Beweise ∀w(∀v((v=w∧φ(v))⇔φ(w)))

In dieser mathematischen Frage von mir wies mich eine Antwort auf diesen Satz hin:

∀w(∀v((v=w∧φ(v))⇔φ(w)))

was wiederum, so der Antwortende, ein weiteres Theorem impliziert:

∃v(v=t∧φ(v))⇔φ(t)

das war die Tatsache, die ich für meinen Beweis brauchte.

Aber wie würde man diesen ersten Satz beweisen? Das Buch Axiomatic Set Theory von Patrick Suppes, das für mich eine großartige Quelle war, beweist y∈{x:ψ(x)}⇔ψ(y)auf Seite 34 ein ähnliches Ergebnis; Aber soweit ich weiß, wird das bestimmte Ergebnis, nach dem ich suche, in diesem Buch nicht beantwortet. Kann mir jemand ein gutes Buch nennen, wo das bewiesen ist? Vielen Dank!

Mir ist gerade aufgefallen, dass ich deine Frage vielleicht falsch verstanden habe. Willst du wissen, wie man ∀w(∀v((v=w∧φ(v))⇔φ(w))) beweist?
@Dennis Ja, ich entschuldige mich, meine Frage war nicht klar. Ich meine, nach dem Ergebnis zu fragen ∀w(∀v((v=w∧φ(v))⇔φ(w)))- wo finde ich das bewiesen?.
Ich glaube, ich habe das Problem herausgefunden, aber bevor ich die Antwort bearbeite, meinten Sie, dass der letzte Operator in ∀w(∀v((v=w∧φ(v))⇔φ(w))) eine Bibedingung sein soll ? In der von Ihnen zitierten Frage enthält die Antwort Folgendes: ∀w∀v((v=w∧φ(v))⟹φ(w)), aber nicht Ihre Formel mit einer Bibedingung. (Übrigens ist die bedingte Version gültig; sobald Sie die bedingte in eine bibedingte ändern, wird sie jedoch ungültig.
Ja, die Antwort lautet ∀w(∀v((v=w∧φ(v))⇒φ(w))), aber ich denke, ∀w(∀v((v=w∧φ(v))⇔φ(w)))(stärker) sollte auch wahr sein, oder?
Ich habe versucht, meine Gedanken zu klären, aber ich tue es wieder um 3 Uhr morgens ... Also, wenn etwas keinen Sinn ergibt, dann schieben Sie es zurück, weil ich möglicherweise etwas durcheinander gebracht habe.
Ich denke Dennis hat recht. Die Vorwärtsbedingung ist richtig: Wenn wir die Formel tatsächlich als ein Schema betrachten, das für jedes φ gilt, dann ist es tatsächlich eine Aussage über die Ununterscheidbarkeit von Identischen. Aber die Umkehrung gilt nicht. Wenn Sie versuchen möchten, die Identität von Ununterscheidbaren anzugeben, müssten Sie die Formel neu formulieren.

Antworten (1)

Nun, es ist spät in der Nacht, also bin ich mir sicher, dass ich vergangene Fehler wiederholen und hier etwas vermasseln werde. Aber lass es uns versuchen.

Sie beginnen mit dem ursprünglichen Satz:

∀w(∀v((v=w∧φ(v))⇔φ(w)))

Von dort müssen wir nur noch den äußersten Quantor entladen und zum Term "t" instanziieren (vorausgesetzt, wir haben einen solchen Term herumliegen):

∀v((v=t∧φ(v))⇔φ(t)))

Dann instanziieren wir noch einmal:

(r=t∧φ(r))⇔φ(t)

Schließlich verallgemeinern wir existentiell:

∃v(v=t∧φ(v))⇔φ(t)

Für eine schlaflose Version von mir scheint das das zu sein, wonach Sie suchen. Wenn ich etwas vermasselt habe, lass es mich wissen und ich werde die Frage mit einem klareren Kopf überdenken.

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Ok, also habe ich Beweise für jedes der Prinzipien (die bedingte und die bikonditionale Version) als Baumbeweise im Stil von Graham Priests Introduction to Non-Classical Logic gesetzt . Lassen Sie mich wissen, wenn Sie Probleme haben, sie zu verstehen.

Zuerst der Konditional, den ich per reductio ad absurdum beweise, indem ich seine Negation annehme:Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Da der Beweis in einem Widerspruch endet ( a ist sowohl φ als auch nicht-φ), führt die negierte Bedingung zum Widerspruch und somit gilt unsere ursprüngliche Bedingung.

Ok, die Bedingung ist also gültig, was ist mit der Bibedingung? Nochmals, ich glaube nicht, dass es gültig ist. Betrachten Sie den folgenden Beweisversuch:Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Nun führt der linke Zweig zu einem Widerspruch und schließt sich damit. Der rechte Zweig hingegen ist widerspruchsfrei und somit ist die Verneinung der Biconditional nicht ungültig. Aber wenn die Negation der biconditional nicht ungültig ist, dann ist die biconditional nicht gültig.

Das Problem ist die Rechts-nach-Links-Seite der Bibedingung, denn wenn wir davon ausgehen, dass b gleich φ ist, garantiert das nicht, dass b das einzige Objekt im Definitionsbereich ist. Wenn es ein anderes Objekt a gibt, das nicht identisch mit be ist, dann ist die Konsequenz der rechts-nach-links-Seite falsch , obwohl b φ ist, da a nicht identisch mit b ist .

Beweise ∀w(∀v((v=w∧φ(v))⇔φ(w)))
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