In diesem Video stellt der Mathematiker Gregory Chaitin fest, dass "der Begriff der Menge aller Mengen in sich widersprüchlich ist". Was bedeutet „in sich widersprüchlich“? Ist es anders als "widersprüchlich"? Es gibt Mengentheorien, in denen es eine Menge gibt, die jede Menge als Element enthält.
Selbst widersprüchlich ist etwas, das sich selbst widerspricht. Eine Menge aller Mengen ist selbst widersprüchlich, weil eine Menge normalerweise nicht ihr eigenes Selbst enthalten kann, also kann sie nicht "alle Mengen" enthalten. Es ist ein Selbstreferenzparadoxon.
https://en.wikipedia.org/wiki/Self-reference
https://en.wikipedia.org/wiki/Category:Self-referential_paradoxes
https://en.wikipedia.org/wiki/Russell%27s_paradox
https://en.wikipedia.org/wiki/Zermelo%E2%80%93Fraenkel_set_theory
BEARBEITEN: Um das Selbstreferenzelement zu finden, überprüfen Sie dieses Beispiel:
Angenommen, jede öffentliche Bibliothek muss einen Katalog all ihrer Bücher erstellen. Da der Katalog selbst eines der Bücher der Bibliothek ist, sollte ein Bibliothekar ihn der Vollständigkeit halber in den Katalog aufnehmen. Aber was würde passieren, wenn es eine Einschränkung gäbe, dass ein Buch, wenn es sich um einen Katalog handelt, ein Inhaltsverzeichnis enthalten sollte? Dies führt zu einer unendlichen Wiederholung des Katalognamens mit seinem Inhalt.
Book list
--------
a,
b,
c,
book list (a, b, c, book list( a,b,c, book list( -> inf ) ) )
Es ist also nicht die reine Selbstreferenz, die das Paradoxon ausmacht (es legt nur die Grundlage für das Auftreten des Paradoxons), sondern die selbstverneinende Möglichkeit einer selbstreferenziellen Aussage. Ich kann sagen „Ich lebe“, aber ich kann nicht sagen „Ich lebe nicht“.
Eine Schlange hat kein Problem damit, Schlangen oder Schwänze zu fressen, aber wenn sie ihren eigenen Schwanz frisst, verzehrt sie sich selbst. Dies führt zum Russel-Paradoxon, bei dem eine universelle Menge sich selbst enthalten kann, aber zu einer anderen Menge von Mengen führen würde, die "sich selbst nicht enthalten", was für eine universelle Menge paradox ist.
Alle logischen Widersprüche basieren auf Selbstwidersprüchen.
Ein Selbstwiderspruch tritt auf, wenn es eine Aussage p gibt, bei der sowohl p als auch nicht p gelten.
p und nicht p
Eine Aussage oder eine Menge von Aussagen heißt selbstwidersprüchlich, wenn (*) sie einen Selbstwiderspruch enthält.
s => p und nicht p
Ein Prädikat Q oder eine Beschreibung "das Q" wird selbst widersprüchlich genannt, wenn jeder Versuch, sie zu verwenden, einen Selbstwiderspruch zur Folge hat. In diesem Sinne hat sich „die Menge aller Mengen“ als widersprüchlich erwiesen.
Qa => p und nicht p
Das Q existiert => p und nicht p
Schließlich, für eine Verwendung von „widersprüchlich“ ohne „selbst“: Wir sagen, dass Aussagen (oder Mengen von Aussagen) p1 und p2 einander widersprechen , wenn keine von beiden selbst widersprüchlich ist, aber ihre Konjunktion (p1 und p2) selbst widersprüchlich ist. Zum Beispiel widersprechen sich die Aussagen „Es gibt keine Einhörner“ und „Ich habe im Park ein Einhorn gesehen“.
p1 =/> p und nicht p
p2 =/> p und nicht p
p1 und p2 => p und nicht p
(*) iff = wenn und nur wenn
Konifold
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