Gibt es bekannte Defizite der „relevanten Logik“?

Das Explosionsprinzip ist das Gesetz der klassischen Logik und ähnlicher Logiksysteme, nach dem jede Aussage aus einem Widerspruch bewiesen werden kann. Einige frühe formale Systeme wie Freges Begriffsschrift enthielten versteckte Widersprüche in den Grundaxiomen, aber das grundsätzliche Problem verschwindet auch dann nicht, wenn die Grundaxiomen widerspruchsfrei (=konsistent) sind. Das Problem ist, dass es für einen Menschen allzu leicht ist, einen Fehler zu machen, der zu einem Widerspruch führt.

Eine Strategie, wie dieses Problem im Alltag angegangen wird, ist Misstrauen gegenüber Argumentationsketten, die zu weit vom eigentlichen Thema abweichen. Diese Strategie könnte als Relevanzprinzip bezeichnet werden.

Dieses Problem motivierte auch die Entwicklung verschiedener Systeme parakonsistenter Logik . Mir scheint, dass die Relevanzlogik eines dieser Systeme ist, auch wenn ich zugebe, dass ihr Hauptziel darin besteht, die Paradoxien materieller und strenger Implikationen zu vermeiden. Aus den Texten, die ich über die Relevanzlogik gelesen habe, schließe ich, dass es ziemlich erfolgreich ist, das Relevanzprinzip zu formalisieren (über das Prinzip der gemeinsamen Nutzung von Variablen ). Was mir jedoch bisher fehlt, sind Untersuchungen, ob es wichtige und relevante Theoreme gibt, die nicht bewiesen werden können, wenn man das Relevanzprinzip anwendet.

Was mir am Relevanzprinzip unangenehm ist, ist, dass komplexe Zahlen verwendet werden können, um einige Aussagen über natürliche Zahlen zu beweisen, die ohne sie sehr schwer zu beweisen sind. Daher frage ich mich, ob es gute Begründungen für das Relevanzprinzip gibt. Dies ist jedoch auch eine direktere Frage nach den bestehenden Systemen der Relevanzlogik und ihrem Prinzip der gemeinsamen Nutzung von Aussagenvariablen . Ihre Beweistheorie scheint mit dem Ziel entworfen worden zu sein, dass Implikationen, die das Variable-Sharing-Prinzip verletzen , nicht bewiesen werden können, ohne die Fähigkeit zu gefährden, Implikationen zu beweisen, die das Variable-Sharing-Prinzip erfüllen .

Allerdings habe ich keine Hinweise darauf gefunden, ob diese Ziele erreicht wurden. Werde ich solche Hinweise (oder sogar Beweise) finden, wenn ich gründlichere Darstellungen der Relevanzlogik lese, oder stimmt etwas nicht mit meinen Erwartungen, dass solche Hinweise (oder Beweise) gegeben werden sollten?

Die Relevanzlogik (RL) versucht, die Paradoxien der materiellen/strengen Implikation zu vermeiden – sie versucht auch, Schlussfolgerungen auszuschließen, wie The moon is made of green cheese. Therefore, either it is raining in Ecuador now or it is not.sie klassisch gültig sind, aber normalerweise kontraintuitiv sind. In diesem Sinne sind sie "näher" an "alltäglichen Anwendungen des logischen Denkens". Stattdessen scheinen Sie davon auszugehen, dass RL eine „Strategie“ ist, um „lange und komplizierte Argumentationsketten“ (?) zu vermeiden… Warum denken Sie das? Kann es sein, dass du RL falsch verstanden hast?
Die Verwendung von Anführungszeichen hier stört mich sehr.
@stoicfury Ich habe die Frage ohne Anführungszeichen umgeschrieben. Ich habe auch versucht, konkretere Aussagen zu machen. Für die verbleibenden vagen Aussagen habe ich kurze Erklärungen hinzugefügt, wie die Unschärfe entstanden ist.
@DBK Natürlich ist es möglich, dass ich RL falsch verstanden habe. Ich halte es jedoch für wahrscheinlicher, dass es mir nicht gelungen ist, eine klare Frage zu schreiben, insbesondere zu erklären, was ich mit dem Relevanzprinzip meine . Ich habe in der Frage jetzt klargestellt, dass die Relevanzlogik das Relevanzprinzip zumindest meiner Meinung nach recht erfolgreich formalisiert. Aber meine Frage ist, ob das Relevanzprinzip selbst gerechtfertigt werden kann (zB als Sonderfall von Occams Rasiermesser).
Das RelevanzprinzipP->Q besagt informell , dass für jede Implikation mindestens eine AussagevariableP gemeinsam sein muss . Daher ist das Relevanzprinzip besser als Variable-Sharing-Prinzip bekannt . Die Relevanz bezieht sich hier auf die „thematische Kontinuität“ von und . Es hat nichts mit der Auswahl (?) zu tun, welche und relevant oder wichtig sind, falls Sie das meinen. Daher verstehe ich nicht, wie sich dies auf die Beweisbarkeit "wichtiger und relevanter Theoreme" auswirken könnte (wie zum Beispiel die intuitionistische Logik, die, indem sie LEM ablehnt, bestimmte Beweise unmöglich macht) ... QPQPsQs
@DBK Eine Untersuchung, ob das Prinzip der gemeinsamen Nutzung von Variablen die Beweisbarkeit "wichtiger und relevanter Theoreme" beeinflusst, ist genau das, wonach ich suche. Um jedoch die Essenz des Relevanzprinzips besser zu erfassen, muss das Variablenteilungsprinzip von Modifikationen der Beweistheorie (ähnlich der linearen Logik) begleitet werden, um zu vermeiden, dass sich irrelevante Satzvariablen einschleichen. Aber diese Modifikationen machen es weniger offensichtlich als alle "wichtige und relevante Theoreme" können noch bewiesen werden.
Okay, jetzt verstehe ich, was du meinst. Ihr Punkt ist, dass die Semantik der relevanten Implikation (P impliziert Q) einen besonderen beweistheoretischen Begriff der relevanten Implikation hat (P ist ein Beweis von Q). Sie möchten wissen, was passiert, wenn wir das auf die Mathematik anwenden, so wie die intuitionistische Logik konstruktive Mathematik ergibt: Welche Sätze wären in der „relevanten Mathematik“ noch beweisbar? Dies ist eine schwierige Frage, da ich keine Anwendungen von RL in der Mathematik kenne, RL wird hauptsächlich im Bereich der philosophischen Logik verwendet.
Ich würde vorschlagen, dass Sie Ihre Frage unter der Überschrift umformulieren, welche Art von Theoremen in der "relevanten Mathematik" noch beweisbar wären? und füge diese Bemerkungen sowie die Analogie zur intuitionistischen Logik/Mathematik hinzu und lösche möglicherweise den Verweis auf "Occams Rasiermesser" und "komplizierte Argumentationsketten", die mir eher irreführend als hilfreich erscheinen. Übrigens, das wäre eine großartige Frage, und ich würde meine Abwertung und Aufwertung überarbeiten :) (Es könnte Gründe geben, zu argumentieren, dass Ihre Frage wirklich zu Math.SE gehört, aber ich glaube nicht.)
@DBK Ich habe versucht, Ihre Vorschläge zu integrieren und dabei immer im Hinterkopf zu behalten, was mich tatsächlich motiviert hat, diese Frage zu stellen. Es könnte tatsächlich nicht die große Frage sein, auf die Sie gehofft haben, weil ich nur nach der propositionalen Relevanzlogik frage (weil ich das bisher gelesen habe). Die Frage, welche Arten von Theoremen noch beweisbar wären, wird allerdings erst für die Prädikatenlogik 1. Ordnung interessant, die Prädikatenrelevanzlogik 1. Ordnung wird aber erst in gründlicheren Darstellungen der Relevanzlogik eingeführt.

Antworten (3)

Ich bin mir nicht sicher, ob es Probleme gibt, über die Sie sich wundern.

Vielleicht ist (A-> B) -> ((A -> (A->B)) , (Converse Contraction) einer von ihnen, wenn Sie denken, dass es gültig sein sollte (es ist nicht gültig in E und R )

Finden Sie (A-> B) -> ((B -> A) -> (A -> B)) paradox?

Die Länge eines Beweises hängt davon ab, welche Axiome und Regeln Sie verwenden Systeme im Hilbert-Stil sind immer länger als Systeme im Gentzen-Stil. auf welches system beziehst du dich?

Ich denke, die Probleme liegen eher im Bereich:

Welche relevante Logik meinst du überhaupt? E, T, R, Ack oder noch eins? Ich habe gerade gelesen, dass es sogar in E einige Paradoxien gibt. (Entailment Band 1 Par. 14.6 mit dem treffenden Namen „Paradoxon zurückerlangt“)

Was ist überhaupt Verneinung? (Meine aktuelle Bewertung ist, dass es 12 verschiedene Versionen gibt) Ist der disjunktive Syllogismus gültig? (Q, P v ~Q => P)

Probleme mit der Konjunktion (es gibt einen Unterschied zwischen ((P&Q) -> R) und (P -> (Q -> R)) frag mich nicht was.

Danke, sowohl "(A->B)->((A->(A->B))" als auch "(A-> B) -> ((B -> A) -> (A -> B) )" erfüllen das Variable-Sharing-Prinzip, also sind dies definitiv die Art von Problemen, nach denen ich gefragt habe. Also muss ich mich jetzt nur noch davon überzeugen, dass sie in E und R wirklich nicht gültig sind, und dann versuchen zu verstehen, ob dies der Fall ist eigentlich beabsichtigt oder nicht. Ich wusste, dass es viele verschiedene Versionen relevanter Logik wie E, T, R oder ... gibt, aber ich verstand nicht ganz, warum.
"(A-> B) -> ((B -> A) -> (A -> B))" Gültig ist "(A->B)->((A->(A->B))" ist ungültig
Ich bin mir nicht sicher, ob Systeme im Gentzen-Stil immer kürzere Ableitungen haben als Ableitungen im Hilbert-Stil. In jedem Hilbert-System mit einer Regel X(x, y), x|-y, ist die verdichtete Ablösung eine ableitbare Folgerungsregel, die (CCCqprCpr, CqCpr) zu einer vollständigen Ableitung macht. Mir ist nicht ganz klar, was Sie mit einem Beweis im Gentzen-Stil meinen (ich würde vermuten, dass es sich um Beweisbäume handelt ... oder meinen Sie einen Beweis im Stil natürlicher Deduktionen?), Aber ist der Beweis im Gentzen-Stil wirklich so kurz?

Gemäß der Antwort auf diese Frage zeigt die relevante Logik + PA, obwohl sie erfolgreich ihre eigene Konsistenz mit finatären Mitteln beweist, was in der Logik erster Ordnung + PA nicht möglich ist, nicht, dass es ganze Zahlen gibt, die keine quadratischen Reste sind. Dies ist ein ziemlich übliches Stück Zahlentheorie, das man verlieren kann, wenn wir nur an konservativen Erweiterungen von PA interessiert sind; Es könnte jedoch so verstanden werden, dass unter der relevanten Logik eine ganz andere Art von Arithmetik möglich ist.

Eines der Probleme mit der Relevanzlogik ist, dass sie nicht monoton ist

siehe http://en.wikipedia.org/wiki/Monotonicity_of_entailment über Monotonie

in Relevanzlogik

P-> Q impliziert nicht P-> (R -> Q)

Ich bin nicht einmal sicher, ob es gültig ist, wenn R ein Theorem der Relevanzlogik ist

So ausgedrückt ist es nicht unbedingt ein Problem. Was ich gerne wissen möchte, ist, ob sich Tatsachen wie diese als Probleme erweisen können, indem beispielsweise die Länge einiger Beweise um mehr als einen kleinen konstanten Faktor verlängert wird oder einige Implikationen nicht bewiesen werden können, die dem Prinzip der variablen Teilung genügen .
Gibt es bekannte Defizite der „relevanten Logik“?
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