Dies ist ein sehr breites Thema, aber es gibt einige Konzepte, die wir vorstellen können, um Ihnen den Einstieg zu erleichtern. Die Begriffe "tatsächliche Unendlichkeit" und "potenzielle Unendlichkeit" werden in der Mathematik nicht wirklich verwendet, aber sie scheinen sich auf eine Unterscheidung zu beziehen, die gemacht wird : die Ordinalzahlen vs. die Kardinalzahlen. Es gibt auch eine Vielzahl von Infinity- Größen innerhalb jeder Kategorie, die wir kurz besprechen werden.

Ein Hinweis zur Typografie: Leider scheint Philosophy.stackexchange das Setzen von Mathematik nicht zu unterstützen (wenn es eine Möglichkeit gibt, lassen Sie es mich wissen). Nehmen wir also an, A_i bedeutet A mit dem Index i. A_{i+1} bedeutet A mit dem Index i+1.

Arten von Unendlichkeiten

Lassen Sie uns jede davon anhand der natürlichen Zahlen ℕ und der Nachfolgefunktion aus der Peano-Arithmetik untersuchen: S(n) = n + 1 für alle natürlichen Zahlen n.

∞ kann verwendet werden, um jede Art oder Größe von Unendlichkeit darzustellen, und kann auftauchen, wenn der Kontext klar macht, womit wir es zu tun haben. Es gibt aber auch präzisere Schreibweisen, die wir hier ausschließlich verwenden.

Potenzielle Unendlichkeit

Stellen Sie sich eine Folge vor, die kein größtes Element hat, für die aber jedes Element endlich ist. zB sei A eine Folge mit A_0 = 0 und A_{i+1} = S(A_i). Jedes A_i ist eine endliche natürliche Zahl, aber es gibt kein größtes Element. Die Elemente von A sind also potentiell unendlich.

Tatsächliche Unendlichkeit

Die Menge der natürlichen Zahlen, ℕ. Davon gibt es eigentlich unendlich viele, nicht nur beliebig viele. Dies bezieht sich auf die potenzielle Unendlichkeit, indem ℕ wie folgt definiert werden kann:

• 0 ist in ℕ
• Wenn n in N ist, dann ist S(n) in ℕ.

Das heißt, A enthält genau die gleichen Elemente wie ℕ. Der einzige Unterschied zwischen der Sequenz und dem Set besteht darin, dass die Sequenz geordnet ist. Es scheint also, dass es keine besonders sinnvolle Unterscheidung zwischen "potenziellen" und "tatsächlichen" Unendlichkeiten gibt. Aber es gibt einen sinnvollen Unterschied zwischen der Größe von A selbst und der Größe der einzelnen Elemente von A. Und das bringt uns zu den Kardinalzahlen und Ordnungszahlen.

Kardinäle

Die Kardinalzahlen werden verwendet, um die Anzahl der Elemente in einer Menge zu zählen.
Die Standardnotation für die Größe der Menge A ist |A|. Der Wert von |A| ist immer ein Kardinal. Kardinäle können endlich oder unendlich sein. zB |{1,2,3}| = 3.

Wenn die Menge tatsächlich unendlich ist, verwenden wir die Aleph-Zahlen (ℵ), um sie darzustellen. ℵ_0 ist die Kardinalität der natürlichen Zahlen: ℵ_0 = |ℕ|, und ist die kleinste der unendlichen Kardinalitäten.

Ordnungszahlen

Die Ordnungszahlen werden verwendet, um eine Ordnung über eine Menge zu erstellen. Die Ordnungszahlen selbst sind vollständig geordnet, und wenn wir also eine Eins-zu-Eins-Zuordnung zwischen jeder Menge und den Ordnungszahlen herstellen können, können wir eine gute Ordnung über die Menge herstellen. Im Beispiel von A beinhaltet dies die Abbildung des Index auf den Wert des Elements. Da A_i = i, ist das trivial: f(i) = i.

Für die endlichen Ordinalzahlen verwenden wir einfach die natürlichen Zahlen, genauso wie für die Kardinalzahlen, da der Kontext klar macht, ob es sich um Ordinalzahlen oder Kardinalzahlen handelt.

Es gibt auch unendliche Ordinalzahlen, aber sie funktionieren etwas anders als die unendlichen Kardinalzahlen, da sie (zumindest teilweise) als Grenzen definiert sind. Die erste unendliche Ordnungszahl, ω, ist definiert als die kleinste Ordnungszahl, die größer als alle natürlichen Zahlen ist.

ω ist die Grenzordnung für die Menge A: A_i < ω für alle i.

Zusammenfassung

Wir haben also unsere Menge A, die wir an dieser Stelle einfach ℕ nennen können, da sie so ist:

• ℕ_0 = 0, ℕ_{i+1} = S(ℕ_i).
• Für alle i gilt ℕ_i < ω.
• |ℕ| = ℵ_0

Die Vorstellung von „potenziellen“ vs. „tatsächlichen“ Unendlichkeiten ist etwas schwammig, aber die Grundidee kann auf eine strengere Grundlage gestellt werden, indem die Reihenfolge der Elemente einer Menge von der Anzahl der Elemente in der Menge unterschieden wird.

Größen von Unendlichkeiten

Dieser Abschnitt ist für Ihre ursprüngliche Frage weniger relevant, daher habe ich ihn von der Hauptantwort getrennt, aber er ist wichtig, wenn Sie ein tiefes Verständnis von Unendlichkeiten erlangen möchten.

Kardinäle

Zwei unendliche Mengen haben dieselbe Kardinalität, wenn wir eine Eins-zu-Eins-Abbildung zwischen ihnen herstellen können.

Zum Beispiel hat die Menge aller ganzen Zahlen, ℤ, die gleiche Kardinalität wie die Menge von ℕ, was wir wie folgt beweisen können: Sei a ein beliebiges Mitglied von ℤ. Wenn a negativ ist, bilden wir es auf -2a-1 ab. Wenn a nicht negativ ist, bilden wir es auf 2a ab. Dies führt dazu, dass jedes Element von ℕ einem eindeutigen Element von ℤ zugeordnet wird und umgekehrt, sodass wir sagen können, dass die Mengen dieselbe Größe haben.

Andererseits können wir dies nicht mit den reellen Zahlen tun. Der Beweis mit der Cantor-Diagonalisierung ist hier etwas langwierig zu erklären, aber wenn Sie ihn verstehen, werden Sie viel dazu beitragen, Unendlichkeiten zu verstehen. Die Kardinalität der Realzahlen könnte das nächste Element in der Menge der Kardinalzahlen sein, ℵ_1, aber dies wurde nicht bewiesen . Es gibt unendlich viele Kardinalitäten.

In der Praxis (zumindest auf meinem Gebiet) können wir die unendlichen Kardinäle einfach als "zählbare Unendlichkeiten", solche mit Kardinalität ℵ_0 oder "unzählbare Unendlichkeiten", die jede andere Größe haben, klassifizieren.

Ordnungszahlen

Es gibt auch unendlich viele Ordnungszahlen. Nach ω haben wir ω+1, ω+2 usw. Nach all dem haben wir ω+ω = 2ω. Usw.

Laut der Seite des Logic Museum über Philosophie des Unendlichen ¹ geht die Unterscheidung auf Aristoteles zurück, dem „infinitum actu non datur“ zugeschrieben wird – dass die tatsächliche Unendlichkeit nicht existiert ² . Die Einzelheiten seiner Ansichten und Argumente sind kompliziert genug, um ihre eigenen Fragen zu sein. Infolgedessen wird jedoch die Idee der potenziellen Unendlichkeit – etwas, das fortgesetzt werden kann, ohne ein Ende zu implizieren – in der philosophischen Tradition als gut etabliert angesehen. Im Gegensatz dazu ist nicht immer klar, was es bedeutet, dass etwas gleichzeitig tatsächlich unendlich und auf ein Aggregat reduzierbar ist. In einem Fall scheint Aristoteles zu argumentieren, dass wir nicht erwarten können, dass eine Zeile tatsächlich existiertzusammengesetzt aus einer unendlichen Anzahl von Punkten (im Gegensatz zu potenziell teilbar in unendlich viele Segmente), wenn wir keine zwei Punkte finden können, die benachbart sind (und somit das Kontinuum überspannen können).

In der Antike war dies relevant für Dinge wie die Atomtheorie von Leukippos und Demokrit und Zenos Paradoxon. Aber die Unterscheidung ist seitdem für viele Philosophen in verschiedenen Kontexten wichtig (vgl. Logic Museum). Zum Teil zeugt die Wertschätzung der potentiellen Unendlichkeit gegenüber der tatsächlichen Unendlichkeit von Aristoteles' Vermächtnis in der westlichen Philosophie. Zum Beispiel denke ich, dass viele theistische Philosophen für beides argumentieren würden.

In relativ neuer Zeit erlebte die Frage während der Entwicklung der axiomatischen Mengenlehre eine gewisse Wiederbelebung . Dedekind, Cantor und andere befassten sich um diese Zeit mit dem Problem, und viele Fragen im Zusammenhang mit unendlichen Mengen (z. B. die Kontinuumshypothese und das Wahlaxiom) wurden entwickelt. Diese wurden von besonderer Bedeutung, da die transfinite Mengenlehre auf der Grundlage von ZFC (Zermelo-Fraenkel-Axiome plus Wahlaxiom) zu einem brauchbaren System wurde, in dem moderne Grundlagen der Mathematik formalisiert werden konnten.

Heutzutage ist die transfinite Mengenlehre die anerkannteste Grundlage der Mathematik. Aus diesem Grund ist die Vorstellung von tatsächlich unendlichen Mengen so verbreitet und nützlich, dass die Frage etwas von ihrer Bedeutung verloren hat. In diesem Zusammenhang ist die Vorstellung, dass eine potenzielle Unendlichkeit eine tatsächliche Unendlichkeit impliziert, zumindest in einem logischen oder immanenten Sinn plausibel. Ich denke, die Frage ist immer noch interessant aus der Perspektive der Ontologie, alternativer Grundlagen der Mathematik, Alternativen zu ZFC in der Mengenlehre und in anderen historischen und verwandten Kontexten. Es gibt auch einige interessante mathematische Aspekte, zum Beispiel in der Mengenlehre und Analyse, aber ich denke, das wäre besser auf MathOverflow gefragt.

1: The Logic Museum 's Philosophy of the Infinite enthält eine Auswahl an Zitaten und Schriften über die Behandlung des Unendlichen durch Aristoteles und spätere Philosophen.
2: Siehe zum Beispiel Teil V in Physik , Buch III

Ich werde Ihre Frage beantworten, warum potenzielle Unendlichkeiten erkenntnistheoretisch höher geschätzt zu werden scheinen. Der Grund dafür ist, dass potentielle Unendlichkeit möglich ist und tatsächliche oder vollendete Unendlichkeit (wie sie von ihrem Erfinder Georg Cantor genannt wurde) unmöglich ist.

Potentielle Unendlichkeit : Jede natürliche Zahl, auf die ich mich beziehen kann, gehört zu einem endlichen Anfangssegment, dem potentiell unendlich viele natürliche Zahlen folgen. Eine unendliche Menge ist viel größer als jede endliche Menge. Daher können fast alle natürlichen Zahlen nicht einzeln bezeichnet werden.

Tatsächliche Unendlichkeit : Alle natürlichen Zahlen können einzeln bezeichnet werden.

Letzteres ist offensichtlich unmöglich, wenn die Mehrheit der Zahlen immer jenseits der bezeichneten natürlichen Zahl liegt. Sie können es auch experimentell überprüfen. Beziehen Sie sich auf eine beliebige natürliche Zahl. Sie gehört zu einem winzigen Anfangssegment, wie die Tatsache beweist, dass die Multiplikation mit einem beliebig großen Faktor ebenfalls eine natürliche Zahl ergibt.

Daher schätzen die meisten Philosophen und Mathematiker (mit Ausnahme der kleinen Sekte der Mengentheoretiker) die potentielle Unendlichkeit und halten daran fest.

Dies erfordert eine genaue konzeptionelle Klärung, um auch nur an die Oberfläche der im Spiel befindlichen Konzepte zu gelangen, und dies, bevor wir sehen, welche Motivationen verschiedene Denker hatten, sich an diesem oder jenem Konzept festzuhalten. Die Antwort hängt von dem Sucher nach dem Konzept ab und davon, wie er nach dem Konzept der Unendlichkeit sucht. Wenn die Essenz der Unendlichkeit als Grenzenlosigkeit gedacht wird, was bedeutet, dass etwas, das ihr hinzugefügt wird, sie niemals erschöpfen wird, dann ist sie insofern tatsächlich, als sie jetzt, genau jetzt, in der Lage ist, alles für sich selbst zu empfangen, ohne erschöpft zu werden. Es ist klar, dass diese Vorstellung von Unendlichkeit ganz anders ist als diejenige, die das Wesen der Unendlichkeit in all den Dingen, die sie positiv als eine existierende Anzahl von Teilen umfassen, denken würde. So dass neben jedem Teil ein Teil steht, ausschließlich keines.

Aristoteles' Sinn für das Unendliche, dass das, was da ist, nicht erschöpfbar ist, ist nicht ganz klar darüber, was Potenzial bedeutet. Handelt es sich um eine Art goldene Gans, bei der das Hervorkommende immer als viertes ergießt, solange das eigentliche Potential ( energia ) der Unendlichkeit nicht irgendwie niedergeschlagen wird? Auf jeden Fall, so viel Rost und Verfall sich auch auf die eigentlich philosophische Reflexion über dieses Thema gelegt hat, sehe ich nicht, wo es offensichtlich anders sein könnte als eine unendliche Quelle fruchtbarer aufmerksamer Forschung.

Unendlichkeit existiert und kann nicht durchquert, vollendet werden; Unendlichkeit ist ein schwarzes Loch, aber es kann sublimiert und transzendiert werden. Prozess (schlechte Unendlichkeit) für immer, Gesetz (wirkliche Unendlichkeit) ewig; Prozess ist eine Variable, Gesetz ist eine Konstante; Die Unendlichkeit kann nicht überschritten, aber transzendiert werden, das Ergebnis der Transzendenz ist eine wirkliche Unendlichkeit. Die Existenz der Unendlichkeit und die Vollendung des Prozesses sind zwei völlig unterschiedliche Konzepte, sie sind zwei widersprüchliche Aspekte und können nicht durcheinander ersetzt werden; gerade wegen ihrer Existenz besteht der Widerspruch zwischen Endlichkeit und Unendlichkeit. Die Unendlichkeit kann wie ein schwarzes Loch hereinkommen, ohne hinauszugehen, endlos, nie vorbei. Die unendliche Sichtweise des dialektischen Materialismus besteht auf der Unauslöschung dieser Art von Widerspruch, und hält fest, dass die Unendlichkeit objektiv existiert und erkannt werden kann, aber der unendliche Prozess kann nicht abgeschlossen werden, dh der unendliche Widerspruch ist ewig; Andererseits betrachtet die Sichtweise der tatsächlichen Unendlichkeit die objektive Existenz der Unendlichkeit als Vollendung des unendlichen Prozesses, indem sie die subjektive durch die objektive ersetzt, die schlechte Unendlichkeit durch die wirkliche Unendlichkeit ersetzt, den Widerspruch zwischen Endlichkeit und Unendlichkeit vollständig aufgibt, und denken, dass der Widerspruch beendet und gelöst werden kann. Dieser Gedanke folgte also dem transzendentalen, subjektiven, metaphysischen Unendlichkeitsgedanken Kants, nicht dem dialektischen Unendlichkeitsgedanken Hegels. Deshalb,

Das sogenannte Infinite Exchange Paradox bezieht sich auf die Idee, dass wir den Gedanken der tatsächlichen Unendlichkeit verwenden – d -eine Entsprechung) in gegenseitig nicht äquivalente Unendlichkeiten. Dies legt die inhärenten Mängel des tatsächlichen unendlichen Gedankens zutiefst offen, es verschiebt den Widerspruch ins Unendliche, aber der Widerspruch verschwindet nie. Mit anderen Worten, der unendliche Prozess kann nicht abgeschlossen werden, was die unendliche Sichtweise des dialektischen Materialismus (der in einem späteren Kapitel näher ausgeführt wird) weiter unterstützt.

Zusammenfassend stellen wir umfassend Hegels dialektische Unendlichkeit vor und führen auch Engels' kritische Vererbung und Entwicklung von Hegels unendlicher Sichtweise ein, es führt auch die Unterschiede zwischen den vier Arten unendlicher Sichtweisen ein und analysiert die Fehler der tatsächlichen Unendlichkeit; So können wir jetzt natürlich die unendliche Sichtweise des dialektischen Materialismus zusammenfassen: unendliches Objektiv existiert, unendliches kann erkannt werden, aber unendlicher Prozess kann nicht abgeschlossen werden.

Konkret ist jede Unendlichkeit die dialektische Einheit von böser Unendlichkeit und wirklicher Unendlichkeit. Es ist eine objektive Existenz, und die Unendlichkeit selbst enthält den Widerspruch zwischen Endlichkeit und Unendlichkeit, also bedeutet die objektive Existenz der Unendlichkeit nicht, dass der unendliche Prozess vollständig enden kann. Wirkliche Unendlichkeit ist die inhärente qualitative Bestimmung unendlicher Dinge, also innerer Zusammenhang, Gesetz und Wahrheit, während böse Unendlichkeit unendlicher Fortschritt, keine abschließende Wiederholung und Abwechslung ist, verkörpert sie zutiefst den Widerspruch zwischen Endlichkeit und Unendlichkeit.

Echte Unendlichkeit kann erkannt und vervollständigt werden, während schlechte Unendlichkeit nicht erkannt und nicht vervollständigt werden kann; schlechte Unendlichkeit (unendlicher Prozess) ist eher die konkrete Manifestation des Widerspruchs zwischen Endlichkeit und Unendlichkeit als die Lösung eines solchen Widerspruchs; dies bestimmt, dass der Widerspruch zwischen Endlichkeit und Unendlichkeit niemals aussterben wird. Wirkliche Unendlichkeit repräsentiert unendliche Qualität (Essenz), während schlechte Unendlichkeit unendliche Quantität (Bewegung und Veränderung) darstellt.

Wirkliche Unendlichkeit ist untrennbar von böser Unendlichkeit, böse Unendlichkeit ist der Träger von wirklicher Unendlichkeit, und wirkliche Unendlichkeit ist das Ziel und die Richtung von böser Unendlichkeit. Die wirkliche Unendlichkeit ist gegenwärtig, konkrete, positive, rationale, vollendete Unendlichkeit, ist Fürsichsein und rationales Sein, ist die vollendete Qualität; und die böse Unendlichkeit ist mögliches, abstraktes, negatives, unvollendetes Unendliches, ist Ansichsein und geistiges Sein.

Das Problem von Endlichkeit und Unendlichkeit ist bekanntlich das Grundproblem der Mathematik, und es ist auch das Grundproblem der Philosophie. Die mathematische Grundlage hat drei große Krisen erlebt, von der Geburt der irrationalen Zahl und der ernsthaften Infragestellung der Rationalität des Kalküls (Hegel, Marx hat eine dialektische wissenschaftliche Erklärung aus der Philosophie gegeben) und dann bis zum Auftreten des Russell-Paradoxons .

Der eigentliche Grund hinter den drei Krisen ist, dass die Menschheit den Widerspruch zwischen Endlichkeit und Unendlichkeit nicht wissenschaftlich und eindeutig erklären konnte und es immer einen Streit zwischen tatsächlicher Unendlichkeit und potentieller Unendlichkeit gegeben hat. Die Lösung der zweiten Krise besteht darin, dass Mathematiker versehentlich der Idee der Dialektik folgen und die wissenschaftliche Definition des Grenzwerts geben. Seit Cantor vor über 100 Jahren die „unendlichen Zahlen“ (Ordinalzahl, Kardinalzahl) erfunden hat, ist das Unendlichkeitsverständnis der Menschen abermals in die idealistische Metaphysik gefallen. Dieser Aufsatz analysiert umfassend das Wesen der tatsächlichen Unendlichkeit und ruft Hegels „wahres Wesen der Unendlichkeit“ hervor, das heißt, die innere Verbindung der Unendlichkeit – die Essenz der wirklichen Unendlichkeit,

Dieses Papier kehrt zurück und definiert die unendliche Sichtweise des dialektischen Materialismus neu, das heißt, Unendlichkeit objektive Existenz, Unendlichkeit kann erkannt werden, Unendlichkeit kann nicht abgeschlossen werden. Im philosophischen System des dialektischen Materialismus gibt dieser Artikel eine gründliche Lösung für das berühmte Problem der Kontinuumshypothese und beseitigt auch das philosophische Hindernis zur Lösung des Russell-Paradoxons. Bitte besuchen Sie das Philosophy of Mathematics Education Journal, vol. 35 (2019).

http://socialsciences.exeter.ac.uk/education/research/centres/stem/publications/pmej/