Gibt es Wahrheit ohne Beweis?

Wenn wir etwas beweisen (z. B. in Mathematik), zeigen wir, dass eine bestimmte Aussage wahr ist. Aber wenn wir diese Aussage nicht beweisen könnten, heißt das nicht, dass die Aussage falsch wäre, richtig? Ist der Beweis also ein Prozess, der uns wissen lässt, dass eine Aussage wahr ist? Wenn zum Beispiel jemand sagt „Wenn P, dann Q wahr ist“, könnten wir ihn fragen: „Woher weißt du, dass es wahr ist?“ oder "Beweise es". Außerdem beweisen wir normalerweise eine Aussage, indem wir andere bewiesene Aussagen verwenden. Tun wir das, weil es viel Zeit kosten würde, alle anderen Aussagen von Grund auf zu beweisen? Könnten wir diese bestimmte Aussage beweisen, ohne irgendeine andere bewiesene Aussage zu verwenden?

Angenommen, A ist eine logische Aussage. dann ist A oder nicht A wahr. Wir haben es gerade geschafft, die Aussage " A oder nicht A " ohne Annahmen zu beweisen . Andererseits geht dies davon aus, dass eine Aussage ausschließlich wahr oder falsch ist.
Es kommt darauf an... Nach einer bekannten Sichtweise (siehe Realismus) existiert die Sonne auch dann, wenn wir sie nicht anschauen. Derselbe Ansatz in Bezug auf "mathematische Fakten": Sie sind "da draußen", unabhängig davon, ob wir sie kennen oder nicht. Siehe Platonismus .
Nach einer anderen Sichtweise (siehe Intuitionismus ) macht es keinen Sinn zu behaupten, dass eine mathematische Aussage wahr ist, wenn wir keinen Beweis dafür haben.
Bitte beachten Sie, dass Aussagen wie „wenn P, dann Q“ nicht wahr oder falsch, sondern gültig oder ungültig sind. Wenn die vereinbarten logischen Regeln beim Ableiten richtig angewendet werden (Gültigkeitskriterium), bedeutet dies nur: "Wenn Sie P für wahr halten, müssen Sie nach diesen Regeln auch Q für wahr halten". Es sind Aussagen wie P oder Q, die wahr oder falsch sein können.
@armand Jede mathematische Aussage muss einen Wahrheitswert haben. Die Implikation „wenn P dann Q“ hat einen Wahrheitswert. Schau hier. Wahrheitstabelle
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Antworten (4)

Nur um den sehr trivialen Punkt hinzuzufügen, dass der intuitionistische Mathematiker zumindest auch die Definition in seinen Quellen legitimer Wahrheiten akzeptieren muss. Diese werden in gewissem Sinne als „analytische“ Wahrheiten angesehen und deklariert, dass sie weniger eine Sache der Substanz als vielmehr der Semantik sind, aber unsere Wahl der Definiens beeinflusst stark die resultierenden mathematischen Strukturen, die aus unseren Beweisprozessen hervorgehen!

Sie können eine Aussage einer Theorie als „ wahr “ definieren, wenn sie in jedem Modell gilt, und als „ beweisbar “, wenn es eine logische Ableitung aus den Axiomen der Theorie gibt.

Dann sagt uns Gödels erster Unvollständigkeitssatz, dass jede Theorie, die mindestens so mächtig ist wie die Zahlentheorie, wahre Aussagen enthält, die nicht beweisbar sind.

Daher impliziert „wahr“ nicht „beweisbar“, während das Gegenteil gilt.

Einwandfrei formuliert. Gibt es pragmatische Auswirkungen auf diese Asymmetrie?
Sie sagen: "Eine Aussage S der Theorie T ist wahr, wenn sie in jedem [nach der Bearbeitung] Modell von T gilt". Für eine Theorie erster Ordnung, wie zB die Peano-Arithmetik PA, gilt der Vollständigkeitssatz: Jede Aussage von T, die in jedem Modell von T wahr ist, ist aus den Axiomen von T beweisbar. Was fehlt also ?
@Mauro In PA gibt es Aussagen, die in PA wahr, aber nicht beweisbar sind (Theorem von Paris-Harrington). Siehe karlin.mff.cuni.cz/~krajicek/ph.pdf , cs.umd.edu/users/gasarch/TOPICS/largeramsey/bovINTRO.pdf
Sie sind wahr in N und nicht „wahr in jedem Modell“
@Mauro Es gibt eine Formel Phi mit PA || -> phi aber nicht PA | -> Phi. Ist das richtig?
Nein :-) Wenn PA ⊨ phi, dann nach G's Vollständigkeit Th PA ⊢ phi. Die Unvollständigkeit von G Th besagt, dass es eine Formel phi gibt , so dass not-(PA ⊢ phi) und not-(PA ⊢ ¬phi). Aber gemäß der Ansicht des „gesunden Menschenverstandes“ über Wahrheit und Falschheit muss eines von Phi und Phi in N wahr sein .
Vielen Dank für den Link. .

Für die realistische Sichtweise siehe Wahrheitswert-Realismus .

Wahrheitswertrealismus ist die Ansicht, dass jede wohlgeformte mathematische Aussage einen einzigartigen und objektiven Wahrheitswert hat, der unabhängig davon ist, ob er uns bekannt ist und ob er sich logisch aus unseren aktuellen mathematischen Theorien ergibt.

Aus konstruktivistischer Sicht siehe Enrico Martino, Intuitionistic Proof Versus Classical Truth: The Role of Brouwer's Creative Subject in Intuitionistic Mathematics, (Springer, 2018) , Chapter 11 Temporal and Atemporal Truth in Intuitionistic Mathematics , Seite 97-ff:

Martin-Löf (1991) unterscheidet zwischen tatsächlicher und potentieller Wahrheit einer Aussage. Diese Begriffe würden intuitiv durch die Begriffe der tatsächlichen und potentiellen Existenz erklärt werdeneines Beweises. Ein Beweis eines Satzes $A$ liegt tatsächlich vor, wenn tatsächlich $A$ bewiesen wurde; es existiert potentiell, wenn $A$ bewiesen werden kann. Hier wird Möglichkeit nicht im traditionellen intuitionistischen Sinne als Kenntnis einer Methode zum Beweis von $A$ verstanden, sondern als „wissensunabhängige und spannungslose“ Möglichkeit. Demnach wird ein bewiesener Satz tatsächlich wahr, aber er war potenziell wahr, bevor er bewiesen wurde, und er wäre wahr, selbst wenn er tatsächlich nie bewiesen worden wäre. Auf diese Weise kann der Intuitionist laut Martin-Löf den bekannten Einwand überwinden, dass die Aussage, dass eine Aussage wahr wird, wenn sie bewiesen ist, kontraintuitiv ist und im Widerspruch zum üblichen Gebrauch des Wahrheitsprädikats steht: potenzielle Wahrheit ist nicht offen zu diesem Einwand.

Nach dieser Sichtweise war die transzendentale Natur von π vor dem Beweis von Lindemann (1882) potentiell wahr und wurde mit dem Beweis von 1882 tatsächlich wahr.

normalerweise beweisen wir eine Aussage, indem wir andere bewiesene Aussagen verwenden. Tun wir das, weil es viel Zeit kosten würde, alle anderen Aussagen von Grund auf zu beweisen? Könnten wir diese bestimmte Aussage beweisen, ohne irgendeine andere bewiesene Aussage zu verwenden?

Das ist der Kern der Axiomatischen Methode , die wir seit Aristoteles und Euklid anwenden.

Ein Beweis erfordert eine "logische Maschinerie" (Inferenzregeln), um neue Aussagen (Theoreme) aus bestehenden (früher bewiesene Theoreme und Axiome) abzuleiten.

Irgendwo müssen wir anfangen...

Der Mathematiker Kurt Gödel hat bewiesen, dass es mehr willkürliche mathematische Wahrheiten gibt, über die man nur stolpern kann, als mathematische Wahrheiten, die durch strenge Logik bewiesen werden können.

Jeder, der behauptet, dass Wahrheiten nicht existieren, bis sie bewiesen sind, muss erklären, wie Wahrheiten dennoch ohne strengen Beweis gefunden werden können.

Stichwort: „Nein, aber was ich mit ‚Wahrheit‘ meine, ist …“ – es folgt eine Glaubensaussage, die selbst nicht als wahr bewiesen werden kann.

Außerhalb der Grenzen der Aussagenlogik im Bereich der Erfahrung jener „Dinge“, die „wirklich“ oder „wirklich existierend“ genannt werden, behauptet Spinoza, dass die „Wahrheit“ oder Gewissheit der Erkenntnis der Wirklichkeit „selbstverständlich“ wahr sei und sein könnte anders nicht wahr sein. Aber mehr zum Punkt Ihrer Frage: Wenn eine Aussage in gewissem Maße nicht verständlicherweise wahr ist und einen Beweis erfordert, dann würde dieser Beweis, wie Sie vorschlagen, einen Beweis erfordern und so weiter in einer unendlichen Regression.
Über G's Th: nicht genau ... Der Satz gilt für formale Systeme eines bestimmten Typs (grob gesagt: mit einem Anteil an Arithmetik). „Wahrheiten“, die im System nicht beweisbar sind, werden nicht „gestolpert“, sondern in einem anderen System rigoros bewiesen. G's Th selbst "wurde von dem Mathematiker Kurt Gödel bewiesen."
Gibt es Wahrheit ohne Beweis?
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