Wie könnten Mathematik und Logik ohne uns existieren, wenn sie von uns unabhängig von der Realität geschaffene Konzepte sind?

Nehmen Sie umgekehrte quadratische Gesetze. Sie können sie als mathematisch sehen oder sich auf Logik verlassen, aber sie sind geometrisch und relational und nur ein Teil der Wesenheit der Dinge. Die beteiligten Verhältnisse ergeben sich aus den Bedingungen dafür, dass es etwas statt nichts gibt, denken wir.

Gegen unendlich. Ein wirklich nützliches mentales Werkzeug, das es aber nie auf der Welt gibt. Die genaue Definition von Pi und die Fähigkeit, Differenzierung zu entwickeln, beruhen darauf, dass man sich Reihen als unendlich vorstellt. Sie helfen uns, mental zwischen Kontexten zu wechseln, linear und kreisförmig, diskret und kontinuierlich.

Wir haben also Dinge, die vom Zählen abhängen, die von den Eigenschaften fester Körper in etwa unserer Größenordnung und in etwa unserer Umgebung abhängen (nicht z. B. Quantenskala oder die Oberfläche eines Neutronensterns), die in bestimmten Fällen absolut existieren, ohne uns auf der Welt. Dann haben wir Verallgemeinerungen und Abstraktionen davon, die das nicht tun; zusammen mit Idealisierungen wie Unendlichkeit und perfekt runden Kreisen, die es auf der Welt auch nie gibt.

Logik hilft uns, unsere Erfahrungen zu organisieren, und sie existiert wie eine mentale Konstellation um den Stern unserer eigenen Sorgen. Aber es gibt andere Sterne, ein ganzes Universum von Galaxien mit anderen Möglichkeiten, Erfahrungen zu denken und zu organisieren.

Es gibt zwei Grundpositionen:

Platonismus, der eine Welt idealer Formen und Zahlen, Geometrie und Mathematik behauptet, sind idealerweise Teil dieser Welt. Mathematik ist dann eine Entdeckung und keine Erfindung. Aristoteles zum Beispiel stimmt dem in seinen Kategorien sofort zu . Obwohl es in der Vormoderne eine weit verbreitete Position war, ist es heute viel seltener.

Konstruktivismus ist die Position, die Sie selbst vertreten. Hier wird die Mathematik von Menschen erdacht und somit erfunden und nicht entdeckt. Dies ist die übliche Position in der Neuzeit. Eine Kategorientheoretikerin, Eugenia Cheng, erklärte jedoch, dass sie, wenn sie mit Philosophen sprach, davon überzeugt war, dass sie konstruiert waren, aber als sie wieder über Mathematik nachdachte, war sie überzeugt, dass sie eine reale Existenz hatten.

Hegel erfand bekanntermaßen eine Form der Logik, die dynamisch und organisch war. Es entsteht in der Welt und formt die Welt. Er nannte es die Dialektik in Anspielung auf die eleatischen Monisten aus Ionia, die als erste begannen, eine solche Logik auszuarbeiten. (Sie hat auch eine deutliche Ähnlichkeit mit einer im Tao ausgearbeiteten Dialektik). Das ist weit entfernt von unserer modernen Vorstellung von Logik, die rein syntaktisch und formal ist.

Eine Möglichkeit, darüber nachzudenken, besteht darin, zu sehen, dass Logik eine Form der Notwendigkeit ist. Und für Hegel hat seine Logik der Natur diesen Aspekt, auch sie ist eine Form der Notwendigkeit. Das nächste Analogon dazu sind heute die Naturgesetze der Physik, die die notwendigen Gesetze der Natur selbst sind.

Physiker sprechen manchmal davon, die Naturgesetze in der reinen Form der Notwendigkeit zu entdecken. In dieser reinen Form wäre nichts Zufälliges darin. Beispielsweise gibt es im Standardmodell der Teilchenphysik etwa dreißig freie Parameter. Dies ist bedingt. Diese Zahl zu verringern, ist das Ziel mancher Physiker.

Es gibt drei mögliche Positionen zu diesem Thema, die jeweils von strengen Platonikern (gibt es heute überhaupt welche?), Theisten und Atheisten vertreten werden [1]:

• Strenger Platonismus : Selbstkonsistente formale Systeme existieren wirklich in einer Welt der reinen Formen von Ewigkeit her und zeitlich in den Köpfen der Menschen, die sie entdecken.

• Theistischer Platonismus : Selbstkonsistente formale Systeme existieren virtuell in Gott seit aller Ewigkeit und zeitlich in den Köpfen der Menschen, die sie entdecken.

• Fiktionalismus : Selbstkonsistente formale Systeme existieren praktisch nur in den Köpfen der Menschen, die sie bauen oder von ihnen lernen, genauso wie die Handlung eines Romans praktisch nur in den Köpfen seines Autors und seiner Leser existiert.

„Entdecken“ in beiden Varianten des Platonismus und „Bauen“ im Fiktionalismus ist genau dieselbe Aktivität, die aus verschiedenen Perspektiven betrachtet wird. Alle stimmen darin überein, dass Mathematiker nur jene selbstkonsistenten formalen Systeme entwickeln können, die existieren können, und in diesem Sinne kann man sagen, dass sie sie „entdecken“. Für einen Atheisten existierten diese formalen Systeme jedoch in keiner Weise, bevor sie "entdeckt" wurden, und daher werden sie ausschließlich von Mathematikern "gebaut".

Darüber hinaus können sowohl Platonismus als auch Fiktionalismus "vollkommen" sein [1], was bedeutet, dass alle in sich konsistenten formalen Systeme gleichberechtigt sind, so dass

• Die euklidische Geometrie ist als formales System nicht weniger oder "realer" oder "wahrer" als die elliptische oder hyperbolische Geometrie

• (ZFC + CH) ist nicht weniger oder mehr "real" oder "wahr", als (ZFC + ¬CH) als formale Systeme [2].

Referenzen/Anmerkungen

[1] Balaguer, M., 1998. „Platonismus und Antiplatonismus in der Mathematik“. https://books.google.com/books?id=UEyPF1T6EbUC

Zu beachten ist, dass Balaguers umfassender Platonismus dem Ante-Rem-Strukturalismus von Resnik und Shapiro entspricht:

Resnik, M., 1997. "Mathematik als Wissenschaft der Muster". https://books.google.com/books?id=EU2G_BFt7YsC

Shapiro, S., 1997. "Philosophie der Mathematik: Struktur und Ontologie". https://books.google.com/books?id=9xVErjy9qPQC

[2] ZFC = Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit Wahlaxiom. CH = Kontinuumshypothese.

Kurt Gödel zeigte 1940, dass CH nicht von ZFC widerlegt werden kann.

Paul Cohen zeigte 1963, dass CH nicht von ZFC bewiesen werden kann.

Wenn also ZFC konsistent ist, dann sind auch (ZFC + CH) und (ZFC + ¬CH) konsistent.

Geschaffen oder erfunden, es ist schwer zu leugnen, dass „2 + 2“ immer gleich „4“ sein wird, da dies eine Tatsache der logischen Notwendigkeit ist; oder dass der Satz des Pythagoras oder der Primzahlsatz immer wahr sein wird, egal ob es keinen anderen Menschen gibt, der es sich selbst beweist. In diesem Sinne hängen mathematische Wahrheiten kein Jota von der empirischen Realität ab, aber ob diese Wahrheiten irgendetwas „bedeuten“ würden ohne Menschen in der Nähe, ist eine völlig bedeutungslose Frage. Wir müssen die Axiome, Regeln und die Syntax akzeptieren, auf denen eine mathematische Aussage basiert, um überhaupt etwas aussagen zu können. Die Übereinstimmung mit der Realität hat jedoch keinerlei Einfluss auf das, was mathematische Erkenntnisse aufdecken. Es ist ähnlich, wie die Regeln des Schachspiels nicht von der zu spielenden empirischen Realität abhängen. In einem alternativen Universum, Sie können sich vorstellen, dass das Schachspiel mit den gleichen Regeln gespielt wird, denen wir in unserem Universum gehorchen. Analog dazu ist es interessant zu überlegen, wie Mathematik nicht nur universell sein kann, sondern Wahrheiten enthalten kann, die sich auf mehr als nur unser Universum und alle möglichen Welten beziehen.

Allerdings gibt es einige Fälle, in denen die Mathematik durch das, was über die empirische Realität verstanden wird, wie etwa die Quantenlogik, vorangebracht oder in Frage gestellt wird. Unser Wissen über reine Mathematik kann zuerst erweitert werden, dann eröffnet sich eine Anwendung im Universum um uns herum. Nicht-euklidische Geometrie und Spekulationen über höherdimensionale Geometrie in der Stringtheorie sind Beispiele. Oder, auf der anderen Seite, und angesichts der Geschichte, als die Infinitesimalrechnung von Leibniz und Newton unabhängig voneinander erfunden wurde, geschah dies für ihre direkte Anwendung in der Physik und so weiter. Die „unvernünftige Effektivität“, die empirische Realität über die ursprünglichen Anwendungen dieser mathematischen Werkzeuge hinaus zu erklären, übertrifft fast immer ihre ursprünglichen Anwendungen bei weitem und überraschend.

Die offensichtliche Widersprüchlichkeit, die Sie darlegen, ist das Ergebnis davon, dass Sie nicht erkannt haben, dass es zwei Arten von "Mathematik und Logik" gibt - und sie als eine behandelt !

Es gibt die „ natürliche “ Mathematik/Logik und die „ menschengemachte “ Mathematik/Logik.
Der erste Typ „existiert“, unabhängig von „uns“, weil das Universum existiert.
Der zweite Typ „existiert“, weil er von „uns“ geschaffen wurde.

Wenn sich Ihre Frage also auf den ersten Typ bezieht, „existieren sie ohne uns“. Wenn es sich auf den zweiten Typ bezieht, tun sie es nicht!