Kann Second Order Logic (SOL) eine fundamentale Logik sein?

In Anlehnung an das, was in den Kommentaren zu Ihrer Frage gesagt wurde, scheint die Idee von "grundlegend" etwas undefiniert zu sein. Was Sie jedoch anscheinend fragen, ist etwas über die Stärke der Logik zweiter Ordnung und ihre Fähigkeit, das grundlegende System zu sein, das alles lösen kann (zumindest alles, was lösbar ist). Wir haben über unsere Werkzeuge der Metalogik Ideen wie Vollständigkeit und Kompaktheitdas kann eine Logik definieren, und wir haben das Recht zu sagen, dass die zweite Ordnung einige starke Eigenschaften hat. Allerdings ist die Logik zweiter Ordnung in Bezug auf diese Eigenschaften bei weitem nicht so stark wie die Logik erster Ordnung. Die Logik erster Ordnung selbst kann nicht einmal als vollständig vollständige Grundlage für Logik verwendet werden! Dies liegt an den Unvollständigkeitssätzen von Gödel. Selbst wenn wir die Ergebnisse der ersten akzeptieren und wegdiskutieren, dass es keinen Unterschied macht, wenn es unbeweisbare Wahrheiten gibt, können wir immer noch nicht die Konsistenz der Logik erster Ordnung in sich selbst beweisen, da wir sehen und sehen können, dass sie wahr sind! Der zweite Unvollständigkeitssatz gilt auch für die Logik zweiter Ordnung, also würden wir im selben Boot sitzen. Wenn die Logik erster Ordnung, die stärker ist, nicht ausreicht, um die Grundlage für die Logik zu bilden, wie könnte dann der Erfolg zweiter Ordnung erfolgen, wenn sie viel weniger stark ist?

Der Satz von Lindström ist ein Ergebnis der Metalogik, das zeigte, dass die Logik erster Ordnung die "stärkste" Logik ist, da sie sowohl den Löwenheim-Skolem-Satz als auch den Kompaktheitssatz besitzt . Die metalogischen Ergebnisse der Logik zweiter Ordnung zeigen, dass die Logik zweiter Ordnung (mit vollständiger Semantik) zeigt, dass sie diese Eigenschaften nicht besitzt. Noch schlimmer, wie Quine ( 1970 ) betonte, hat die Logik zweiter Ordnung nicht einmal ein vollständiges Beweissystem! Das sind sehr schlechte Nachrichten für die Logik zweiter Ordnung. Letztendlich wird keine Axiomatik stark genug sein, um als "fundamentale" Logik verwendet zu werden, und dies wird uns teilweise von Tarski mit besonderem Dank überbrachtund Gödel. Abgesehen davon ist die Logik erster Ordnung eine viel bessere Wahl als die Logik zweiter Ordnung, mit der wir auskommen können.

Ich bin sicher, dass die Frist für Ihren Aufsatz abgelaufen ist, aber ich hoffe, dass dies eine (etwas) nützliche Antwort für alle gegeben hat, die eine ähnliche Frage haben.