Was ist der Unterschied zwischen Logik und Mathematik?

Ob es eine Unterscheidung gibt und worin die Unterscheidung besteht, ist ein heiß diskutiertes Thema. Hier sind ein paar Dinge, von denen normalerweise behauptet wird, dass sie für die Logik wesentlich sind:

1. Universelle Anwendbarkeit: Die Gesetze der Logik gelten für alle Themen. Das würde bedeuten, dass zB verschiedenen Theorien der Arithmetik die gleiche Logik zugrunde liegt (meistens so etwas wie klassische Logik erster Ordnung).
2. Ontologische Neutralität: Der Gedanke hier ist, dass es keine eindeutig logischen Objekte gibt und nichts existieren muss, damit Logik wahr ist. Die Arithmetik setzt die Existenz der natürlichen Zahlen voraus. Die Mengenlehre geht von der Existenz von Mengen aus. Logik soll frei von ähnlichen existentiellen Annahmen sein.
3. Epistemische Priorität: Die grundlegenden Wahrheiten der Logik sind in gewissem Sinne immun gegen Zweifel und a priori sicherer als alle anderen Themen. Hier gibt es zwei Gedanken. Das erste ist, dass das Wissen von allem anderen, einschließlich Mathematik, Kenntnisse der Logik erfordert. Zweitens gibt es weniger oder keinen Raum für Zweifel, wenn es um Logik geht.

Nun, jede dieser Behauptungen ist umstritten. „Universelle Anwendbarkeit“ scheint schwer zu erreichen, es sei denn, Sie gehen von einer sehr schwachen Logik aus, schwächer als die Leute normalerweise annehmen. Die klassische Logik funktioniert nicht für Intuitionisten, und die intuitionistische Logik erfasst keine Unterscheidungen, die für parakonsistente Logiken von zentraler Bedeutung sind.

Die ontologische Neutralität ist ähnlich umstritten. Die Logik erster Ordnung ist plausibel neutral, aber ausdrucksschwach. Zum Beispiel kann es die Unterscheidung zwischen „endlich“ und „unendlich“ nicht erfassen und wird daher viele Theorien nicht definitiv charakterisieren können (dh Sie werden nicht standardmäßige Modelle haben).

Schließlich steht auch die epistemische Priorität zur Debatte. Je nachdem, was in „Logik“ aufgenommen wird, ist es plausibel, dass einfache arithmetische und geometrische Wahrheiten sicherer oder zumindest „offensichtlicher“ sind als ein Großteil der Logik.

Nun, für die frühen Logiker war die Logik ziemlich stark. Die Typentheorie von Russell und Whitehead war stark genug, um Arithmetik zu interpretieren – Gödels Beweis der Unvollständigkeit ist in diesem System formuliert – und zumindest eine schwache Mengentheorie. Das Problem für sie war, dass Gödels Ergebnisse zu zeigen schienen, dass Logik nicht die sichere Grundlage sein konnte, auf die sie gehofft hatten, zumindest nicht für irgendeine interessante Mathematik.

Die „Neo-Logiker“ behaupten bescheidener, dass die Logik (eine schwache Logik zweiter Ordnung) in Kombination mit einigen begrifflichen Wahrheiten über die Mathematik (wie „Hume's Prinzip“ für die natürlichen Zahlen) eine Grundlage für die Mathematik bildet. Hier werden die Einwände normalerweise entweder gegen die Vollständigkeit des Programms gerichtet sein – es kann nicht die gesamte Mathematik erfassen – oder gegen den logischen Status ihrer „Logik“ (dass es nur „Mengenlehre im Schafspelz“ ist).

Weiterlesen:

Ein gutes Übersichtsbuch zur Philosophie der Mathematik ist Stewart Shapiros Thinking About Mathematics . Kapitel 5 behandelt Logizismus und berührt all diese Themen, aber der gesamte Teil III (Kap. 5 -- 7) ist relevant. Eine frei verfügbare Diskussion über Logizismus findet sich bei der SEP. Der klassische Text für Neologizismus (auch „Neo-Fregeanismus“ genannt), der vor allem von Crispin Wright und Bob Hale verfochten wird, ist Wrights Frege’s Conception of Numbers as Objects . Wright und Hale haben eine Sammlung von Essays über Neologizismus mit dem Titel The Reason's Proper Study . Relevant sind auch der SEP-Eintrag zu "Logic and Ontology" und der Eintrag zu "Logical Constants" .

Weiterführende Diskussion zu jedem der Themen:

1. Universelle Anwendbarkeit: Dies geht auf Kant und insbesondere Frege zurück, die (1) und (2) trennten, indem sie „Begriffe“ als Teil der Ontologie der Logik zuließen. Zitat aus dem SEP-Eintrag zu "Logical Constants" :

… die Grundsätze, auf denen die Arithmetik beruht, können sich nicht bloß auf einen begrenzten Bereich beziehen, dessen Eigenheiten sie in der Weise ausdrücken, wie die Axiome der Geometrie die Eigenheiten des Räumlichen ausdrücken; vielmehr müssen sich diese Grundsätze auf alles Denkbare erstrecken. Und sicherlich sind wir berechtigt, solche äußerst allgemeinen Sätze der Logik zuzuschreiben. (1885, 95, in Frege 1984; zur weiteren Diskussion siehe MacFarlane 2002)

Der referenzierte MacFarlane-Artikel ist „Frege, Kant, and the Logic in Logicism“. Siehe auch "Frege's New Science" (2000) von Aldo Antonelli und Robert May.

2. Ontologische Neutralität: George Boolos hat eine gute Diskussion darüber in seinem „On Second-Order Logic“ (1975; nachgedruckt in seinem Logic, Logic, Logic , Zitate aus dem Nachdruck). Er verbindet es mit (1) unter dem Titel „Themenneutralität“:

[D]ie Idee ist, dass die Spezialwissenschaften wie Astronomie, Feldtheorie oder Mengentheorie ihre eigenen speziellen Themen haben, wie Himmelskörper, Felder oder Mengen, aber dass es in der Logik nicht um irgendetwas Besonderes geht , und daher liegt es ebensowenig im Bereich der Logik, Behauptungen aufzustellen, dass solche und solche Arten von Mengen existieren, als Behauptungen über die Existenz verschiedener Arten von Planeten aufzustellen. (S. 44)

3. Epistemische Priorität: Eine klassische (kritische) Diskussion dieses Themas ist Quines The Web of Belief . Darin diskutiert er die Idee, dass die Wahrheiten der Logik irgendwie "immuner gegen Revision" sind als andere Wahrheiten. Während er mit der Idee einverstanden ist, dass sie immun gegen Revision sind – „zentraler für unser Glaubensnetz“ – weist er die klassische Ansicht zurück, dass sie völlig immun gegen Revision sind. Kapitel 4 über „Selbstnachweise“ ist hier am relevantesten.

Ich finde, dass modernen Studenten dasselbe gesagt wird, was Sie gehört haben. Das war nicht der Fall, als ich Logik lernte. Vor 1845 gab es keine mathematische Logik. Beachten Sie, dass ich nicht gesagt habe, dass Mathematik nicht existiert. Die aristotelische Logik geht der mathematischen Logik voraus und hatte keine Symbolisierung.

Die aristotelische Logik war semantisch. Ich könnte sprachlicher sagen. Diese Logik basierte auf Sprache und Kontext und nicht auf Symbolisierung. Die Kunst der Rhetorik und der Psychologie sind eng miteinander verwandt, wenn es darum geht, wie Menschen andere Menschen überzeugen und täuschen. Logik, die Aristoteles ausdrückte, war eine Möglichkeit, irreführende Argumente zu bewerten, für die die mathematische Logik nicht gedacht war. Die Art und Weise, wie Menschen Wörter verwenden, kann schwache Köpfe schnell täuschen. Sie sprechen schnell, sie verwenden mehrere Definitionen desselben Begriffs in derselben Argumentation, sie verwenden vage Begriffe und so weiter. Eine logische Form würde es einem Zuhörer oder Beobachter ermöglichen, irreführende Praktiken schnell zu erkennen. Die mathematische Logik kümmert sich nur um die Gültigkeit, während die aristotelische Logik andere Regelsätze hatte, die verloren gegangen sind oder umbenannt wurden.

Als ich Logik lernte, durfte ich keinerlei falsche Prämissen verwenden. Der Punkt, der in der Logik liegt, besteht darin, sich von der Wahrheit zu anderen Wahrheiten zu bewegen, die die Wahrheit über die Zuverlässigkeit der Menschen bewahren, die diese Methode der Logik anwenden. Heutzutage formulieren die Leute Aussagen auf jede Art und Weise, ob wahr oder offenkundig falsch. Die Mathematiker sagen, bei Logik geht es um Form. Dies war nicht immer der Fall. Wie ich schon sagte, erlaubte die Generation, unter der ich unterrichtet wurde, keine falschen Prämissen. Man könnte also denken, dass der Inhalt bis zu einem gewissen Grad wichtig ist, weil er es tat! Wie geht die mathematische Logik mit Wörtern im Kontext in einer realistischen Weise um, wie Menschen sprechen? Das ist es, was Rhetorik tut, nicht wahr? Denken Sie hier an Politik. Geschmeidige Redner, die an Emotionen appellieren können, um Wähler zu überzeugen, oder sich bei bereits ausgesprochenen und beantworteten Positionen umdrehen können.

Aristoteles hatte Rivalen namens Sophisten, die dasselbe taten wie oben und die er als Benutzer der Sophitry-Methode für schlechte Rhetorik hielt. So schrieb er eine Abhandlung über Rhetorik; und logische Abhandlungen wurden geschrieben, um zwischen den guten und den falschen Methoden zu unterscheiden. Die Art und Weise, wie Menschen in der Realität sprachen, was Argumente angeht, war das, was Syllogismen zu erfassen versuchten. Dies impliziert versteckte Prämissen und allgemein bekannte Behauptungen, die nicht mündlich formuliert werden. Wie kann mathematische Logik mit einem semantikbasierten System umgehen?

Die Kontexte der Prämissen spielten in der aristotelischen Logik eine Rolle und wurden nicht so sehr symbolisiert. Schon Aristoteles teilte die Logik in Hauptlogik und Nebenlogik ein. Im Mittelalter tauchte ein Begriff der Materiallogik auf, der die aristotelische Logik verbesserte. Kurz darauf folgten symbolische Darstellungen. In einer berühmten mathematischen Konferenz um das Jahr 1845 wurden die Grundlagen der mathematischen Logik gelegt.

Die materielle Logik wurde wahrscheinlich zum Gebiet der Erkenntnistheorie. Material Logic konzentrierte sich sowohl auf den Inhalt als auch auf die logische Form. Mathematiker kümmern sich nicht um die Wahrheit von Aussagen. Philosophen taten es. Wie ich schon sagte, waren keine falschen Prämissen erlaubt. Daher brauchten alle Argumente Aussagen, die wahre Prämissen waren, und das bedeutete notwendigerweise, dass es vernünftige Argumente gab. Alle stichhaltigen Argumente müssen gültig sein. Das ist aus der Philosophie.

Jetzt kümmert sich die Mathematik nicht darum, wie Sätze gebildet werden, noch um den Wahrheitswert der Sätze in einem Argument. Im mathematischen Sinne kommt es nur auf die Form entweder gültig oder ungültig an. Die Erkenntnistheorie betrachtet heute nicht allein die Logik, was Wahrheitswerte sind und welche Aussagen wahr sind. Logik, als ich sie lernte, beinhaltete festen Inhalt und Kontext von Argumenten. Dies ist heute nicht wahr.

Whitehead und Russell haben bewiesen, dass Logik und Mathematik ein und dasselbe sind, indem sie Mathematik aus logischen Sätzen abgeleitet haben.

Logische Sätze sind Sätze der Form „p impliziert q“. Einige Sätze sind wohlbekannte logische Sätze, wie etwa „p oder p impliziert p“; einige andere sind zweifelhaft, ob sie logische Sätze sind oder nicht. Die primitiven Sätze von W&R sind alles wohlbekannte logische Sätze, vielleicht mit Ausnahme des Axioms der Reduzierbarkeit.

Siehe Mathematik und Logik

Übrigens, wenn Sie den Logikismus lange genug studieren, werden Sie es schwer haben, sich mit ungenau sprechenden Leuten abzufinden. Es ist ein grobes Missverständnis, von Rückwärtserweiterung als Reduktion zu sprechen . In W&Rs Worten:

Daher erweitert sich der Umfang der Mathematik sowohl durch die Hinzufügung neuer Fächer als auch durch eine rückwärtige Ausdehnung in bisher der Philosophie überlassene Gebiete.

Weißkopf & Russel. "Vorwort." Principia Mathematica. Band 1. Handelsbücher, 1910. v