Kann irgendein logisches System die unmögliche Lösung für Russells Paradox in der naiven Mengenlehre liefern?

In der naiven Mengenlehre in der klassischen Logik können wir Russells Mengenparadox nicht beschreiben oder eine Lösung finden (es ist unmöglich).

Aber gibt es irgendein logisches System oder irgendeine Methode, die diese Lösung liefern kann? Gibt es ein logisches System oder eine Methode, mit der wir diese Lösung finden und beschreiben könnten? Würde Trivialismus die Arbeit erledigen (da dort Widersprüche und unmögliche Dinge erlaubt sind)?

Triviale Logiken sind genau so trivial.
In der naiven Mengentheorie können wir (unter Verwendung) der klassischen Logik Russells Menge beschreiben und zeigen, dass sie einen Widerspruch erzeugt.
„Gibt es irgendein logisches System oder irgendeine Methode, die diese (für das Paradoxon) Lösung liefern kann?“ Ja: siehe Axiomatische Mengenlehre .
@MauroALLEGRANZA Aber in einem Logiksystem, in dem unmögliche Dinge passieren können, wie im Trivialismus, könnten wir nicht die unmögliche Lösung finden, die in der klassisch-logisch-naiven Mengenlehre für Russells Paradoxon nicht existieren kann (da es unmöglich ist, sie zu finden, nicht wir es in einem logischen System finden können, in dem unmögliche Dinge gültig sind oder gefunden werden können, wie im Trivialismus)?
Bereits zweimal gefragt (und beantwortet) ... Siehe auch Parakonsistente Mengenlehre : "Die naiven und intuitiv korrekten Axiome der Mengenlehre sind das Verständnisschema und das Erweiterungsprinzip . [...] Daraus folgt, dass r∈r ∧ r ∉r . Ein parakonsistenter Ansatz ermöglicht es, Theorien der Sethood zu haben, in denen die mathematisch grundlegenden Intuitionen über diese Begriffe respektiert werden. Es gibt mehrere Ansätze zur Mengentheorie mit naivem Verständnis über paraconsistente Logik.
@MauroALLEGRANZA und ist "axiomatische Mengenlehre" "innen" oder Teil der klassischen Logik? aber wenn wir in der klassischen Logik die Lösung für Russells Mengenparadoxon in der naiven Mengentheorie nicht finden/beschreiben können, wie könnte dies möglich sein? Und wenn es nicht Teil der klassischen Logik ist, könnten wir dann hier die unmögliche Lösung finden, die es in der klassisch-logisch-naiven Mengenlehre für Russells Paradoxon nicht geben kann?
@MauroALLEGRANZA, aber ein Philosoph hat mir einmal gesagt, dass ZFC nicht gerade die unmögliche Lösung ist, die wir in der klassischen Logik und der naiven Mengenlehre nicht finden/beschreiben können.
@MauroALLEGRANZA "Angesichts der Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie (ZFC) existiert Russells Menge nicht, und jedes Objekt, das die Beschreibung von Russels Menge erfüllt, ist tatsächlich eine Menge. Daher sind alle Aussagen zu Russells Menge angesichts der ZFC bestenfalls vage wahr. und implizieren nichts. Dies vermeidet, dass die Existenz von Russells Menge die Logik selbst bricht. Die Scott-Potter-Mengentheorie löst das Paradoxon auf die gleiche Weise.
@MauroALLEGRANZA "Ich wollte sagen, angesichts von ZFC ... kein Objekt, das die Beschreibung von Russells Menge erfüllt, ist tatsächlich eine Menge." Und gibt es neben der axiomatischen und parakonsistenten Mengenlehre auch eine trivialistische Mengenlehre?
Mögliches Duplikat von Gibt es ein logisches System / eine logische Methode, bei der unmögliche / unlogische / inkonsistente Dinge existieren können (wie eine sinnvolle Lösung für Russells Paradoxon)? Dies ist ein dritter Beitrag, der die gleiche Frage stellt, es gibt einen Grund, warum wir Regeln gegen Duplikate haben.
@MoziburUllah Und könnten diese trivialen Logiken diese Lösung liefern? Ich meine, könnten wir hier die unmögliche Lösung finden, die es in der klassisch-logisch-naiven Mengenlehre für Russells Paradoxon nicht geben kann?
Heutzutage bieten die gewöhnliche Mengenlehre und Logik eine Lösung für RP. Seit einem Jahrhundert oder länger ist dies kein Thema in der Mathematik. Ein paar Eiferer scheinen immer noch auf das sogenannte Lügnerparadoxon einzuhämmern, aber ihre Lösung scheint darin zu bestehen, gewisse Ungereimtheiten in ihrem Logiksystem zu akzeptieren. Klingt für mich nach einer Sackgasse. Oder vielleicht muss es nur ein bisschen angepasst werden. Sie könnten sie trotzdem nachschlagen, aber LP war in der Mathematik AFAIK nie ein Thema.

Antworten (1)

Die Idee ist, die Sammlung aller Mengen als einen anderen Objekttyp zu betrachten.

Üblicherweise werden solche Objekte als Klassen bezeichnet . Die Bernays-Gödel-Mengentheorie ist eine Theorie (konservative Erweiterung der ZFC), die Klassen einschließt und in der daher die Klasse aller Mengen ein wohldefiniertes Konzept ist.

Natürlich hätte die Klasse aller Klassen die gleichen Probleme wie die Menge aller Mengen, was aber dadurch vermieden wird, dass in BG nicht über Klassen quantifiziert werden kann.

Professionelle Mathematiker, die nicht in Logik oder Mengentheorie arbeiten, dh die meisten von ihnen, gehen entspannter mit Klassen um und verwenden sie meist als halbrigorose Objekte, wobei sie darauf achten, sie nicht zu quantifizieren, sondern sie im Wesentlichen als Mengen verwenden. Ein solches Beispiel ist die Kategorientheorie, in der viele der üblicherweise verwendeten Kategorien Klassen sind.

Kann irgendein logisches System die unmögliche Lösung für Russells Paradox in der naiven Mengenlehre liefern?
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