Hier sagte Terence Tao:
Bezüglich der mengentheoretischen Grundlagen der Mathematik, die ich hier eher als Teil der Metatheorie der Analysis denn als Teil der Theorie betrachte, habe ich mich bewusst dafür entschieden, nicht übermäßig formal zu sein.
Im Grunde sagt er also, dass die Mengenlehre die Metatheorie der Analyse ist. Aber in welchem Sinne ist das richtig? Wikipedia prüfen : "Eine Metatheorie oder Metatheorie ist eine Theorie, deren Gegenstand eine Theorie ist". Kann man in der Mengenlehre die Analysetheorie von einem metamathematischen Standpunkt aus studieren?
"Mengentheorie" ist ein vager Begriff, der sich auf "naive" Mengentheorie beziehen kann, die grundlegende Eigenschaften von Punktmengen, Funktionen, Beziehungen usw. beinhaltet. Diese befinden sich auf derselben Objektebene wie die Analyse, obwohl sie allgemeiner anwendbar sind und sind wird auch in Geometrie, Arithmetik, Algebra usw. verwendet. Tao bezieht sich jedoch speziell auf "mengentheoretische Grundlagen". Dies sind axiomatische Theorien, die die Analyse "interpretieren", indem sie sie aus dem rekonstruieren, was in den Axiomen selbst bereitgestellt wird, und sonst nichts. Der bekannteste von ihnen, ZFC (für Zermelo-Fraenkel-Choice, letzteres bezieht sich auf das Axiom der Wahl), baut formal alles aus einem einzigen Prädikat (gehört zu) und einigen Objekten auf, die durch seine Existenzaxiome bereitgestellt werden (leere Menge, unendliche Menge, Potenzmenge einer Menge usw.). Einige der Konstrukte werden dann mit analytischen Objekten identifiziert.
Eine Metatheorie zu konstruieren bedeutet normalerweise, ein Feld zu axiomatisieren und darüber nachzudenken, was aus der resultierenden formalen Theorie abgeleitet werden kann und was nicht, zB ob sie konsistent, vollständig, ihre Axiome voneinander unabhängig sind usw. Ein Standardlösungsweg Diese Probleme bestehen darin, verschiedene mengentheoretische Modelle zu konstruieren, z. B. bewies Gödel die (relative) Konsistenz des Axioms der Wahl mit anderen Axiomen der ZFC, indem er ZF-Modelle konstruierte, wo es gilt, Hilbert bewies in ähnlicher Weise die Unabhängigkeit des parallelen Postulats von anderen Axiomen der Euklidischen Geometrie . Es gibt eine ähnliche Art und Weise, die reelle Analyse zu axiomatisieren, und das Studium solcher Axiomatisierung(en) wird durch die formale Einbettung in die axiomatische Mengenlehre erreicht, siehe Ist der axiomatische Ansatz zur Definition von R rigoros?Aus diesem Grund betrachtet Tao „mengentheoretische Grundlagen“ als „Teil der Metatheorie der Analyse“.
Der Wikipedia-Artikel scheint etwas im Widerspruch dazu zu stehen, wie ich den zu verwendenden Begriff verstehe – die Metatheorie liefert die Elemente, anhand derer wir eine Theorie diskutieren werden.
Das heißt, die Mengenlehre sagt uns etwas über Mengen und Funktionen und wie man mit ihnen rechnet und argumentiert, dann verwendet die Analyse die Begriffe Menge und Funktion, um Kalküle und dergleichen zu entwickeln.
Ich nehme an, man könnte ein Feld der „Metaanalyse“ entwickeln, das das Studium der Analyse selbst ist, aber das ist nicht das, was hier mit dem Begriff „Metatheorie“ impliziert wird.
Tao erläutert in einem Kommentar :
Streng genommen sollte man, wenn man die Theorie der logischen Deduktion richtig diskutieren will, darauf achten, zwischen der zur Diskussion stehenden „internen“ formalen Theorie (z “) Metatheorie verwendet, um diese formale Theorie zu diskutieren. Mit solch einer sorgfältigen Perspektive sind deduktive Regeln wie „Angenommen, dass „Wenn X wahr ist, dann ist Y wahr“, kann man ableiten „Wenn Y falsch ist, dann ist X falsch““ eher Teil der externen Metatheorie als der Theorie selbst. Eigentlich gehört die Verwendung von Phrasen wie „ist wahr“ oder „ist falsch“ streng genommen bereits zur Metatheorie; würde man sich vollständig an die formale Syntax der Aussagenlogik halten, müsste man stattdessen Dinge sagen wie „Da „$X \impliziert Y$“, kann man „$\neg Y \impliziert \neg X$“ ableiten.“
(Ich habe versucht, LaTeX zu verwenden, bin mir aber nicht sicher, ob dies von Philosophy.se unterstützt wird – daher stammen die möglichen Dollarzeichen in der zitierten Passage von mir.)
Es scheint, dass Tao „Metatheorie“ so verwendet, wie man „Metasprache“ verwenden würde, um eine „Objektsprache“ zu diskutieren (oder analog die „Objekttheorie“ zu erläutern). Daher erscheint der Begriff synonym mit "Grundlagen der Mathematik".
Die Mengenlehre ist keineswegs die Grundlage der Mathematik oder Analysis, sondern steht in klarem Widerspruch dazu. Obwohl Mengentheoretiker sich dafür entscheiden, in dieser Angelegenheit einfach einen blinden Fleck zu haben, ist es jedem objektiven Beobachter klar. Das einfachste Beispiel, das sogar für Nicht-Mathematiker verständlich ist, ist dieses:
Wenn Scrooge McDuck täglich 10 aufgezählte Dollars erhält und täglich einen Dollar ausgibt, nämlich den mit der niedrigsten Zahl, dann wird er in der gesetzten theoretischen Grenze bankrott gehen. In der mathematischen Grenze wird er unendlich reich.
Wenn McDuck immer den Dollar mit der höchsten Zahl in seinem Besitz ausgibt, dann wird er selbst in der gesetzten theoretischen Grenze unendlich reich. Diese Indexabhängigkeit zeigt, dass auch die Mengenlehre keine wissenschaftliche Anwendung haben kann.
Mmmhmm