Eine Frage zu Russells Paradoxon

Betrachten Sie das „Set“ hinter Russells Paradoxon:

R. = {  x  | x ist eine Menge und x ∉ x  }

im Lichte von Cantors Mengendefinition ("Aggregat"/Menge) in seinen BEITRÄGEN ZUR BEGRÜNDUNG DER THEORIE DER TRANSFINITEN ZAHLEN (Dover-Ausgabe),

Unter einem „Aggregat“ … verstehen wir jede Sammlung zu einem Ganzen … M von bestimmten und getrennten Objekten m unserer Intuition oder unseres Denkens. Diese Objekte werden die „Elemente“ von M genannt.

Man sollte beachten, dass in dieser Definition „Gegenstand“ primär ist.

Wenn wir R noch einmal betrachten, hat R sicherlich Elemente und kann gemäß Cantors Definition der Menge definitiv als eines angesehen werden. Lassen Sie mich nun die Frage stellen, die uns zu Russells Paradox führt:

"Ist R ein Mitglied von R?"

Da R Elemente hat, kann es definitiv als „bestimmtes und separates Objekt unserer Intuition oder unseres Denkens“ betrachtet werden und als solches anscheinend bestimmte Attribute haben, die es erfüllen, und andere, die es nicht erfüllen.

Russells Paradoxon ist, dass die Annahme „R ist kein Mitglied von R“ impliziert „R ist ein Mitglied von R“, was wiederum impliziert „R ist kein Mitglied von R“.

Da die 'Gegenstandlichkeit' von R primär ist, warum macht es keinen Sinn zu sagen, dass R weder die Attribute '__ ist ein Mitglied von R', noch nicht-'__ ist ein Mitglied von R' korrekt zugeschrieben werden kann? Wenn dies der Fall ist, wird Russells Paradoxon aufgelöst, da es die Annahme ist, dass R entweder „__ ist ein Mitglied von R“ oder nicht – „__ ist ein Mitglied von R“ erfüllen muss, was uns scheinbar von Anfang an in das Paradoxon bringt .

Keine direkte Antwort, aber Sie finden Leśniewskis Mereologie vielleicht interessant, da sie zu einem erheblichen Grad von Russells Paradoxon motiviert ist (sowie Leśniewskis Abneigung gegen die leere Menge und aufgrund seines Nominalismus sein Beharren darauf, dass Singletons ihrem Einzelgänger gleich sind Mitglieder, dh x = {x}).
@danielm: Sie haben Recht - "naive" Mereologie ist sehr gut auf Russells Paradoxon und das Kontinuum anwendbar. Nehmen wir zum Beispiel an, dass die Welt im Grunde nichts als „Gunk“ ist (dh „Gunk“ ist primär) und man konstruiert Entitäten über ihre Attribute aus dem „Gunk“. Konstruieren Sie die Russell-Menge R aus dem 'Gunk' und R kann weder Mitglied von sich selbst sein noch nicht sein (dh diese Attribute können R nicht zugeschrieben werden). In Bezug auf das Kontinuum kann es nicht als eine Menge von Punkten definiert werden, daher ist die Kontinuumshypothese falsch.

Antworten (5)

Da die 'Gegenstandlichkeit' von R primär ist, warum macht es keinen Sinn zu sagen, dass R weder die Eigenschaften haben is a member of Rnoch ihr nicht is a member of Rkorrekt zugeschrieben werden kann? Wenn dies der Fall ist, dann wird Russells Paradoxon aufgelöst, da es die Annahme ist, dass R entweder is a member of Roder nicht erfüllen muss, is a member of Rwas uns scheinbar zu Beginn in das Paradoxon bringt.

Wenn ich Ihre Frage richtig verstehe, möchten Sie diese Mitgliedschaftsbeziehungen nicht zu unentscheidbaren Aussagen erklären (da die anderen Antworten Ihre Frage zu interpretieren scheinen); Sie möchten die Sammlung so einschränken R, dass sie keine festgelegte Mitgliedschaftsbeziehung hat.

Gute Nachrichten, Sie haben gerade die richtigen Klassen entdeckt!

Abgesehen von der Bemerkung zu Cantors "Objektivität", der ich nicht ganz folgen konnte, führt Sie Ihre Intuition in die richtige Richtung.

Analysieren wir die Situation:

R = { x : x ∉ x }Das Nachgeben R ∉ R ⇔ R ∈ Rkonnte in der Mengenlehre erreicht werden, weil ein informelles uneingeschränktes Verständnisprinzip verwendet wurde. Dem Problem kann also durch eine vorsichtige Einschränkung des Verständnisprinzips begegnet werden. Genau so wird es in der zeitgenössischen Mengenlehre gemacht , indem ein Axiomenschema des eingeschränkten Verständnisses verwendet wird . Das Ergebnis ist, dass ZFC es nicht erlaubt, zu definieren R, oder genauer gesagt, Rals reductio ad absurdum definiert werden kann, um zu beweisen, dass die "Menge aller Mengen" nicht existiert, dh die Annahme, dass ihre Existenz zu führt Widerspruch, der durch Russells Paradoxon beschrieben wird.

Der springende Punkt ist jedoch, dass der Beweis uns eigentlich sagt, dass die Menge aller Mengen keine Menge sein kann . Tatsächlich sagen uns das Russellsche Paradox ebenso wie das Cantorsche Paradox und das Burali-Forti-Paradox einfach alle, dass einige Sammlungen wie „die Menge aller Mengen“ keine Mengen sind . Der Vater der Mengenlehre, Georg Cantor , hielt diese Sammlungen, die er „ absolute Unendlichkeiten “ nannte, für außerhalb der Reichweite der Mathematik und ging mystisch über sie. Wie sich herausstellte, war diese Einschätzung zu pessimistisch. Die Sammlungen, die Cantor "absolute Unendlichkeiten" nannte, sind heute als echte Klassen bekannt . (Sie können zusätzlich dies konsultierenkurze Einführung ).

Einfach ausgedrückt kann der Begriff der Klasse folgendermaßen eingeführt werden:

Eine Klasse xist genau dann eine Menge, wenn es eine ysolche Klasse gibt, dass x ∈ y. Eine Klasse, die keine Menge ist, wird als echte Klasse bezeichnet.

Nehmen wir nun an, dass R ∉ R. Wenn Sie annehmen, dass R eine Menge ist, erhalten Sie einen Widerspruch, also R muss es sich um eine echte Klasse handeln .

Bei ZFC können wir nur informell über richtigen Unterricht sprechen . Allerdings gibt es alternative Grundlagensysteme, auch als Klassentheorien bekannt , die – Überraschung! - Erlauben, richtige Klassen formal neben Sätzen zu behandeln. Das "explizitste" dieser Systeme ist die Morse-Kelley-Mengentheorie , die neben Mengen auch echte Klassen als grundlegendes Objekt zulässt. Aber es gibt noch viele andere Ansätze .

Siehe auch:

Einige bemerkenswerte richtige Klassen:

Okay, also ich habe alles nach "Good news...!" gelesen. in Professor Farnsworths Stimme.
… Für die Uneingeweihten: Gute Nachrichten allerseits!
@DBK: Was ich zu sagen versuche ist, dass R immer noch eine Menge ist, weil es immer noch Mitglied einer Klasse y sein kann - es kann einfach weder Mitglied von sich selbst sein noch nicht sein - diese Attribute tun es einfach nicht gelten für R. Was Russell selbst sagt, ist, dass R keine Gesamtheit bildet (was natürlich richtig ist, wenn man davon ausgeht, dass die Mitte ausgeschlossen ist). Was ich sagen will, ist, dass die klassische Logik möglicherweise nicht die richtige Logik für die naive Mengenlehre ist, genauso wie die klassische Logik möglicherweise nicht die richtige Logik für Quantensysteme ist. Ich hoffe, das verdeutlicht – nicht verwirrt.
@Thomas: Mein Fehler. Was Sie aber mengentheoretisch auszudrücken versuchen, ist, dass eine bestimmte Mengenzugehörigkeitsbeziehung nicht selektiv gelten sollte, nämlich zwischen der Menge und sich selbst. (Es ist immer noch nicht klar, ob wir jede Menge von der Anwendung auf sich selbst oder nur R ausschließen sollten). Dies ist eine völlig willkürliche und ad hoc Beschränkung . Außerdem verstehe ich nicht, was das mit LEM im Allgemeinen zu tun hat. Aber selbst unter der Annahme, dass es irgendwie zusammenhängt, ist das immer noch keine Abkehr von der klassischen Logik, denn in allen anderen Mitgliedschaftsbeziehungen sollte LEM immer noch gelten, wenn Sie Ihrer Denkweise folgen.
@Thomas: Das nächste "Objekt", das Ihre Einschränkung erfüllt, das ich mir vorstellen kann, ist ein urelement . Diese Urelemente sind die "bestimmten und getrennten Objekte", auf die sich Cantor in seiner Definition bezieht, aber sie sind zunächst keine Mengen . Und ein Urelement Uist tatsächlich so definiert, dass es keine Elemente hat, also kann - in Ihrem Sprachgebrauch - ∉ immer noch von "ausgesagt" werden U.
@DBK: Außerdem habe ich Ihre Definition der richtigen Klasse überdacht: "Eine Klasse x ist eine Menge, wenn es eine Klasse y gibt, so dass x 'Mitglied von' y ist. Eine Klasse, die keine Menge ist, wird als richtige Klasse bezeichnet ". Dies scheint zu implizieren, dass R kein Mitglied einer Klasse sein kann, denn wenn dies der Fall ist, muss es per Definition ein Mitglied von sich selbst sein, aber dann besteht der Widerspruch erneut, sodass der einzige Ausweg aus dem Widerspruch darin besteht, zu schließen, dass die Attribute '___ ist ein Mitglied von R', '___ ist kein Mitglied von R' gelten nicht für R. Dies ist in gewisser Weise analog zu der Aussage mit Brouwer, dass die google-te Ziffer von pi 1 ist
kann weder 0 noch 1 sein, weil wir die google-te Ziffer von pi noch nicht berechnet haben. Wenn dies ein Grund dafür sein kann zu sagen, dass LEM nicht auf die gooleste Ziffer von Pi zutrifft (und Intuitionisten vertreten diese Ansicht genau aus diesem Grund), dann gilt LEM sicherlich nicht für R (obwohl R existiert). In Bezug auf Ihren Kommentar zu Urelementen nähern Sie sich dem Verständnis, was ich mit „Objektivität“ meine. Denken Sie daran, dass Cantors Definition von Menge/Menge/Aggregat besagt, dass es sich um "jede Sammlung in ein ganzes M von bestimmten und getrennten Objekten m unserer Intuition oder unseres Denkens" handelt.
Da M "ein bestimmtes und separates Objekt m unserer Intuition oder unseres Denkens" ist, hat es "Gegenstandlichkeit" und kann als solches Attribute A (M) haben, die von M abstrahiert werden können, aber wenn dies der Fall ist, kann M es auch haben Attribute A'(x), die weder auf M zutreffen noch nicht zutreffen. Dies scheint darauf hinzudeuten, dass die Aussage, dass weder '___ ist ein Mitglied von R' noch '___ ist kein Mitglied von R' auf R zutrifft, weder völlig willkürlich noch ad ist hoc, sondern eher eine gültige Entdeckung in der naiven Mengenlehre, die Cantor hätte entdecken können und sollen.
Stellen Sie sich das so vor: In der vedantischen Philosophie kann man sich vorstellen, dass Brahman alle Attribute hat, aber keine Attribute, aber das ist das Problem, wenn man über Brahman nachdenkt ...
Betrachten Sie auch Freges Grundgesetz V (übersetzt von JL Bell in seinen Kursnotizen „The Philosophy of Mathematics“):
^f=^g iff (x)[f(x) = g(x)], wobei ^f,^g die 'Verlaufswerte von 'f' und 'g' sind (Bell definiert 'Verlauf von Werten'). -Werte“ wie folgt: „Wenn f und g allen möglichen Werten ihrer Argumente dieselben Objekte zuweisen, würden wir sagen, dass sie beide denselben Wertverlauf haben; wenn f und g Begriffe sind, würden wir sagen, dass sie beide dieselbe Erweiterung haben.“ Er sagt auch, dass in den Grundgesetzen das logische Universum „zwei Arten von Entitäten umfasst: Funktionen und Objekte.“ „Jede Funktion f assoziiert mit jedem Wert x ihres Arguments ein Objekt f(x): wenn dies Objekt ist immer einer der beiden Wahrheitswerte
0 (falsch) oder 1 (wahr), dann heißt f Begriff oder Aussagefunktion, und wenn f(x)=1, sagen wir, dass x unter den Begriff f fällt." Fragen wir uns, was sind die Aussagefunktionen der Russell-Menge R, -R (es sei -R das Symbol für das Komplement von R)? Nach dem Russell-Paradoxon scheint es, dass der Wert der Satzfunktionen für die Wertverläufe R, -R beide 0 wäre und 1, aber dann einerseits, wenn die propositionale 'Funktion' für die Wertverläufe' R,-R nicht als Funktion (im modernen Sinn des Wortes - wenn auch evtl. bei Frege) wirken würde
Sinn des Begriffs) dann können nach der Definition des Universums der Grundgesetze weder R noch -R Teil der Erweiterung von R, -R sein und das Grundgesetz V gilt für die natürliche Einschränkung, dass f,g Funktionen im modernen Sinne sind ; definiert man andererseits f als die Aussagefunktion f von „x 'ist ein Mitglied von' R" und g als die Aussagefunktion von "x 'ist kein Mitglied von 'R", so ist f(R)= g(-R)=f(-R)=g(R) also scheint das Grundgesetz V in gewissem Sinne auch für R,-R zu „gelten“ (obwohl „Komplement“ nicht genau definiert ist), was sein soll zu erwarten, wenn das Grundgesetz V als "Gesetz der Logik" gilt....
@DBK: Selbst wenn R nach Ihrer Definition eine richtige Klasse ist, würde Russells Paradoxon immer noch für R, -R gelten, da es nach Ihrer Annahme von LEM immer noch entweder ein Mitglied oder kein Mitglied von sich selbst sein muss, es sei denn, Sie können produzieren eine positive Definition der Klasse, die sich vom Begriff der Menge unterscheidet.
@ThomasBenjamin Dies ist eine schrecklich übermäßige Verwendung von Kommentaren zur Darstellung. Eine der Lösungen hier en.wikipedia.org/wiki/Intuitionism sucht nach einer anderen Grundlage für Logik und enthält das LEM nicht vollständig, da die menschliche Logik eine weiterentwickelte Intuition ist, die sich weiterentwickeln kann, was sie nicht kann wenn schon alles entweder wahr oder falsch ist.
Eigentlich spricht er von Verzweigung und überhaupt nicht von richtigen Klassen. Lesen Sie seine Analyse. Er sagt nicht, dass R kein Mitglied von irgendetwas sein kann. Er sagt, dass es kein Mitglied von irgendetwas sein kann, das nicht danach definiert wurde.

Das Problem liegt im Verständnisprinzip;

das "Rezept", dem wir folgen, um ein Set zu konstruieren:

M = { x : Fx }

Definition von M als Menge aller Objekte x, so dass x die Eigenschaft F hat.

Bertrand Russell hat dieses Rezept geschrieben: R = {x : x ∉ x}

Und ein Paradox entsteht, wenn man fragt, ob R ein Element in R ist oder nicht!

Daher hat sich Cantors Mengenlehre (und Freges logisches System) als widersprüchlich erwiesen!

Das von Cantor erfundene Rezept muss angepasst werden, und hier ist ein Vorschlag.

M = {x : x ∈ M IFF Fx}

Definition von M als Menge aller Objekte x, so dass x ein Element in M ​​ist, IFF x hat die Eigenschaft F.

Jetzt kann x R nicht als Wert in der Formel annehmen:

R = {x : Definition von R als Menge aller Objekte x, so dass x ein Element in R ist, WENN x kein Element in x ist. x ∈ R IFF x ∉ x}

Und Cantors Mengenlehre und Freges Logik sind nicht mehr als widersprüchlich erwiesen.

Hier können Sie mehr über die ursprüngliche Mengenlehre lesen: https://en.wikipedia.org/wiki/Naive_set_theory#Cantor 's_theory

Antwort auf einen Kommentar von jobermark:

Es ist nicht "{x: Fx}", das "M" definiert. Der ursprüngliche Set-Konstruktor verwendet nicht den Namen des zu konstruierenden Sets. Die Benennung erfolgt außerhalb des Konstruktors durch Verwendung der Identitätsangabe „M={x:Fx}“. Inkonsistenz aktivieren, wenn F(M) = "M ∉ M".

Durch die Verwendung von "M" als Metavariable, die auf beiden Seiten der Identitätsaussage erscheint: M = {x : x ∈ M IFF Fx}, wird die Frage, ob M ein Element von M ist oder nicht, INNERHALB des Mengenkonstruktors von erledigt Widerspruch "M ∈ M IFF M ∉ M " und wir können nicht mehr von außen behaupten, dass M ein Element von M sein MUSS, wenn M kein Element von M ist.

Nicht vertraut mit Metavariablen? Siehe die Definition von Wahrheit: "x" ist wahr IFF x.

Es scheint, als wäre Cantor vor mir da gewesen! In einem Brief an Dedekind diskutierte er die Anpassung des Verständnisprinzips ... Thomas Benjamin gibt eine moderne Version von Cantors angepasster Theorie:

Naive Mengenlehre:

Extensionalität: Gegeben zwei Mengen A und B, A=B genau dann, wenn (x)[x 'ist ein Mitglied von' A genau dann, wenn x ein Mitglied von' B ist]

Verständnis: Zu jedem Prädikat P(x) existiert die Menge {x|P(x)} und

(a)[a 'ist ein Mitglied von' {x|P(x)} genau dann, wenn P(a)]

Und dann fragt Thomas, ob man aus dieser modifizierten Version von Cantors naiver Mengenlehre noch Paradoxien ableiten kann?

Ich habe nur gefragt, ob Russells Paradoxon abgeleitet werden kann!

Das Prädikat ist x ∉ x

Der Name der Menge ist {x|x ∉ x}

Und der Mengenkonstruktor ist: x ∈ {x|x ∉ x} IFF x ∉ x

Und Cantor würde dann endlich bekommen, dass es für kein x wahr ist, dass x = {x|x ∉ x}!

Aber es ist verwirrend, "{x|x ∉ x}" als Namen der zu konstruierenden Menge zu verwenden!

Wenn also das Prädikat als x ∉ x definiert ist, lege ich fest, dass R = {x|x ∉ x}

Also kann ich den Mengenkonstruktor mit R innerhalb von {x|x ∈ R IFF x ∉ x} haben

Und schließlich R = {x|x ∈ R IFF x ∉ x} (Meine Version)

Aber wir können R eliminieren, wenn wir die Cantors-Version wollen:

{x|x ∉ x} = {x| x ∈ {x|x ∉ x} IFF x ∉ x}

Ich mag Ihre Antwort, aber eine Referenz mit weiteren Informationen zum "Verständnisprinzip" würde dem Leser helfen und Ihre Antwort stärken. Eine Referenz wie plato.stanford.edu/entries/russell-paradox kann hilfreich sein.
Ich habe eine Bearbeitung vorgenommen, um den Aufsatz nach Ihren Vorschlägen zu verbessern.
Sehr gut. Ich habe Apostrophe hinzugefügt und zwei Zeilen kombiniert, da es sich um denselben Satz handelte. Sie können diese zurücksetzen, wenn Sie möchten.
NEIN! Ich freue mich über Editor-Hilfe!
OK, aber M = {x: Fx} definiert M bereits als die Menge, so dass x genau dann in M ​​ist, wenn Fx erfüllt ist. Ihre Notation kombiniert zwei gleichwertige Dinge auf eine Weise, die keinen Sinn ergibt. Wo Sie es verwendet haben, ist M noch nicht definiert. Es kann nicht verwendet werden, um seine eigene Definition durch Verständnis zu etablieren. Die Menge der Hunde ist offensichtlich die Menge der Dinge, die ein Hund sind und vier Beine haben (wenn man das seltsame Missgeschick ignoriert), aber das definiert nicht die Menge der Hunde, die eindeutig nicht die Menge aller Dinge ist, die vier Beine haben.
Können Sie Ihrem Beispiel über Hunde vielleicht eine formellere Kleidung geben? Ich kann nicht erkennen, dass dies ein Gegenbeispiel darstellen würde. (Würden Sie eine Konjunktion verwenden, wo ich eine Äquivalenz verwende?)

Sie haben R konstruiert und fragen nun, ob R ein Mitglied von R ist. Eine positive oder negative Antwort auf diese Frage führt zu einem Widerspruch. Sie lösen es, indem Sie sagen, dass R die Eigenschaften nicht haben kann: 'ist ein Mitglied von R' oder nicht - 'ist ein Mitglied von R'. Das ist absurd. Es ist, als würde man sagen, dass eine Aussage nicht „wahr“ oder „falsch“ sein kann. Solange Sie keine andere Logik als die Standardlogik verwenden, kann keine Aussage weder wahr noch falsch sein. (Das heißt, jede Aussage ist wahr oder falsch.)

Sie scheinen anzunehmen, dass Attribute Prädikate sind - wenn dies nicht der Fall wäre, warum müssen wir für sie eine ausgeschlossene Mitte annehmen? Angenommen, wir sagen, dass jedes Attribut R einem Prädikat R' zugeordnet ist, und dass R dann ein Attribut von T ist, wenn R'(T) notwendigerweise wahr ist. Dann gilt ausgeschlossene Mitte für diese Art von Attributen im Allgemeinen nicht.
Was ist mit der Kontinuumshypothese Ihres Namensgebers? Ich bin wirklich neugierig, könnte es sein, dass es entweder wahr oder falsch ist, aber einfach nicht bewiesen werden kann?
@CharlesStewart, ich hätte das Wort Attribute nicht verwenden sollen, ich meinte Eigenschaften. Falsch oder richtig, ich denke, meine Antwort ist klar. Das Problem mit dem Paradoxon ist die Definition von R. Sie können es nicht lösen, indem Sie sagen, dass R eine Menge ist, für die keine der beiden Aussagen 'ist ein Mitglied von R' und nicht-'ist ein Mitglied von R' zutrifft. Vielleicht sollten Sie erklären, was Sie mit Attributen meinen.
@ Koeng, Beweisbarkeit ist ein weiteres Problem. Es kann sicherlich nicht sowohl wahr als auch falsch sein (nach dem Gesetz des ausgeschlossenen Dritten).
Aber es scheint mir, dass wir nicht über die ausgeschlossene Mitte sprechen. Ich denke, es ist etwas anderes zu sagen, dass etwas "sowohl wahr als auch falsch" und "weder wahr noch falsch" ist. Oder nicht?
@Koeng, ich war etwas ungenau, ich habe die Gesetze von "Widerspruchsfreiheit" und "ausgeschlossener Mitte" verwechselt. Ich gehe von den folgenden drei Gesetzen der klassischen Logik aus: editthis.info/logic/The_Laws_of_Classical_Logic
Die Frage spricht von Attributen und erklärt sie nicht. Ich habe eine modale Interpretation von Attributen gegeben, für die die ausgeschlossene Mitte nicht gilt. Ich bin verwirrt über die Frage, aber ich stimme zu, dass Sie Ihren Ausweg aus einem Widerspruch nicht festlegen können - wenn die Frage eher von Befriedigung als von Attributen sprechen würde, hätte ich nicht kommentiert.
Einer der Punkte, die ich zu erreichen versuche, ist, dass man klassische Logik nicht a priori (z. B. Quantenlogik) annehmen kann, sondern es dem Bereich des Diskurses überlassen kann, die ihm angemessenen Gesetze der Logik zu bestimmen. Wenn man davon ausgeht, dass Mengen Objekte unserer Intuition oder unseres Denkens sind, die zu einem „Ganzen“ zusammengefasst werden können, dann können solche Objekte bestimmte Attribute haben (die von diesen Objekten abstrahiert werden können) und andere nicht. Es ist sogar möglich, dass solchen Objekten weder bestimmte Eigenschaften noch deren Negationen zuzuschreiben sind (man beachte Brouwers Kritik am Gesetz des ausgeschlossenen Dritten).
Lassen Sie mich aus van Heijenoort (FROM FREGE TO GODEL: A Sourcebook in Mathematical Logic, S. 125) Russells eigene Formulierung des Paradoxons zitieren: „W sei das Prädikat: ein Prädikat zu sein, das nicht von sich selbst ausgesagt werden kann. Kann w sein von sich selbst ausgesagt? Aus jeder Antwort folgt das Gegenteil. Daher müssen wir schließen, dass w kein Prädikat sein kann. Ebenso gibt es keine Klasse (als Gesamtheit) jener Klassen, die, jede als Gesamtheit genommen, nicht zu sich selbst gehören Daraus schließe ich, dass eine bestimmbare Menge unter Umständen keine Gesamtheit bildet.“
Wenn die Menge aller Mengen, die nicht in sich selbst enthalten sind, nicht als Gesamtheit betrachtet werden kann, nur weil alle bis auf eine Entität (dh R) widerspruchsfrei zu einem Ganzen zusammengefasst werden können, ist es dann nicht vernünftiger anzunehmen, dass R weder '__ ist ein Mitglied von R' noch '__ ist kein Mitglied von R', das R zugeschrieben wird, als zu dem Schluss zu kommen, dass R keine Gesamtheit ist (das Universum V von ZFC ist sicherlich eine Klasse von 'Mengen, die nicht in sich selbst enthalten sind', also tut R dies in gewissem Sinne sicherlich vorhanden)?
Die Herablassung ist nicht gerechtfertigt. Eine der vernünftigsten Lösungen für dieses Problem besteht darin, das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte abzulehnen, indem Sie eine physisch und psychologisch realistischere Grundlage für Ihre Logik wählen als die klassische „Standard“-Basis. Es ist überhaupt nicht klar, dass dies nicht der beste Ansatz ist.

Offensichtlich funktioniert das, aber Sie brauchen etwas, das einem Grund ähnelt:

  • Sie können das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte über Bord werfen, was zu einer grundlegenderen „intuitionistischen“ Logik führt.
  • Sie können beim Erstellen von Sets auf einer inhärenten Ordnung bestehen, was zu dem ausgeklügelten und unnatürlichen Konstrukt von ZFC und seinen Verwandten führt
  • Sie können behaupten, dass der Begriff "ein Element zu sein" einfach nicht auf bestimmte Arten von Objekten zutrifft, einschließlich Sammlungen, die "zu groß" und solche sind, die nicht "fundiert" sind.
  • Sie können implizieren, dass alle Referenzen in einer Sprache eine natürliche Reihenfolge der Auflösung haben, beginnend mit dem in der Frage vorgeschlagenen Ansatz bis hin zu Russels und Quines ausgefeilten und unnatürlichen Vorstellungen von „Verzweigung“, um immer mehr Sonderfälle zu behandeln.
  • Sie können behaupten, dass die Negation nicht vollständig ist, und einige Widersprüche in Ihrer Logik als Sonderfälle zulassen
  • Sie können ein riesiges Projekt zur Beschreibung aller Formen der Ordnung durchlaufen und ein maximal stabiles Modell suchen, wobei Sie akzeptieren, dass Containment, da die grundlegendste Art der Ordnung isomorph zu diesem maximal stabilen Modell sein muss , wenn es sich als einzigartig erweist

Alle diese und andere funktionieren. Und sie alle sind ohne eine bessere philosophische Grundlage als die Notwendigkeit, dieses Problem zu lösen, sehr schwer zu akzeptieren.

Sie haben also keine Antwort gegen zu viele Antworten eingetauscht, und da sich alle albern anfühlen, sind Sie auf den ersten Blick nicht besser aufgehoben. Es bleibt wahr, dass Logik im durch und durch klassischen Sinne nicht richtig sein kann, wenn es um unsere Vorstellungen von Containment, Universalität und Negation geht, wie wir sie alle naiv verstehen – in einem vollständig aufgelösten und unveränderlichen platonischen Bereich. Ein Teil unseres natürlichen Modells ist von Natur aus nicht korrekt.

Das Paradoxe ist dann, welchen Teil Ihres naiven und natürlichen Verständnisses Sie verwerfen möchten, um sich sicher zu fühlen, und wie wir uns über etwas so Grundlegendes einigen können, damit die Evolution der Mathematik voranschreiten kann. Und es ist nicht einfacher zu lösen als das ursprüngliche Problem.

Die moderne „Lösung“ bestand darin, all diese Lösungen zu finden und eine von ihnen durch Zahlen aufzuzwingen – ein bizarrer politischer Prozess, der dem Begriff der Mathematik selbst fremd ist.

Bertrand Russell hatte eine Inkonsistenz in Freges noch zu veröffentlichender Axiomatisierung der Mengenlehre entdeckt. Unter Verwendung von Freges Axiomen demonstrierte Russell, dass die Menge aller Mengen, die keine Elemente ihrer selbst sind, sowohl als existierend als auch als nicht existierend bewiesen werden konnte. Nachfolgende Axiomatisierungen der Mengenlehre haben es geschafft, dieses Problem zu vermeiden.

Beachten Sie, dass das Problem nicht die Selbstreferenz ist. Es kann trivialerweise gezeigt werden, dass es für jede binäre Relation R kein x gibt, sodass für alle y genau dann yRx gilt, wenn nicht yRy.

Eine Frage zu Russells Paradoxon
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