Warum das Axiom der Unendlichkeit akzeptieren?

Nach meinen Lesungen zeigte Russell, dass ein Prinzip, das Frege benutzte, um die Peano-Arithmetik auf Logik zu reduzieren, zu einem Widerspruch führte. Also versuchte Russell, Mathematik auf andere Weise auf Logik zu reduzieren, erkannte aber, dass er Dinge wie ein Unendlichkeitsaxiom brauchte , um seine Reduktion auf den Weg zu bringen. Aber dass es unendlich viele Sammlungen gibt, ist natürlich nicht nur eine Frage der Logik . Es scheint also, dass Russell nur ein Unendlichkeitsaxiom festlegen musste. (Dies ist nur Hintergrund.)

Ist also in der modernen Mengenlehre das Axiom der Unendlichkeit einfach festgelegt? Oder gibt es ein Argument für seine Wahrheit?

Einige Richtungen:

G. Boolos leitete die ZFC-Axiome aus dem iterativen Mengenkonzept ab und lieferte damit eine Motivation oder ein Argument zugunsten des Unendlichkeitsaxioms.

Oder jemand könnte wie Cantor denken, dass alle konsistenten mathematischen Ergebnisse (materielle?) Instanziierungen in der Natur haben. Ein Großteil der Mathematik hängt von den natürlichen Zahlen, den reellen Zahlen usw. ab, und daher gibt es Grund, Unendlichkeitsaxiome zu akzeptieren.

Es gibt ähnliche Threads wie bei mir:

  1. Mathe ohne unendlich?
  2. Existieren Unendlichkeit und Null wirklich?
Willst du Induktion? Wollen Sie über die Menge der natürlichen Zahlen sprechen können, um Induktion anzugeben ? (Dies ist keine rein rhetorische Frage. Einige Leute lehnen die volle Stärke der Induktion ab, gerade weil sie nicht glauben, dass die natürlichen Zahlen als "vollständige Unendlichkeit" existieren sollten.)
Ich bin etwas verwirrt, weil alle Axiome per Definition festgelegt sind.
Ich glaube nicht, dass die Existenz von irgendetwas allein aus Logik folgt.
@QiaochuYuan Brauchen Sie wirklich unendliche Sätze für die Induktion? Es gibt Arithmetik erster Ordnung, wo Sie jedoch Induktion haben ω selbst ist formal kein Objekt der Arithmetik erster Ordnung. Ich glaube jedoch, dass Sie das Axiom der Unendlichkeit brauchen, um etwas zu haben, das eine induktive Menge genannt wird.
@William: Ja, in ZFC ist es einfach so. Tatsächlich besagt das Unendlichkeitsaxiom, dass es eine induktive Menge gibt.
@William: Nun, ein Modell von PA ist eine unendliche Menge, auch wenn PA nicht direkt über unendliche Mengen spricht. Wenn Sie also wollen, dass die Mengenlehre in der Lage ist, Modelle von PA zu konstruieren ...
@QiaochuYuan Ich weiß nicht, ob es wünschenswert ist, tatsächlich ein PA-Modell als starken Grund für die Aufnahme des Axioms zu erstellen. Ist es so wichtig, die Konsistenz von PA formal nachweisen zu können? ZF - INF hat die erblich endlichen Mengen als Vorbild. Vielleicht gibt es eine Unterklasse (nicht festgelegt) dieses Modells, die als Modell für PA dienen kann.
@William: Sie haben geschrieben: "Ich weiß nicht, ob es wünschenswert ist, tatsächlich ein Modell von PA als starken Grund für die Aufnahme des Axioms zu produzieren ." Alles, worum ich bitte, ist ein solcher Grund. Was ist ein starker Grund für die Aufnahme?
@pichael: Was ist an deiner Frage anders als die, die du verlinkt hast, sodass die Antworten auf die andere Frage deine nicht beantworten?
@pichael Das Unendlichkeitsaxiom ist großartig, weil es Ihnen erlaubt, interessantere Aspekte von Ordnungszahlen und Kardinalzahlen zu berücksichtigen. Es kann jedoch viel Mathematik in Arithmetik erster Ordnung oder ZF - Inf durchgeführt werden, die die erblich endlichen Mengen modelliert hat. Hier muss man nur die finitistische Sichtweise einnehmen, dass HF bzw N ist nur eine Abkürzung und kein reales Objekt innerhalb des Systems.
@ Hurkyl: Ich denke nichts. Ich habe diese anderen Fragen gesehen, nachdem ich diese gepostet habe. Soll ich es einfach löschen?
mögliches Duplikat von Math ohne Unendlich
@pichael: Das Löschen ist wahrscheinlich falsch: Andere Threads, die ich gesehen habe, wurden einfach als Duplikat geschlossen. Ich habe dafür gestimmt, es als Duplikat zu schließen (mein erstes, seit ich die Macht habe), aber da es sonst niemand getan hat, nehme ich an, dass das Thema interessant genug ist, dass die Leute einen weiteren Thread dazu wollen.
@MichaelGreinecker IIRC-Logik erster Ordnung (aber keine inklusive Logik) geht von einer nicht leeren Domäne aus.

Antworten (5)

Wenn Sie an die Menge der natürlichen Zahlen glauben, akzeptieren Sie bereits das Unendlichkeitsaxiom. Für die meisten Mathematiker ist die Existenz der Menge natürlicher Zahlen eine intuitiv klare Tatsache, die keiner Argumentation bedarf, sodass Mathematiker sich normalerweise nicht um das Axiom kümmern. Außerdem hängt viel klassische Mathematik von solchen unendlichen Konzepten ab.

Die Frage der Annahme oder Ablehnung eines solchen Axioms ist hauptsächlich für Philosophen interessant, nicht für Mathematiker. Man kann das Axiom der Unendlichkeit ablehnen (solche Leute werden oft als Finitisten bezeichnet ), aber die meisten Mathematiker tun dies nicht. Sie glauben an die Existenz der Menge der natürlichen Zahlen und sehen daher das Axiom der Unendlichkeit als eine trivial wahre Tatsache an.

Historisch haben die meisten Mathematiker abgelehnt, dass wir mit allen natürlichen Zahlen eine vollständige Menge konstruieren können. Die Gründe, warum die meisten Mathematiker daran glauben, haben wahrscheinlich mehr damit zu tun, dass jedes Lehrbuch, das sie jemals gelesen haben, davon ausgeht, dass eine solche Menge existiert. Ich glaube, dass wir jede natürliche Zahl konstruieren können, an der wir praktisch interessiert wären, aber ich habe noch nie jemanden gesehen, der in der Lage wäre, die vollständige Menge aller natürlichen Zahlen zu konstruieren.
1. Die Existenz der Menge natürlicher Zahlen zu akzeptieren bedeutet nicht, sie als abgeschlossene Konstruktion zu akzeptieren, zB akzeptieren Intuitionisten die Existenz der Menge natürlicher Zahlen, aber nicht als abgeschlossene Konstruktion. 2. Das Konzept der Menge ist ziemlich neu, jede Bezugnahme auf die Geschichte davor und die Aussage, Mathematiker hätten es nicht akzeptiert, ist irreführend, sie wussten nichts davon. Da nach Cantor fast alle Mathematiker die Existenz einer Menge natürlicher Zahlen akzeptiert haben, würden Sie Schwierigkeiten haben, diejenigen zu finden, die ihre Existenz ablehnen. Es gibt nicht so viele Finitisten.
3. Beachten Sie auch, dass selbst Finitisten die Quantifizierung über natürliche Zahlen akzeptieren, man sehr vorsichtig sein muss, um die Quantifizierung über natürliche Zahlen zuzulassen, aber nicht zuzulassen, dass die Menge der natürlichen Zahlen als Objekt behandelt wird, ohne in Schwierigkeiten zu geraten (im Wesentlichen denke ich, dass sie es sein müssen ein Logiker).
1. Was bedeutet es, dass ein Objekt existiert, wenn es nicht konstruiert werden kann? Das erscheint mir einfach logisch unmöglich. Ich schätze, es wird als ein Objekt gesehen, das schon am Anfang des (mathematischen) Universums auf magische Weise da war, aber nicht wieder rekonstruiert werden kann. Es klingt wie eine Art göttliches Objekt. Es mag interessant sein, darüber nachzudenken, aber aufgrund der vagen und ungenauen Natur dieses Themas scheint es eher der Philosophie oder Religion als der Mathematik anzugehören.
2. Die Formalisierung der Mengenlehre ist neu, nicht aber die Diskussion über unendliche mathematische Objekte. Die Griechen glaubten, dass es eine potenzielle Unendlichkeit gibt (zum Beispiel die Folge natürlicher Zahlen), aber keine tatsächliche Unendlichkeit (zum Beispiel die Menge der natürlichen Zahlen). Das sieht man auch daran, dass Euklid nicht gesagt hat, dass die Menge der Primzahlen unendlich ist, er hat so etwas gesagt wie: „Egal wie viele Primzahlen du beschreiben kannst, es gibt mehr Primzahlen als diese.“ In der jüngeren Geschichte widerlegte Gauß die Idee einer „tatsächlichen“ Unendlichkeit.
3. Ja, ich sehe darin kein logisches Problem. So wird es auch historisch gemacht. „Gegeben sei n eine natürliche Zahl. Daraus folgt ...“ Statt: „Für alle n in der Menge der natürlichen Zahlen, ...“ Man braucht das Axiom der unendlichen Mengen eigentlich nicht, um die natürlichen Zahlen zu studieren. Die Gründe, warum Mathematiker es wollten (und wunschgemäß anfingen, daran zu glauben), hatten wahrscheinlich viel mehr damit zu tun, dass unendliche Mengen zur Modellierung irrationaler Zahlen verwendet werden.
Entschuldigung, aber wir diskutieren hier nicht Ihre Überzeugungen (die eine eingeschränkte Variante konstruktiver Mathematik zu sein scheinen, die sich wiederum vom Finitismus unterscheidet), und diskutieren nicht, welche Philosophie der Mathematik die richtige ist (vorausgesetzt, es gibt eine). Klassische Mathematiker, die historisch gesehen eine sehr große Mehrheit der Mathematiker ausmachen, glauben an die Existenz von N als Objekt. Viele Konstruktisten akzeptieren auch das Unendlichkeitsaxiom, siehe zB die intuitionistische Mengenlehre IZF.

Einem Finitisten, der das Unendlichkeitsaxiom ablehnt, werden sowohl die Dedekind- als auch die Cauchy-Konstruktion reeller Zahlen verweigert. Das Problem? Die Realzahlen sind nicht zählbar (Cantor hat dies gezeigt), und im Universum eines Finitisten ist das Universum selbst zählbar.

v 0 = ∅

v N + 1 = P ( v N ) Wo P bezeichnet den Leistungssatz.

Das Universum ist, wenn wir die Negation des Unendlichkeitsaxioms akzeptieren v ω = ⋃ X ∈ ω v X , eine zählbare Vereinigung von höchstens zählbaren Mengen.

Beachten Sie, dass das Problem mit der Konstruktion des Cauchy- und Dedekind-Schnitts in der finitistischen Mathematik weit vor Cantors Unzählbarkeitsargument liegt. Finisten haben ω , als Abkürzung, aber ω ist kein reales Objekt. In der Cauchy-Konstruktion sind Ihre Objekte jedoch eine äquivalente Sequenzklasse. Sequenzen sind Funktion an ω . Also brauchst du ω to existiert für diese Konstruktion. In ähnlicher Weise sind Dedekind-Cut-Konstruktionen Paare unendlicher Mengen rationaler Zahlen, die wiederum in der endlichen Mathematik nicht existieren.
Ich bin mir nicht sicher, ob ein Finitist überhaupt an das Argument der Cantor-Diagonalisierung glauben würde, da Sie die Existenz einer Bijektion annehmen müssen ω → R und sie glauben nicht, dass beides als formales Objekt existiert.
@William: Es wird nicht die Existenz einer solchen Bijektion vorausgesetzt; Es ist eine Maschine, die, wenn sie eine Funktion erhält ω Zu R konstruiert eine reelle Zahl, die nicht im Bereich der Funktion liegt. (Das mag für einen Finitisten natürlich genauso anstößig sein.)
@BrianM.Scott Was ist eine Maschine? Finistic glaubt sicherlich an Turing-Maschinen. Wie werden Sie jedoch eine reelle Zahl darstellen? Finistische glauben an alles, was als natürliche Zahl codiert werden kann. Wenn Sie jedoch eine reelle Zahl als Dezimalentwicklung, Binärentwicklung, Äquivalenzklasse der Cauchy-Folge, Dedekind-Schnitt codieren, benötigen Sie formal mindestens die Existenz von ω . Funktionen an ω sind auch unendliche Objekte.
@BrianM.Scott Es gibt auch eine subtile Unterscheidung. Finistische glauben an den formalen Beweis des Cantor-Arguments der Unzählbarkeit von R (oder irgendein anderer Satz von ZFC) in der formalen Sprache von ZFC. Dies liegt daran, dass Beweise im Wesentlichen endliche Objekte sind. Der Finitist wird also zustimmen, dass der Cantor-Beweis als rein logische endliche Manipulation von Symbolen korrekt ist. Aber sie werden wahrscheinlich nicht glauben, dass Ihre Manipulation oder Ihr Axiom etwas Reales und Interessantes beschreiben.
@William: Ich denke, dass Sie meinen Punkt verfehlt haben. Ich streite nicht über die Überzeugungen der Finitisten; Es ist mir ehrlich gesagt egal, da ich kein Interesse daran habe, Mathematik mit einer auf dem Rücken gefesselten Hand zu machen. Ich weise nur darauf hin, dass das diagonale Argument nicht die Annahme erfordert, dass es eine Bijektion dazwischen gibt ω Und R . Was die Maschine betrifft, so ist sie so schön wie die Klasse der Funktionen, die Sie zulassen.
@BrianM.Scott Wie beweisen Sie die Unzählbarkeit von \R ? Normalerweise werden wir der Einfachheit halber eine binäre Folge beweisen ω → { 0 , 1 } sind unzählbar? Bevor Sie überhaupt fortfahren, würde ein Finitist glauben, dass eine solche Funktion existiert, aber kehren wir zum Cantor-Argument zurück, wenn Sie möchten, können Sie dies als den Cantor-Set-Insider betrachten R . Normalerweise nimmt man an, dass es eine Bijektion gibt F aus ω in die Menge aller binären Folgen. Dann gehst du diagonal entlang und erzeugst eine binäre Folge, die ungleich ist F ( N ) für alle N . Widerspruch.
@BrianM.Scott (Entschuldigung zu lang; Fortsetzung) Dies ist normalerweise der Geist des Diagonalisierungsarguments. Beachten Sie, dass die Annahme, dass die Menge der Binärfolge zählbar ist, wesentlich ist. Wie läuft Ihre Argumentation ab?
@BrianM.Scott Sei netter zu finitistisch! Soweit wir wissen, könnte das Axiom der Unendlichkeit zu Inkonsistenzen der Mengenlehre führen.
@William: Es besteht absolut keine Notwendigkeit, eine Bijektion anzunehmen. Das Diagonalargument zeigt direkt, ohne jeden Widerspruch, dass keine Funktion aus ω Zu R ist surjektiv.
Man kann mit rekursiven Zahlen arbeiten, die abzählbar sind. ps: man muss kein Finitist sein, um die klassischen Realzahlen à la Dedekind/Cauchy abzulehnen.

Es ist möglich und interessant, als unser Axiomensystem das übliche ZF zu haben, aber mit dem Axiom der Unendlichkeit, das durch seine Negation ersetzt wird . Die resultierende Theorie, die man die Theorie der (erblich) endlichen Mengen nennen könnte, erweist sich als bi-interpretierbar mit Peano-Arithmetik erster Ordnung.

Als Formalist stimme ich dem Kommentar von Neal zu, der besagt, dass "Axiome per Definition festgelegt sind". Die eigentliche Frage ist, ob die so axiomatisierte Struktur interessant oder ein Studium wert ist.

Da viele Mathematiker Argumente vorbringen, die eine Menge natürlicher Zahlen beinhalten, folgt daraus, dass ein gutes Mengenuniversum eine Menge natürlicher Zahlen enthalten sollte. Ob seine Existenz ein Axiom oder ein Theorem ist, ist nicht wirklich wichtig; das ist nur eine Frage der Darstellung. Die Ausstellung ist natürlich wichtig, aber ich wollte betonen, dass das alles ist, was es ist.

Nun beobachte ich auch gerne die enge Analogie zwischen Logik und Mengenlehre. IMO, das ist wirklich der Hauptgrund, warum die Mengenlehre die Bedeutung erlangt hat, die sie hat: Es ist wirklich nur eine Systematisierung der Dinge, die wir gerne mit Logik machen.

Wenn ich mich zum Beispiel dafür entscheide, Finitist zu sein und über die endliche Mengentheorie nachdenke, kann ich immer noch sinnvoll das Wort "natürliche Zahl" sagen und Prädikate wie " X ist eine natürliche Zahl". Dies lässt mich Dinge über die Klasse der natürlichen Zahlen sagen, betrachten Sie Klassenfunktionen auf den natürlichen Zahlen wie F ( X ) = X + 1 , betrachten Sie Prädikate für die Klasse der natürlichen Zahlen wie "E(x) := X gerade ist", quantifizieren Prädikate über die natürlichen Zahlen wie z ∀ X ∈ N : E ( X ) ↔ ¬ E ( X + 1 ) , und so weiter.

Und weil ich Prädikate wie E(x) berücksichtigen kann, kann ich auch über die Klasse der geraden natürlichen Zahlen sprechen.

Wenn ich eine Variable betrachten kann, die eine natürliche Zahl bezeichnet, kann ich zwei Variablen betrachten, die natürliche Zahlen bezeichnen: Ich kann über die Klasse sprechen N × N .

Wenn man sich auf solche Dinge konzentriert, kann man davon sprechen, alle diese Aussagen mechanisch in äquivalente Aussagen in einer nicht typisierten Sprache der endlichen Mengenlehre zu übersetzen, und im Hinterkopf behalten, dass man tatsächlich mit diesen nicht typisierten arbeitet Aussagen und nicht die suggestiveren, die die Notation anzeigt.

Obwohl eine solche Übersetzung möglich ist und es gut zu wissen ist, denke ich, dass diese Denkweise ungerechtfertigt ist – die Tatsache, dass eine Übersetzung möglich ist, bedeutet, dass Sie keine Bedenken haben sollten, eher in Begriffen der neuen und suggestiven Ideen zu denken sich selbst mit einem restriktiven Denkprozess behindern.

Also wirklich, wenn ich Finitist spiele, habe ich immer noch Zugang zu einer begrenzten Menge an Mengenlehre, die eine Menge natürlicher Zahlen enthält. Die NBG-Mengentheorie kodifiziert dies in "Mengen" und "Klassen". NBG mit Anti-Unendlichkeit hat zwei Arten von Objekten: Mengen und Klassen. Die natürlichen Zahlen wären eine (eigentliche) Klasse. Ich gehe davon aus, dass NBG in Gegenwart von Anti-Unendlich immer noch "äquivalent" zu ZFC ist.

Wenn ich mir darüber hinaus erlaube, Logik zweiter Ordnung zu berücksichtigen, kann ich mehr tun. Meine Objekte enthalten jetzt Prädikate erster Ordnung. Ich kann das Prädikat zweiter Ordnung betrachten " φ ( P ) := ∀ X : P ( X ) ⟹ X ∈ N ". Mit anderen Worten, ich kann jetzt über Teilmengen der natürlichen Zahlen sprechen.

Wenn ich hier nicht aufhöre und bis zur Logik höherer Ordnung vorgehe, dann kann ich das für jeden Typ tun. In der Analogie der logischen Mengentheorie betrachte ich jetzt Potenzmengen. Ich behaupte, dass dies bedeutet, dass alle Typen, über die ich sprechen kann, in einem booleschen Topos mit Objekten natürlicher Zahlen organisiert sind – mit anderen Worten, dass die Logik höherer Ordnung der endlichen Mengentheorie eine Instanz der Logik erster Ordnung der Begrenzung ist Zermelo-Mengentheorie (mit Unendlichkeit). Begrenzt bedeutet, dass ich niemals nur sagen darf ∀ X : ⋯ stattdessen, X muss an einen Satz/Typ gebunden sein, wie in ∀ X ∈ T : ⋯ .

Aufgrund all dieser Dinge bin ich absolut nicht überzeugt, wenn ein Finitist die Vorstellung einer Menge natürlicher Zahlen ablehnt. Ich könnte verstehen, dass Sie einschränkend sind, was Sie mit diesem Satz tun können, aber es direkt abzulehnen, ist meiner Meinung nach eine dumme Vorstellung, die ich eher einer gegensätzlichen Einstellung als einem substantiellen Inhalt zuschreibe.

Ich habe hier viele Fragen zu Skolems Paradoxon gestellt. Ihr Beitrag interessiert mich aus folgendem Grund. Sie haben die Nützlichkeit von Logiken höherer Ordnung erwähnt. Nun, ich habe gehört, (1) dass die Zählbarkeit in der Logik erster Ordnung relativ ist, während dies in der Logik zweiter Ordnung nicht der Fall ist, und (2) dass Menschen (Mathematiker / Philosophen) die Relativität der Zählbarkeit nicht aufgrund dieser zweiten Ordnung ablehnen Logik ist "besser", aber aus anderen Gründen. Wissen Sie, was diese "anderen" (wahrscheinlich eher philosophischen) Gründe sind? Haben Sie selbst eine Aussicht? Danke für den tollen Beitrag.
Nur als Nebenbemerkung, ohne genügend Annahmen über natürliche Zahlen kann man Symbole nicht manipulieren, also nehmen Formalisten bereits Syntaxmanipulationen an, die der Manipulation natürlicher Zahlen ähnlich sind. Auch die Verwendung unbegrenzter Quantoren wird normalerweise nicht als Finitismus angesehen.
@pichael: Ich habe selbst kein Problem mit der Relativität der Zählbarkeit. Ich bewahre keinen externen, absoluten Begriff der Zählbarkeit, sondern akzeptiere stattdessen, dass jede geeignete Art von Struktur – zB ein Universum von Mengen – ihre eigene Bedeutung definieren kann und verschiedene unterschiedliche Strukturen in Situationen, in denen sie können, einfach übereinstimmen oder nicht beide sprechen über ein Objekt. Es gibt auch einen anderen Standpunkt (ich bin mir nicht sicher, was ich darüber denke), dass es bei Kardinalität mehr um Komplexität als um Zählen geht. Dem zählbaren Modell in Skolems Paradoxon fehlt es also wirklich an der Komplexität , um eine Bijektion zu konstruieren.
@Kaveh: Für die Aufzeichnung denke ich während der gesamten Konstruktion an Dinge wie "kartesische Kategorie" oder "Topos" im Hinterkopf, und die interne Logik solcher Dinge ist in der Tat begrenzt. Gehe ich richtig in der Annahme, dass ein Finitist über die natürlichen Zahlen quantifizieren darf?
@Hurkyl, das Problem ist, dass der Finitismus nicht nur eine bestimmte Philosophie ist. Woran ich mich erinnere, ist, dass die unbegrenzte Quantifizierung nicht als finitistisch betrachtet wird, weil sie eine nicht endliche Aussage ausdrückt, es gibt keinen großen Unterschied zwischen der Menge natürlicher Zahlen, die die Formel erfüllen, und der Formel selbst, man muss die Erweiterung a nicht berücksichtigen einfach anzunehmen, dass die Formel einen Wahrheitswert für jede bestimmte Zuordnung (von natürlichen Zahlen zu ihren freien Variablen) hat, würde über das hinausgehen, was ein Finitist zu akzeptieren bereit ist. Nehmen Sie zum Beispiel Hilberts Arbeit in Logik und Beweistheorie
, ist die Verwendung der Epsilon-Notation anstelle von existentiellen Quantoren in seiner Arbeit und der seiner Schüler nicht nur eine Frage des Geschmacks. Einige Experten betrachten quantifiziererfreie PRA als Obergrenze für Finitismus (z. B. Bill Tait?). IIRC, für einen Finitisten kommt eine quantifizierte Formel immer mit einer Grenze. (Leider fällt mir gerade keine Referenz ein, vielleicht habe ich diese in Kleenes "Metamathematik" gelesen). Was Sie beschreiben, scheint eher im Einklang mit konstruktiven Schulen wie dem Intuitionismus zu stehen. Finitisten akzeptieren viel weniger als Intuitionisten akzeptieren.

Freges Mengenlehre führt zu Widersprüchen und wir zielen darauf ab, uns davon zu entfernen, indem wir die Zermelo-Mengenlehre oder die NBG-Mengenlehre verwenden, aber um zu diesen weiter entwickelten (oder eingeschränkteren) Typen zu gelangen, müssen wir das Universum sehr gut in unseren Klassen definieren und Sätze verhalten.

Erinnern Sie sich, dass eine Klasse ein Grunduniversum ist, wenn sie 6 spezifischen Axiomen folgt, damit die Klasse transitiv, angeschwollen ist, die leere Menge und die Potenzmenge von jedem x in der Klasse enthält, jede Vereinigung von jedem x in der Klasse enthält und {x,y} für jedes x und y in der Klasse einzuschließen.

Wir können mit der Definition des Universums, die ich gerade gegeben habe, nicht zur Zermelo-Mengentheorie oder NBG übergehen; Wir fügen ein neues Axiom hinzu, wir akzeptieren, dass die Menge der natürlichen Zahlen in unser Universum aufgenommen werden kann, das jetzt nicht mehr grundlegend und daher ein Zermelo-Universum ist.

Ich würde argumentieren, dass das Unendlichkeitsaxiom die Existenz unendlicher Mengen garantiert, aber Argumente wie ein großer Arbeitsaufwand für die natürlichen und reellen Zahlen sind schlecht für die Unterstützung und angebliche Wahrheit des Unendlichkeitsaxioms, sagen wir heraus, dass dieses Axiom einigen Frameworks Probleme bereitet; Unsere Argumente für die große Betonung der reellen und natürlichen Zahlen kommen uns an dieser Stelle nicht zugute, sondern wir verwenden das Axiom, um die Mengenlehre weiter zu konstruieren.

Warum das Axiom der Unendlichkeit akzeptieren?
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