Was ist die philosophische Grundlage für die Unterscheidung von Logik und Mathematik?

Lassen Sie mich Ihnen zunächst einen historischen Hintergrund geben. Bis zum Ende des 19. Jahrhunderts wurde die Logik fast ausschließlich mit der aristotelischen Logik, der Syllogistik, in Verbindung gebracht . Diese Logik hatte keine Quantifizierer oder sogar Aussagenvariablen, mit anderen Worten, sie war zu schwach, um auch nur Arithmetik zu unterstützen, geschweige denn den Rest der Mathematik (Chrysippus, ein alter Stoiker, und Leibniz konzipierten die moderne Aussagenlogik vor Frege, aber ihre Ideen wurden nicht beachtet und weitgehend vergessen). Aufgrund dieser Schwäche sahen Philosophen wie Locke, Hume und Kant, die analytisches Wissen, das durch "reine Logik" erreichbar ist, als völlig trivial und unfähig, irgendetwas von Substanz zu produzieren, ansahen . War Locke richtig, dass analytisches Wissen leer ist?Die Mathematik hingegen zeigte deutlich nicht-triviale Wahrheiten, wie Euklids Arbeit ausführlich demonstrierte, und konnte daher unmöglich auf Logik reduziert werden. Kant erfand sogar einen neuen Begriff des „synthetischen Apriori“, der sich auf zusätzliche Fähigkeiten produktiver Vorstellungskraft stützt, um die Mathematik über die bloße Logik hinauszuführen. Friedman erklärt in Kants Theorie der Geometrie ausführlich, wie der Mangel an Quantifizierung in der Syllogistik frühe Kalküle und Analysen dazu zwang, sich auf intuitive Vorstellungen über Bewegung zu verlassen, was formellere Konstruktionen verhinderte.

Also vor der Einführung der Quantifizierungslogik durch Frege und Peirce am Ende des 19. Jahrhunderts, siehe Bonevac's History of Quantification, Mathematik und Logik mussten nicht besonders unterschieden werden, es lagen Welten dazwischen. Peirce, der die Algebraisierung und Formalisierung der Mathematik im 19. Jahrhundert früh philosophisch zur Kenntnis nahm, glaubte, dass es keiner formalen logischen Grundlagen bedarf, sondern dass ganz im Gegenteil die Logik (deren Umfang er weit im Sinne von Kantian Hegel verstand) darauf angewiesen ist Mathematik philosophisch. Frege war es, der anders dachte und in seiner bahnbrechenden Schrift „Eine der Arithmetischen Nachgebildeten Begriffssprache des Reinen Denkens“ die technischen Mittel entwickelte, um Arithmetik (und den Rest der Mathematik) auf Logik zu reduzieren Pure Thought Modeled on that of Arithmetic, 1879) und skizzierten in Grundgesetze der Arithmetik (1893) ein Programm zur Reduzierung der Arithmetik auf Logik,Logikismus . Dieses Programm sah in der Tat die Logik, die neue mathematische Logik, in einer einzigen Einheit mit Mathematik und Metamathematik als Werkzeug und Grundlage vor.

Der Logikismus geriet jedoch schnell in Schwierigkeiten, zunächst mit dem Russellschen Paradoxon, das einige von Freges "Grundgesetzen des Denkens" als problematisch aufwies (Grundgesetz V, das Gesetz der Erweiterungen, kombiniert mit dem Substitutionsprinzip implizierte, dass jedes Prädikat eine Klasse definiert , die Russells paradoxe Klasse hervorbrachte). Und als Russell versuchte, dem in seinen Principia abzuhelfen, stellte sich heraus, dass nicht einmal Freges Logik die gesamte Mathematik ohne zusätzliche Annahmen mit deutlich unlogischem Beigeschmack unterstützen konnte, wie das berüchtigte Axiom der Reduzierbarkeit . Der letzte Schlag gegen den klassischen Logikismus, in seiner letzten von Carnap entwickelten Inkarnation, wurde durch Gödels Unvollständigkeitssatz geliefert,Friedman's Logical Truth and Analyticity in Carnap's "Logical Syntax of Language" für eine detaillierte Diskussion der beteiligten Feinheiten. Es endete sogar mit einem großzügigeren Vorschlag, die Metamathematik zusätzlich zur Logik auf die "Geometrie der Symbole" zu stützen, Hilberts Formalismus, siehe Gab es einen kantischen Einfluss auf Hilberts formalistisches Programm? In jüngerer Zeit wurden jedoch einige neologistische Vorschläge von Heck und Hale-Wright vorgebracht.

Die Unterscheidung zwischen Mathematik und Logik wurde vor der Neuzeit fast überall vertreten.

Aristoteles' logische Arbeiten ( Prior and Posterior Analytics ) sind Teil seiner Werke, die spätere Philosophen als Organon (Werkzeug) gruppierten. Daher wurde Logik als Werkzeug angesehen.

Menschen des Altertums wie Boethius und Mittelalter wie St. Thomas von Aquin und Logiker wie John Poinsot et al. alle betrachteten die Logik als eine Kunst (die Kunst des Denkens). Beispielsweise schreibt Aristoteles in Metaphysik I (980b26), dass „das Menschengeschlecht von Kunst und Vernunft lebt“. Der heilige Thomas von Aquin schreibt im Proem seiner Expositio libri Posteriorum Analyticorum :

… es bedarf einer Kunst, den Denkakt zu lenken, damit ein Mensch bei der Ausführung des Denkaktes geordnet und leicht und ohne Fehler vorgehen kann.

Und diese Kunst ist die Logik ( logica ), dh die Wissenschaft von der Vernunft ( rationalis scientia ).

Daher sollte Logik zuerst gelehrt werden ( Sententia Ethic. , lib. 6 l. 7 n. 17 [1211.]):

[D] Die richtige Reihenfolge des Lernens ist, dass Jungen zuerst in Dingen unterrichtet werden, die die Logik betreffen, weil Logik die Methode der gesamten Philosophie lehrt. Als nächstes sollten sie in Mathematik unterrichtet werden, was keine Erfahrung erfordert und die Vorstellungskraft nicht übersteigt. Drittens in den Naturwissenschaften , die zwar nicht über Sinn und Vorstellungsvermögen hinausgehen, aber dennoch Erfahrung erfordern. Viertens in den moralischen Wissenschaften , die Erfahrung und eine von Leidenschaften freie Seele erfordern [...]. Fünftens in den Weisheits- und göttlichen Wissenschaften , die die Vorstellungskraft übersteigen und einen scharfen Verstand erfordern.

Diese Ordnung basiert auf den drei Abstraktionsstufen, von denen die Mathematik die zweite war. Boethius schlug nach Aristoteles vor, dass die „spekulativen Wissenschaften in drei Arten unterteilt werden können: Physik, Mathematik und Metaphysik“:

1. Die Physik beschäftigt sich mit Bewegtem und Materiellem.
   ^{[ ens mobil oder "mobiles/veränderliches Wesen"]}
2. Die Mathematik befasst sich mit dem, was materiell und nicht in Bewegung ist.
   ^{[∵ mathematische Objekte, „Mathematik“, bewegen oder verändern sich nicht]}
3. Die Metawissenschaft* befasst sich mit dem, was weder in Bewegung noch materiell ist.
   ^{*dh "Metaphysik" im aristotelischen Sinne der Lehre vom "Sein als Sein"}

(vgl. §II von Boethius' De Trinitate )