Kann jede korrekte logische Argumentation in Sätzen natürlicher Sprache in einen formalen mathematischen Beweis übersetzt werden?

Da natürliche Sprachen (z. B. Englisch) aufgrund ihrer sich ständig weiterentwickelnden Natur und des Mangels an strenger Formalisierung zu Mehrdeutigkeiten und Missverständnissen neigen, und angesichts eines willkürlichen Philosophen X, der die Gültigkeit seines Arguments zeigen möchte, wäre es für diesen Philosophen möglich zu übersetzen sein Argument in einen formalen, eindeutigen mathematischen Beweis umzuwandeln, der in irgendeiner formalen mathematischen Sprache geschrieben ist, um allen anderen überzeugend und unbestreitbar die Richtigkeit seines Arguments zu zeigen?

Es sieht so aus, als würden Sie einige großartige Fragen zu Sprache und Beweisen stellen. Seien Sie einfach darauf gefasst, dass sogar formale logische Sprachen einige Macken haben, wenn Sie sich mit ihnen beschäftigen. Es gibt einige wirklich interessante kleine ausgefranste Kanten, die auftauchen, wenn man wirklich ihre Füße ins Feuer legt und versucht herauszufinden, was sie wirklich sind.
Wenn Sie „formalen mathematischen Beweis“ sagen, schreiben Mathematiker Beweise normalerweise nicht in einem rein formalen Stil. Vielmehr verwenden sie eine Kombination aus Formalismus und natürlicher Sprache. Meinen Sie "formalen logischen Beweis" wie in der philosophischen Logik (und bestimmten Bereichen der mathematischen Logik), wo Beweise rein formal sind?

Antworten (5)

Was Sie beschreiben, ist die allgemeine Struktur einer mathematischen Arbeit. Worte über die mathematische Entdeckung werden mit präzisen mathematischen Notationen gepaart, um die Richtigkeit zu demonstrieren. Eine allgemeine Version davon ist jedoch schwierig. Wenn ein Philosoph sagt "Hier ist das natürliche Argument A und hier das formale Argument B. Als Autor von beiden sage ich, dass sie gleich sein sollen", das ist eine Sache. Wenn wir jedoch versuchen zu sagen: „Hier ist ein Prozess, mit dem Sie die Kurbel an A drehen können, um B zu produzieren“, müssen wir uns fragen, ob der Prozess richtig funktioniert.

Tatsächlich zeigten Beweise von Leuten wie Tarski ganz bestimmte Grenzen für Prozesse, wie Sie sie beschreiben. Es ist sehr schwer für eine Sprache, ihre eigene Semantik zu beweisen , und die meisten Sprachen, an denen wir interessiert sind, wenn wir über Beweise sprechen, sind dazu einfach nicht in der Lage.

Natürlich gibt es dafür eine Möglichkeit. Was definiert ein „korrektes logisches Denken in natürlicher Sprache“? Wenn die Definition "es existiert ein entsprechender formaler logischer Beweis" lautet, lautet die Antwort auf Ihre Frage ja!

Vielleicht interessieren Sie sich für Attempo Controlled English (ACE). ACE macht das Doppelte von dem, was Sie suchen. Es ist eine Möglichkeit, präzise formale Logik in einem Format zu schreiben, das englische Muttersprachler lesen können, als wäre es natürliches Englisch. Wenn Sie es natürlich lesen, bekommen Sie die richtige Intuition. Wenn Sie es formell lesen, erhalten Sie die richtige formale Bedeutung.

Wäre es möglich, "freien Willen" mit ACE zu definieren? Wenn zum Beispiel ein Philosoph seine Abhandlung über den freien Willen in ACE übersetzen möchte, wäre er dazu in der Lage?
@xwb Die Antwort darauf hängt ganz von der Definition des freien Willens durch den Philosophen ab und davon, ob er zulässt, in die formale Logik aufgenommen zu werden oder nicht. Genauer gesagt wird ACE leicht Sätze wie „Jeder Mensch hat einen freien Willen“ zulassen, aber ob es beschreiben kann, was der Philosoph darüber sagen möchte, hängt stark davon ab, was der Philosoph sagen möchte.
Aber wenn das, was jemand sagt, nicht in formale Logik übersetzt werden kann, würde das nicht bedeuten, dass diese Person nur mit Worten spielt und eigentlich überhaupt nichts Logisches gesagt hat?
@xwb Wie würdest du das argumentieren? Hängt das Argument davon ab, Logik als etwas zu definieren, das in formale Logik übersetzbar ist, oder kann das Argument ohne eine solche Regel vorgebracht werden?
(Außerdem, um etwas Zeit zu sparen: Betrachten Sie Arithmetik als Teil eines logischen Arguments, oder ist Arithmetik etwas, das getrennt ist und nicht in einem rein logischen Beweis verwendet werden kann?)
Wenn jemand logisch zu einer Schlussfolgerung gelangt, bedeutet dies, dass er/sie von einer Reihe von Prämissen ausgegangen ist und durch die Anwendung von Inferenzregeln schließlich zu seiner/ihrer Schlussfolgerung gelangt ist und dabei möglicherweise viele Zwischenschlüsse gezogen hat. Dann sollte es doch theoretisch möglich sein, das einem formalen Beweis zuzuordnen, oder? Wenn diese Zuordnung nicht möglich ist, hat diese Person daher wahrscheinlich Unsinn geredet, egal wie beredt ihre Worte klingen mögen.
@xwb wie können Sie sicher sein, dass Ihre Rückschlussregeln korrekt sind?
Was meinen Sie mit "meinen" Inferenzregeln? Meinen Sie Regeln, die von meinem Denkprozess verwendet werden, wie die 3 klassischen Denkgesetze oder Modus Ponens ?
@xwb Mit "Ihren Regeln" meine ich die Regeln, die Sie während der Inferenz verwenden, um zu einer Schlussfolgerung zu gelangen, was auch immer sie sein mögen. Sie verlinken auf gute Beispiele dafür. Natürlich kann ich nicht sagen, ob die verknüpften Regeln Rückschlussregeln sind, die für die Zwecke der von Ihnen gestellten Frage verwendet werden sollten oder nicht. Diese Regeln sind schließlich in einer Sprache geschrieben. Ich fühle mich natürlich sehr wohl mit ihnen. Aber ich fühle mich auch wohl mit der Vorstellung, dass ein gültiges Argument nur in einer natürlichen Sprache gegeben werden könnte. Wenn Sie sich nur auf "Formalismen" beschränken möchten, finden Sie es möglicherweise schwieriger.
Es ist nicht wirklich so, dass ich versuche, mich nur auf "Formalismen" zu beschränken, sondern dass natürliche Sprache manchmal unglaublich verwirrend und ungenau werden kann. Bei Themen wie der Willensfreiheit zum Beispiel kann ich nicht umhin, nach einer formalen Definition zu schreien.
Ich habe heute tatsächlich mit so etwas gespielt (Serendipity). Es gibt einige Dinge im Leben, bei denen wir lernen, sie zu identifizieren und zu manipulieren, und dann gehen wir daran, sie zu benutzen. Es gibt einige Dinge, mit denen wir anfangen, indem wir sie einfach tun, und wir finden heraus, was los ist, während wir weitermachen. Formalismen scheinen im ersten Fall ziemlich effektiv zu sein, neigen aber dazu, im zweiten Fall zu stören. Ich selbst finde, dass Konzepte wie freier Wille, Bewusstsein und Leben Dinge sind, die eher im zweiten Lager angesiedelt sind: Wir tun sie einfach und finden heraus, was es bedeutet, während wir gehen.
@xwb - in Two Dogmas of Empiricism zeigt Quine in einem der späteren Abschnitte, dass KEINE formale oder natürliche Sprache zu der Kommunikationspräzision fähig ist, die erforderlich ist, um die Analytik vollständig zu begründen und die von Ihnen identifizierte Mehrdeutigkeit zu beseitigen. Dies liegt daran, dass die Bedeutungen von Begriffen zwangsläufig auf alle möglichen anderen Begriffe verweisen müssen, sowie auf Sprachregeln, von denen man einfach annehmen muss, dass sie zwischen den Kommunikanten gültig geteilt werden. Jeder Versuch, die Gemeinsamkeit des Verständnisses zu verifizieren, läuft auf eine unendliche Erweiterung der Notwendigkeit hinaus, die Gemeinsamkeit ANDERER Begriffe zu verifizieren usw.

Hypothetisch ja. Für jedes nicht triviale Argument wäre die Logik, die Sie verwenden würden, jedoch viel komplizierter als die Lehrbuchlogik, die Sie in einem ersten Kurs in formaler Logik lernen.

Die wichtigsten philosophischen Argumente verwenden Konzepte wie Denkbarkeit, Teilhabe, Notwendigkeit, Kausalität und so weiter. Um Ihre Argumentation zu formalisieren, müssen Sie eine genaue logische Definition geben, wie diese Konzepte verwendet werden sollen.

Aber das ist nur der erste Schritt. Was man durch die Formalisierung eines solchen Arguments „bewiesen“ hat, ist syntaktisch , dieses Argument ist wohlgeformt, die Konklusion folgt aus den Prämissen. Ob die Konzepte, die man formalisiert hat, die Realität genau erfassen, ist eine semantische Frage – und dort spielt sich die wahre Philosophie ab. Anders ausgedrückt: Es ist einfach, Konzepte zu erfinden und zu zeigen, wie sie kombiniert werden können und was aus diesen Kombinationen folgt. Die geheime Zutat besteht darin, herauszufinden, ob diese Konzepte die Realität beschreiben.

Im Grunde sagen Sie also, dass echte Philosophie entsteht, wenn mathematisches Denken gegen die Realität getestet wird. Aber ist das nicht die Definition von Physik?
Das Formulieren einer Theorie ist in Philosophie und Physik dasselbe. Man beginnt mit den Begriffen, gibt ihnen präzise mathematische Definitionen usw. Der Unterschied besteht darin, dass Philosophie und Physik unterschiedliche Themen haben. Der Gegenstand der Physik ist Materie, Bewegung, Energie und so weiter. Die Physiker können dann Beobachtungen und Experimente durchführen, um zu sehen, ob ihre Theorien funktionieren. Der Gegenstand der Philosophie betrifft Merkmale der Realität, die nicht empirisch beobachtbar sind, daher erhält man in der Philosophie leider keine Beweise wie in der Physik.

Meiner Meinung nach kann man das Argument formalisieren – und es kann sogar direkt gemacht werden .

Denken Sie jedoch daran, dass ein Argument besteht aus

  • Eine Liste von Hypothesen
  • Eine Schlussfolgerung
  • Ein Beweis, der von den Hypothesen zur Schlussfolgerung führt

In dem (behaupteten) unkomplizierten Prozess der Formalisierung eines Arguments, um es vollständig streng zu machen, werden alle strittigen Teile im Abschnitt „Liste der Hypothesen“ und nicht im Abschnitt „rigoroser Beweis“ erscheinen .

Was also passieren wird, ist, dass Sie ein Argument haben, das überzeugend und unbestreitbar gültig ist, aber Sie haben nicht wirklich viel gewonnen – Sie haben jetzt das Problem, die Leute davon zu überzeugen, dass die Liste der Hypothesen durch etwas erfüllt wird, das jemanden interessiert.

Die Mathematik ist insofern etwas ungewöhnlich, als es eine Fülle von Begriffen gibt, für die Sie eine Liste von Hypothesen aufschreiben können, die im Allgemeinen nicht bestritten werden, aber dennoch vollständig und genau genug sind, um einen formalen Beweis für interessante Schlussfolgerungen zu ermöglichen.

Siehe Stephen E. Toulmins The Uses of Argument . Er behauptet, dass die Standards für gültige Argumente feldspezifisch sind und Argumente in einigen Feldern nicht auf analytische Argumente reduziert werden müssen, um gültig zu sein.

Insbesondere schreibt er (Seite 235):

Zunächst muss anerkannt werden, dass Validität ein Intra-Feld-, kein Inter-Feld-Begriff ist. Argumente in jedem Bereich können nach Standards beurteilt werden, die in diesem Bereich angemessen sind, und einige werden zu kurz kommen; aber es muss damit gerechnet werden, dass die Standards bereichsabhängig sind und dass die von einem Argument auf einem Gebiet zu fordernden Verdienste (in der Natur der Sache) von völlig verdienstvollen Argumenten auf einem anderen Gebiet abwesend sein werden.

Sollte man zu einer Position gelangen, dass die Gültigkeit substantieller Argumente in allen Bereichen „in einen formalen mathematischen Beweis übersetzt werden kann“, das heißt, dass alle substantiellen Argumente als analytische Argumente mit Folgerungen geschrieben werden können, die die Gültigkeit rechtfertigen, dann sollte man diese Position gegen Toulimin testen bietet dagegen an.

Toulmin artikuliert die Konsensansicht der Wissenschaft und der Philosophie. Wir haben KEINE Reduktion von Wissenschaft auf Physik oder Kommunikation auf formale Logik. Was unsere Untersuchungen unserer Welt ergeben haben, ist, dass unsere Welt PLURALISTISCH ist. Verschiedene inkompatible Framings sind erforderlich, um verschiedene Probleme zu verstehen.

Wenn es möglich ist, eine gewöhnliche Sprachaussage in Mathematik zu übersetzen, muss sie von vornherein präzise gewesen sein. Dies war der Fehler in der Idee, philosophische Aussagen in symbolische Logik zu übersetzen, und der Grund, warum Russells Versuch sich als nicht nützlich erwies. Wo es möglich ist, ist es nicht notwendig. Man kann eine Aussage auf Englisch nicht deutlicher machen, indem man sie ins Französische übersetzt.

Kann jede korrekte logische Argumentation in Sätzen natürlicher Sprache in einen formalen mathematischen Beweis übersetzt werden?
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