Warum ist Cantors diagonales Argument nicht nur ein Paradoxon?

Es gibt keine Rechtfertigung für das eine oder andere.

Russells Paradoxon ist ein Paradoxon, wenn Sie an uneingeschränktes Verständnis glauben** (für jedes P gibt es eine Menge {x | P}), oder zumindest wenn Sie glauben**, dass die Menge {x | x ∉ x} existiert. Das Russel-Paradoxon ist kein Paradoxon, wenn man daraus schließt, dass die Menge {x | x ∉ x} existiert nicht.

Cantors Diagonalargument ist paradox, wenn Sie glauben**, dass alle unendlichen Mengen dieselbe Kardinalität haben, oder zumindest wenn Sie glauben**, dass eine unendliche Menge und ihre Potenzmenge dieselbe Kardinalität haben. Cantors Diagonalargument ist kein Paradoxon, wenn man daraus schließt, dass die Kardinalität einer Menge nicht die ihrer Potenzmenge ist.

** „glauben“ muss hier nicht wörtlich interpretiert werden. Es kann zB ersetzt werden durch „haben als Axiom einer Mengenlehre“.

Ein Paradoxon (in diesem Zusammenhang) besteht aus zwei Sätzen, die sich widersprechen.

Russells Paradox besteht beispielsweise aus den beiden Sätzen „R ist ein Element von R“ und $R ist kein Element von R“ (wobei R für die Russell-Menge steht.

Im Fall von Cantor haben wir einen Satz, nämlich dass es keine surjektive Abbildung von den natürlichen Zahlen zu den reellen Zahlen gibt. Damit dies Teil eines Paradoxons ist, bräuchten wir einen zweiten Satz, der besagt, dass es eine surjektive Abbildung von den natürlichen Zahlen zu den reellen Zahlen gibt. Niemand (oder genauer gesagt niemand, der die Standardaxiome der Mengenlehre verwendet) hat einen solchen Satz bewiesen, also gibt es kein Paradoxon.

Gut erkannt. Es stellt sich heraus, dass eine Reihe traditioneller Paradoxien auf dem sogenannten Diagonalargument beruhen, das als Fixpunktargument interpretiert werden kann, wie die Zusammenfassung dieses Artikels von Yanufsky zeigt:

In Anlehnung an F. William Lawvere zeigen wir, dass viele selbstreferenzielle Paradoxien, Unvollständigkeitssätze und Fixpunktsätze aus demselben einfachen Schema herausfallen. Wir demonstrieren diese Ähnlichkeiten, indem wir zeigen, wie dieses einfache Schema die semantischen Paradoxien umfasst und wie sie als Diagonalargumente und Fixpunkttheoreme in Logik, Berechenbarkeitstheorie, Komplexitätstheorie und formaler Sprachtheorie entstehen.

Tatsächlich verfolgt Yanufsky einen weniger ausgefeilten Ansatz gegenüber Lawvere, der die Kategorientheorie verwendet, um den Fixpunktsatz aufzustellen; aber er spielt darauf an.

Eine Interpretation von Paradoxien in der Mathematik ist zu sagen, dass etwas im verwendeten allgemeinen Rahmen falsch ist; im Fall von Cantor musste er seinen „mathematischen“ Rahmen erweitern, um einen neuen Begriff von Unendlichkeiten (Kardinalitäten) aufzunehmen; und in Russells Fall verzweigte er seine Typentheorie; dh statt nach Typ gab es eine Hierarchie von ihnen

Russells Paradox verwendet eine Kombination aus Logik und Mengenlehre, um einen Widerspruch zu „beweisen“ – X <- X iff X </- Xbehauptet, dass zwei entgegengesetzte Aussagen äquivalent sind. Daraus können wir nach dem Explosionsprinzip alles beweisen, was wir wollen . Wenn wir wollen, dass die Mengentheorie nützlich ist, muss dies gelöst werden, indem die Mengentheorie geändert wird, um zu verhindern, dass wir die Menge aller Mengen erstellen, die sich selbst nicht enthalten. Dies widerspricht unseren bisherigen Überzeugungen über die Mengenlehre.

Andererseits ist die Auflösung des Widerspruchs in Cantors Diagonalisierungsargument viel einfacher. Die Resolution ist tatsächlich der Gegenstand des Arguments – es ist das, was wir zu beweisen versuchen. Die Entschließung erweitert die Theorie, anstatt uns zu zwingen, sie zu ändern, um einen Widerspruch zu vermeiden.

Cantors diagonales Argument am Ende demonstriert " Wenn die ganzen Zahlen und die reellen Zahlen die gleiche Kardinalität haben, dann erhalten wir ein Paradoxon". Beachten Sie das große Wenn im ersten Teil. Da das Paradox von der Annahme abhängt, dass ganze und reelle Zahlen die gleiche Kardinalität haben, muss diese Annahme falsch sein und ganze und reelle Zahlen haben unterschiedliche Kardinalitäten.

Wenn Sie nun einen Beweis dafür finden würden, dass ganze und reelle Zahlen die gleiche Kardinalität haben, dann könnten wir Ihren Beweis und Cantors Diagonalargument hinzufügen und ein echtes Paradoxon haben. Dies ist sehr unwahrscheinlich.

In Bezug auf Witrgensteins Kommentar zum Beweis denke ich, dass er darauf hinauswollte:

Zwischen zwei endlichen Mengen sagen wir, dass sie die gleiche Anzahl von Elementen haben, wenn wir sie in eine Eins-zu-eins-Korrespondenz bringen können. Cantors Beweis wird so interpretiert, dass es Kardinalitäten von Unendlichkeiten gibt, wobei die Realen von einer größeren Art von Unendlichkeit sind. Es wird als eine wichtige Entdeckung in der Natur unendlicher Mengen angesehen. Ich denke, Wittgenstein sagt, dass es nicht wirklich eine Entdeckung über Mengen ist, sondern vielmehr eine mathematische Schöpfung. Durch die Verwendung von Begriffen wie „Kardinalität“, „Menge“ und „Eins-zu-Eins-Korrespondenz“ klingen wir so, als hätten wir etwas über sie entdeckt, anstatt neue Formen dieser Begriffe mit anderen Eigenschaften als ihren üblichen zu konstruieren . In seinen Augen könnte das Problem darin bestehen, dass Sie den Begriff "Set" verwenden, wenn Sie sagen: "

Das einzige Paradoxon, das mit Cantors diagonalem Argument verbunden ist, ist die Tatsache, dass so viele Mathematiker daran glauben. Cantors erste Prämisse ist bereits falsch, nämlich dass die "Liste" alle Zählzahlen, also natürliche Zahlen, enthalten kann. Es gibt keine vollständige Menge natürlicher Zahlen in der Mathematik, und dafür gibt es einen einfachen Beweis: Bis zu jeder natürlichen Zahl n ist die Strecke 1, 2, 3, ..., n endlich und es folgen potenziell unendlich viele weitere natürliche Zahlen. Cantor beweist einfach, dass seine Prämisse falsch ist.

Aber selbst wenn wir seine Idee akzeptieren, werden wir niemals eine echte "Diagonalzahl" erhalten, da eine reelle Zahl nicht durch Ziffern definiert ist, es sei denn, es gibt eine letzte.