualisierten Unendlichkeiten, die als fruchtbar angesehen wurde (Hilberts " Noone soll uns aus dem Paradies vertreiben, das Cantor geschaffen hat " wird oft zitiert). Die tatsächliche Unendlichkeit ist in die Standardaxiomatisierungen der Mengenlehre eingebaut, daher kann sie in ihnen nicht von der potentiellen Unendlichkeit unterschieden werden. Um unterscheiden zu können, braucht man alternative Axiomatisierungen der Mathematik. Dies unterstreicht Hilberts Vorstellung von Axiomen als implizite Definitionen von Begriffen.

Die zugrunde liegenden Konzepte wurden von Intuitionisten entwickelt, hauptsächlich Brouwer und Weyl, siehe Brouwer und Weyl: The Phenomenology and Mathematics of the Intuitive Continuum von Atten et al. Poincaré, Borel, Baire, Lebesgue und andere sogenannte Proto-Intuitionisten nahmen diese Ideen früher vorweg, siehe Hat Poincaré gesagt, dass die Mengenlehre eine Krankheit ist? (nicht genau). Hier ist Weyls informelle Beschreibung seiner und Brouwers Konzeption in Philosophy of Mathematics and Natural Science (1949):

„ Der Begriff der Folge ändert seine Bedeutung: Er bezeichnet nicht mehr eine durch irgendein Gesetz bestimmte Folge, sondern eine, die Schritt für Schritt durch freie Wahlhandlungen geschaffen wird und so in statu nascendi verbleibt. Diese ‚werdende‘ selektive Folge stellt das Kontinuum oder die Variable dar, während die durch ein Gesetz ad infinitum bestimmte Folge die ins Kontinuum fallende einzelne reelle Zahl darstellt.Das Kontinuum erscheint nicht mehr, um Leibniz' Sprache zu gebrauchen, als ein Aggregat fester Elemente, sondern als ein Medium des Freien 'werden' ".

In Das Kontinuum (1918) unternahm Weyl eine intuitionistische Rekonstruktion der klassischen Analyse auf der Grundlage dieser Unendlichkeiten im Werden. Weyls Wiederaufbau war der erste von vielen. 1930 formalisierte Heyting die intuitionistische Logik , die es Brouwers und Weyls potentiellen Unendlichkeiten ermöglichte, ihren vollen formalen Ausdruck zu geben. Es stellte sich heraus, dass es nicht ausreicht, mengentheoretische Axiome zu ändern (insbesondere die Axiome der Unendlichkeit und der Wahl müssen fallen gelassen werden), sondern auch das Gesetz des ausgeschlossenen Dritten fallen zu lassen, das ein Schließen durch Widerspruch erlaubt. In der Tat, wenn das Unendliche niemals "abgeschlossen" ist, können bestimmte Aussagen darüber auf die eine oder andere Weise keinen Wahrheitswert haben. Neuere Entwicklungen in diese Richtung, wie Bishops konstruktive Analyse, laufen meist unter dem Namen Konstruktivismus (um kantische Assoziationen zu vermeiden), siehe auch Konstruktive Mengenlehre . Während unter den Mathematikern eine Minderheitsposition blieb, erwies sich der Konstruktivismus als dauerhaft präsent.

Danke, aber ich brauche eine formelle Erklärung, um moderne Mengentheoretiker zu überzeugen. Übrigens ist das tatsächliche Unendliche nicht in die Peano-Axiome eingebaut. Welcher Teil von Zermelos Axiom „existiert also { } und mit A existiert { A }" ergibt fertige Unendlichkeit? Hilbert war von der tatsächlichen Unendlichkeit verzaubert, aber am Ende des Aufsatzes, in dem er Cantors Paradies lobte, fasste er etwas abkühlend zusammen: "Das Unendliche ist nirgends verwirklicht; es ist weder in der Natur vorhanden noch als Grundlage unseres rationalen Denkens zulässig.“ Ich persönlich bevorzuge rationales Denken.
@Wilhelm Was die meisten Mathematiker überzeugte, war die Rekonstruktion der Mathematik auf der Grundlage der Mengenlehre mit Cantors tatsächlichen Unendlichkeiten. Konstruktivistische Rekonstruktionen sind zu restriktiv, um allgemein ansprechend zu sein, obwohl Rodin einen interessanten neuen Ansatz hat. Die fertige Unendlichkeit ist gegeben durch "es gibt eine induktive Menge" oder etwas Ähnliches. Peano-Axiome in Kombination mit intuitionistischer Logik drücken vermutlich nur die potentielle Unendlichkeit aus.
„Es existiert eine induktive Menge“ allein macht die Unendlichkeit noch nicht fertig. Es hätte auch von Peano gesagt werden können. Aber all das wäre viel einfacher zu diskutieren, wenn wir eine formale Definition dessen hätten, was wir umgangssprachlich als eine Menge ausdrücken S Ich erspähe. inf. wenn „jede Teilmenge eine richtige Obermenge hat S ". Ein Satz S ist Akt. inf. wenn „nicht jede Teilmenge eine richtige Obermenge hat S ".
@Wilhelm Peano Arithmetik erlaubt es nicht, über Mengen zu sprechen, aber solange die Logik klassisch ist, ist ihre zählbare Unendlichkeit vermutlich tatsächlich. Ihr Vorschlag heißt Dedekind infinite , er kommt von der induktiven Konzeption in Modellen von ZF ab.

Eine kontinuierliche Funktion kann als eine Funktion charakterisiert werden, bei der die Ausgabe mit endlicher Genauigkeit bestimmt werden kann, indem nur endliche Informationen über die Eingabe verwendet werden. (Mit endlicher Information meine ich Genauigkeit. Blöde englische Sprache!)

Ob eine Unendlichkeit "potentiell" oder "tatsächlich" ist, hängt genau davon ab, was man damit macht. Eine reelle Zahl ist ein unendliches Objekt; es hat unendlich viele Stellen. Bestimmte Operationen mit reellen Zahlen sind durchführbar, andere nicht. Zum Beispiel ist es eindeutig nicht möglich zu entscheiden, ob eine reelle Zahl gleich ist 0 , denn dazu müsste man jede Ziffer der Zahl kennen. Es ist möglich, eine reelle Zahl mit zu multiplizieren 2 , weil dies genau bestimmt werden kann ϵ indem nur endlich viele Ziffern der Eingabe gelesen werden.

Ob eine Operation durchführbar ist, kann entweder durch Berechenbarkeit oder Kontinuität erfasst werden. Topologie und Berechenbarkeitstheorie definieren die Begriffe kontinuierliche Funktion und berechenbare Funktion. Wenn eine Funktion diskontinuierlich oder nicht berechenbar ist, dann haben Sie eine tatsächliche Unendlichkeit. Auch Kontinuität und Berechenbarkeit sind in der Praxis ziemlich ähnlich.

Dies ist keine Antwort, aber zu lang für einen Kommentar. Es zeigt die Richtung an, in der die Antwort gesucht werden sollte.

Eine Sammlung oder Klasse C ist potentiell unendlich genau dann wenn für jede Teilmenge A Es gibt eine Teilmenge B so dass A ist eine echte Teilmenge von B . Ansonsten C ist endlich oder eigentlich unendlich.

C ist potentiell unendlich ⇔ ∀ A ⊆ C ∃ B ⊆ C : A ⊂ B .

Bemerkung: Die vollständige Sammlung oder Menge aller natürlichen Zahlen existiert nicht im potentiellen Unendlichen. Das komplette reale Intervall [ 0 , 1 ] existiert nicht im potentiellen Unendlichen (zum Beispiel, weil die vollständige Sammlung von Einheitsbrüchen nicht existiert).

Etwas stimmt nicht mit der Definition: wenn A C sein darf, erfüllt es keine Menge, C ist keine echte Teilmenge von irgendetwas, wenn A nicht C sein darf, dann erfüllt es jede Menge, man kann immer B= nehmen C.
@Conifold: Es ist schwierig. Eine Teilmenge A oder B kann nicht die potentiell unendliche Klasse sein C weil letzteres nicht als abgeschlossene Entität (= Menge) existiert. Nur wenn C ist dann endlich oder eigentlich unendlich A = C ist möglich und das Kriterium gibt die Antwort nicht "potentiell unendlich", dh endlich oder tatsächlich unendlich.
Es ist kreisförmig. Sie verwenden die Unterscheidung, die Sie zu definieren versuchen, um die Definition vorzunehmen.
@Conifold: Ich versuche nicht, die potenzielle Unendlichkeit zu definieren. Ich gebe ein formales Kriterium an. Ich gebe es natürlich so, dass sich die umgangssprachlich meist beschriebene Unterscheidung ergibt.
Das ist schön und gut, aber bisher haben Sie nichts definiert und kein formales (oder irgendein) Kriterium angegeben. Für ein Kriterium sollte man Sie nicht konsultieren müssen, was eine „abgeschlossene“ Teilmenge darstellt oder nicht, bevor es „formal“ formuliert ist. Bestenfalls haben Sie eine vage Intuition. Sie können versuchen, etwas induktiv zu tun, aber ich sehe keinen offensichtlichen Weg, um Ihren Kreis aufzulösen. Oder Sie können versuchen, dies in eine Liste von Axiomen einzubetten, die implizit die Beziehungen zwischen endlich, potentiell und tatsächlich unendlich beschreiben. Aber Sie brauchen noch viel mehr Axiome, um es praktikabel zu machen.
@Conifold: Es gibt keinen Kreis und keine Intuition. Wenden Sie einfach jedes beliebige Set an, das Sie mögen C . Wenn es das Kriterium erfüllt, dann ist es potentiell unendlich. Andernfalls ist es endlich oder tatsächlich unendlich. Versuch es.
Gibt es eine formale Unterscheidung zwischen potentiellen und tatsächlichen Unendlichkeiten?
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