Tractatus 3.333 und Russells Paradoxon

Wittgensteins Verständnis von Russells Typentheorie ist sehr oberflächlich und wirr, aber ich werde mich bemühen, das zu interpretieren, was er sagt.

Wittgenstein glaubt, dass der Prototyp einer Funktion bestimmt, welche Art von Argument sie annehmen kann – genau so definieren einige Computersprachen wie C Funktionen. Da die Funktion auf diese Weise definiert ist, ist die resultierende Bedeutung bei anderer Verwendung undefiniert:

F(x) ist als eine Funktion definiert, die Individuen als Argumente akzeptiert.

G(U(x)) ist definiert als eine Funktion, die Funktionen erster Ordnung als Argumente verwendet, wobei Funktionen erster Ordnung diejenigen sind, die nur Individuen als Argumente verwenden.

Da F(x) nur Individuen als Argumente annehmen kann, ist die Bedeutung von F(F(x)) undefiniert.

Angenommen, es gibt so etwas wie F (F (x)), die äußere Funktion nimmt Funktionen erster Ordnung als Argumente, die innere Funktion nimmt einzelne als Argumente, daher sind sie eigentlich unterschiedliche Funktionen, die dasselbe Symbol verwenden.

∃ bedeutet, dass es existiert. (∃Φ):F(Φ(u)).Φ(u)=Fu bedeutet, dass es eine Funktion 1. Ordnung Φ gibt, so dass Φ die Funktion 2. Ordnung F(Φ(u)) erfüllt und Φ(u) = Fu. Wittenstein versucht zu zeigen, dass F(Φ(u)) und Fu verschiedene Funktionen sind, die nur den Buchstaben F gemeinsam haben.

Wenn man Wittgensteins Symbolmissbrauch ignoriert, kann man seine Argumentation so vereinfachen: Ich habe diesen Korb nur für Äpfel bestimmt, deshalb darf man keine Körbe in diesen Korb stellen, und wenn man einen Korb in einem anderen Korb sieht, muss der äußere Korb ein ganz anderer sein Art von Korb. Im Grunde hat Wittgenstein nur gezeigt, wie die Theorie der Typen funktioniert, aber es versäumt, die zugrunde liegenden Prinzipien und Bedenken zu erklären, die zur Theorie der Typen geführt haben.

Whitehead und Russell beriefen sich in Principia Mathematica auf das Prinzip des Teufelskreises , um das Russell-Paradoxon zu zerstreuen. Das Prinzip des Teufelskreises besagt, dass eine Gesamtheit sich selbst nicht als Bestandteil enthalten darf, da die Gesamtheit nicht bestimmt werden kann, bis jeder ihrer Bestandteile bestimmt ist; wenn einer der Bestandteile die Gesamtheit selbst ist, dann ist die Gesamtheit unbestimmt.

Das Teufelskreisprinzip bestimmt, warum eine Funktion sich nicht selbst als Argument nehmen darf.

Eine Funktion Fŷ – man beachte den Hut – bezeichnet eine Gesamtheit. Angenommen, es gibt nur zwei Individuen auf der Welt, Sokrates und die Erde, dann bezeichnet die Funktion „ŷ ist ein Mensch“ die Gesamtheit {Sokrates ist ein Mensch, die Erde ist ein Mensch}. Daraus folgt, dass die Bedeutung von Fŷ seine Werte voraussetzt oder von ihnen abhängt.

Fy – hier kein Hut – bezeichnet einen der Werte von Fŷ, wenn y begründet ist, dh entweder „Sokrates ist ein Mensch“ oder „die Erde ist ein Mensch“, aber mehrdeutig. Daraus folgt, dass Sätze der Form Fy Fŷ nicht beinhalten dürfen, weil Fŷ unbestimmt ist, bis Fy bestimmt ist, und falls Fy von Fŷ abhängt, Fy unbestimmt ist. Daher hat F(Fŷ) keine Bedeutung.

Eine ähnliche Frage wurde auf SE und Antwort gepostet, die ich hier wiedergegeben habe:

Wittgenstein spielt darauf an, wie Russell selbst das Paradoxon gelöst hat – die Theorie der verzweigten Typen. Darauf spielt er an in:

3.332 Kein Satz kann etwas über sich selbst aussagen, weil das Satzzeichen nicht in sich selbst enthalten sein kann (das ist die „ganze Typenlehre“).

Und er formuliert neu als

3.333 Eine Funktion kann nicht ihr eigenes Argument sein, weil das Funktionszeichen bereits den Prototyp ihres eigenen Arguments enthält und sich selbst nicht enthalten kann.

Ein Funktionszeichen ist einfach das Zeichen der Funktion; die Funktion ist das, was das Zeichen bedeutet. Er erweitert, was er damit meint:

Nehmen wir beispielsweise an, dass die Funktion F(fx) ihr eigenes Argument sein könnte, dann gäbe es einen Satz „F(F(fx))“, und in diesem müssten die äußere Funktion F und die innere Funktion F stehen unterschiedliche Bedeutungen;

denn das Innere hat die Form g(fx), das Äußere die Form h(g(fx)).

Das heißt, F (F(fx)) unterscheidet sich von F( F (fx)), weil sie im Ausdruck verschiedene Dinge bedeuten, dh sie haben verschiedene Bedeutungen oder genau Funktionen; und nur das Zeichen „F“ ist beiden gemeinsam, wie er behauptet:

Beiden Funktionen gemeinsam ist nur der Buchstabe „F“, der an sich nichts bedeutet.

und von

Das wird sofort klar, wenn wir statt „F(F(u))“ schreiben „Es gibt g : F(gu). gu = Fu“.

Damit verschwindet Russells Paradoxon .

Diese Auflösung wird auch in dem von user4894 angehängten Artikel, Wittgensteins Tractatus 3.333 und Russells Paradox von Urmas Sutrop, diskutiert:

Auf der anderen Seite weist Ostrow darauf hin, dass es kein Paradoxon gibt. „In ‚F(F(fx))‘ werden das erste ‚F‘ und das zweite nicht die gleiche Bedeutung haben, da, um die Russellsche Terminologie zu verwenden, das erste ‚F‘ über Aussagenfunktionen vom Typ n reicht, während das zweite ‚F‘ die gleiche Bedeutung hat reicht über Funktionen vom Typ n + 1“ (Ostrow 2002: 66-67). In diesem Fall spielen die inneren und die äußeren Funktionen unterschiedliche Rollen und der gemeinsame Buchstabe F, der beide Funktionen bezeichnet, ist überhaupt nicht verwirrend. Dies ist ein sehr vielversprechender Ansatz, aber leider ist die Wittgensteinsche Formel „(∃φ) : F(φu) . φu = Fu“ wird in dieser Arbeit überhaupt nicht diskutiert.

Ostrow, Matthew B. (2002) Wittgensteins Tractatus: eine dialektische Interpretation .

Ich bin zwar etwas überfordert, aber ich finde Russells Lösung eher wie ein Heftpflaster und bevorzuge die Lösung seines Kollegen George Spencer Brown. Russell selbst schien es zu mögen, obwohl er seine Bedeutung nicht ganz zu verstehen schien.

Der Grund wäre, dass das Paradoxon in der Metaphysik auftaucht, wo die Lösung von R keine Hilfe ist, aber die Lösung von GSB funktioniert. Die Theorie der Typen/Klassen erscheint mir wie ein technischer Fudge, aber vielleicht liegt das nur daran, dass ich kein Mathematiker bin.

Verzeihen Sie, wenn dies nicht zum Thema gehört.