Der Titel scheint etwas allgemeiner zu sein, aber ich sage über die Philosophen und Mathematiker in der Vergangenheit, die über das Konzept des Nichts oder der leeren Menge diskutiert haben . Ich studiere gerade wieder Mengenlehre und bemühe mich, Konzepte so vollständig wie möglich zu verstehen. Aber ich verstehe nicht, warum wir ein Problem hatten, das Konzept der leeren Menge zu verstehen, und warum es ein Axiom namens "Das Axiom der Existenz" gibt, das auch "Das Axiom der leeren Menge" genannt wird.
Lassen Sie mich zunächst damit beginnen, mein Verständnis von Nichts vorzustellen ; Bevor ich es definiere, muss ich ein Unteruniversum einführen (ich habe noch keinen rigorosen Weg gefunden, es zu erklären, sondern nur einen informellen Weg.).
Definition 1. Ein Subuniversum ist ein Teil meiner (oder unserer) Wahrnehmungen.
Der Grund, warum ich dies definiere, ist, einige Paradoxien (z. B. Russells Paradoxon) aus The universe of discourse zu vermeiden . In der Mathematik schränken wir unsere Wahrnehmungen oder Analysen durch die Axiome ein. Das Subuniversum hat ähnliche Kontexte, aber wir können kleinere Universen auswählen, was immer wir wollen, wenn wir dieses Konzept übernehmen. (Seien Sie vorsichtig, dass dieser Begriff nur dann relevant angewendet werden kann, wenn die Schlußregeln oder Gedankenregeln erfüllt sind, dh er darf kein Paradoxon enthalten.)
Nun führe ich die Definition von nichts ein ;
Definition 2. Sei S ein Unteruniversum. Wir sagen, ein Ding ist nichts in S , wenn und nur wenn das Ding kein Element aus seinem Unteruniversum enthält .
Nehmen wir zum Beispiel an, dass es eine Kiste gibt, die eine blaue Kugel und eine grüne Kugel enthält. Und dann bezeichnen wir dies als Menge B, B={blaue Kugel, grüne Kugel}. Und definiere in dieser Situation ein Unteruniversum S, das die Menge B enthält. Und jetzt entferne ich „die Kugeln“ aus der Box, was mit {} bezeichnet werden kann. Dann ist die Box nichts in S.
Wenn wir aus dieser Sicht ein Subuniversum so vollständig wie möglich erweitern können, dann denke ich, dass es kein Problem mit dem Konzept des Nichts gibt . Ich habe sicherlich kein Problem damit, nichts zu verstehen , und so kann ich wirklich keine Notwendigkeit für "Das Axiom der Existenz" erkennen. Zusammenfassend ist meine Frage einfach;
Frage. Warum "Das Axiom der Existenz"?
Die leere Menge als Konzept in ZFC ist unproblematisch, da sie formale Eigenschaften erfüllt.
Problematisch ist die Frage, was das ontologische bedeutet; oder wie Parmenides betonte, können wir uns die Leere nicht vorstellen – die Leere ist es nicht; es stört uns nicht, dass diesem vermeintlich unvorstellbaren objekt ein name - das void - zugeordnet ist. Der Name der Leere unterscheidet sich natürlich von der Leere selbst. Wir können den Namen wahrnehmen, aber nicht seine Referenz, die Leere.
Wir würden uns eine leere Menge als eine Menge vorstellen, die sich auf die Leere bezieht, dann hat sie keinen Bezug.
Diese beiden Sinne müssen unterschieden werden; nur der erste Sinn ist eine gute Beschreibung.
Einige Hinweise.
Siehe in Wiki Leeres Set :
Axiomatische Mengentheorie : In der Zermelo-Mengentheorie wird die Existenz der leeren Menge durch das Axiom der leeren Menge sichergestellt, und ihre Eindeutigkeit folgt aus dem Axiom der Extensionalität. Das Axiom der leeren Menge kann jedoch auf zwei Arten als redundant gezeigt werden:
Es gibt bereits ein Axiom, das die Existenz mindestens einer Menge impliziert. Wenn ein solches Axiom zusammen mit dem Trennungsaxiom gegeben ist, ist die Existenz der leeren Menge leicht zu beweisen. In Gegenwart von Urelementen ist es einfach zu beweisen, dass mindestens eine Menge existiert, nämlich die Menge aller Urelemente. Auch hier ist die leere Menge angesichts des Trennungsaxioms leicht zu beweisen.
Philosophische Fragen : Während die leere Menge ein standardmäßiges und weithin akzeptiertes mathematisches Konzept ist, bleibt sie eine ontologische Kuriosität, deren Bedeutung und Nützlichkeit von Philosophen und Logikern diskutiert wird.
Die leere Menge ist nicht dasselbe wie nichts ; vielmehr ist es eine Menge mit nichts darin, und eine Menge ist immer etwas. Dieses Problem kann überwunden werden, indem ein Set als Beutel betrachtet wird – ein leerer Beutel existiert zweifellos immer noch. Darling [DJDarling (2004), The universal book of mathematik , John Wiley and Sons, S.106] erklärt, dass die leere Menge nicht nichts ist, sondern „die Menge aller Dreiecke mit vier Seiten, die Menge aller Zahlen, die sind größer als neun, aber kleiner als acht, und die Menge aller Eröffnungszüge im Schach, an denen ein König beteiligt ist."
Sie können in MathSE einige Beiträge über die leere Menge sehen:
und mehr ...
Ein Set ist kein Container, sondern nur sein Inhalt. Man kann also festhalten: Ohne Inhalt kein Set. Für moderne Mengentheoretiker gibt es kein Problem, weil sie darauf trainiert sind, von offensichtlich kontraintuitiven oder kontrafaktischen Eigenschaften angezogen zu werden (wie das Auswahlaxiom in Fällen, in denen eine Auswahl, dh eine echte Unterscheidung eines Elements von allen anderen unmöglich ist). Aber auch die Begründer der Mengenlehre hielten die leere Menge für problematisch oder nicht existent. Im Folgenden zitiere ich einige selten bekannte Aussagen.
Bernard Bolzano, der Erfinder der Begriffsmenge (Menge) in der Mathematik, hätte ein Nichts nicht als leere Menge bezeichnet. Im Deutschen hat das Wort Menge die Bedeutung von viele oder große Menge. Oft finden wir in deutschen Texten den Ausdruck große Menge, selten den Ausdruck kleine Menge. Deshalb entschuldigt sich Bozen für die Verwendung dieses Wortes bei Mengen mit nur zwei Elementen: "Erlauben Sie mir, auch eine Sammlung, die nur zwei Teile enthält, eine Menge zu nennen." [J. Berg (Hrsg.): B. Bozen, Einleitung zur Grössenlehre, Friedrich Frommann Verlag, Stuttgart (1975) p. 152]
Auch Richard Dedekind verwarf den leeren Satz. Er akzeptierte aber das Singleton, also die nichtleere Menge von weniger als zwei Elementen: „Für die Einheitlichkeit des Wortlauts ist es sinnvoll, auch den Sonderfall zuzulassen, dass ein System S aus einem einzigen (aus einem und nur einem) besteht. Element a, dh dass das Ding a Element von S ist, aber alles, was sich von a unterscheidet, kein Element von S ist. Das leere System jedoch, das kein Element enthält, soll aus bestimmten Gründen vollständig ausgeschlossen werden, obwohl es eines sein könnte praktisch für andere Untersuchungen, um solche zu fabrizieren.“ [R. Dedekind: "Was sind und was sollen die Zahlen?" Vieweg, Braunschweig 1887, 2. Aufl. (1893) p. 2]
Bertrand Russell betrachtete eine leere Klasse als nicht existent: "Eine existierende Klasse ist eine Klasse mit mindestens einem Mitglied." [Bertrand Russell: „Über einige Schwierigkeiten in der Theorie der transfiniten Zahlen und Ordnungstypen“, Proc. London Math. Soc. (2) 4 (1906) p. 47]
Georg Cantor erwähnte die leere Menge mit einigen Vorbehalten und nur einmal in all seinen Arbeiten: „Außerdem ist es nützlich, ein Symbol zu haben, das das Fehlen von Punkten ausdrückt. Wir wählen aus diesem Grund den Buchstaben O. P = O bedeutet, dass die Menge P tut keinen einzigen Punkt enthalten. Es existiert also streng genommen nicht als solches.“ [Kantor, S. 146]
Und selbst Ernst Zermelo, der das „Axiom II“ aufgestellt hat, gibt es eine (uneigentliche) Menge, die ‚Null-Menge‘ 0, die kein Element enthält“ [E. Zermelo: "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I", Mathematische Annalen 65 (1908) p. 263], sagte derselbe Zermelo selbst in privater Korrespondenz: "Es ist keine echte Folge und wurde von mir nur aus formalen Gründen eingeführt." [E. Zermelo, Brief an A. Fraenkel (1. März 1921)] „Ich zweifle zunehmend an der Berechtigung der ‚Nullmenge‘. Vielleicht kann man darauf verzichten, indem man das Trennungsaxiom in geeigneter Weise einschränkt der formalen Vereinfachung." [E. Zermelo, Brief an A. Fraenkel (9. Mai 1921)]
Umso mutiger ist es, dass Zermelo sein Zahlensystem komplett auf der leeren Menge aufgebaut hat: { } = 0, {{ }} = 1, {{{ }}} = 2 und so weiter. Er wusste zumindest, dass es nur eine leere Menge gibt. Aber man könnte sich viele Wege ausdenken, um die leere Menge zu erzeugen, wie die leere Menge von Zahlen, die leere Menge von Bananen, die leere Menge von Einhörnern, die unzähligen leeren Mengen aller echten Singletons und die leere Menge all dieser leeren Mengen . Ist es die leerste Menge? Wie auch immer, "null Dinge" bedeutet "keine Dinge". Wir können also sicher sagen (Wortspiel beabsichtigt): Nichts heißt die leere Menge.
Benutzer4894
Kevin Holmes
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Ablauf
Mauro ALLEGRANZA