Wie lässt sich Gödels Theorem auf das tägliche Leben anwenden?

Ich bin auf eine vereinfachte Beschreibung des Satzes von Gödel gestoßen, und die Diskussion berührt ein Konzept von Ehrlichkeit (Wahrheit?) Und Vollständigkeit. Wie lässt sich Gödels Theorem auf alltägliche Interaktionen anwenden?

Es geht um Wahrheit, nicht um Ehrlichkeit. Die Idee ist, dass es mit einem ausreichend leistungsfähigen formalen System entweder (a) vollständig sein kann und es nicht „kennen“ kann; oder (b) seine Vollständigkeit „kennen“ und ≥ 1 Widerspruch enthalten. Eine Möglichkeit, dies zu beschreiben, ist, dass „Wahrheit stärker ist als Beweisbarkeit“.
Das tut es nicht .
@Mauro ALLEGRANZA - Können Sie erklären, warum das nicht der Fall ist?
Ich bin mir nicht sicher, ob Gödel überhaupt einen großen Einfluss auf das tägliche Leben der großen Mehrheit der Mathematiker hatte. Bisher waren die Einschränkungen, die er ihrer Arbeit auferlegt hat, nicht allzu restriktiv – höchstens eine kleine Bremsschwelle. Die Mathematik wächst sprunghaft weiter.
@Motivated Zunächst einmal, weil Goedels Unvollständigkeitssätze nur für Axiomensysteme gelten, die leistungsfähig genug sind, um Arithmetik erster Ordnung auszudrücken. Dies ist eine erhebliche Einschränkung und wird ausnahmslos bei Pop-Sci-Invokationen der Theoreme weggelassen.
Turings Beweis der Unlösbarkeit des Halteproblems ist im Wesentlichen eine rechnerische Variante von Gödels erstem Unvollständigkeitssatz. Es gibt eine verwandte Frage zur praktischen Bedeutung des Halteproblems bei Computer Science Stack Exchange.
@David Richerby - Danke David. Was meinen Sie mit „Axiom“-Systemen?
@Motivated Google ist Ihr Freund, oder stellen Sie eine separate Frage. Ein 500-Zeichen-Kommentar ist viel, viel zu kurz, um darauf zu antworten.
„Heute, morgen, übermorgen, übermorgen …“ Können wir aus dieser Reihe von Wörtern ein Axiomensystem ableiten, das mächtig genug ist, um Arithmetik erster Ordnung auszudrücken?

Antworten (3)

Es wird sich vielleicht nie auf Ihren Alltag auswirken, aber es hat unser Vertrauen in starre logische Methoden als Kultur geschwächt. Wenn selbst die Mathematik diese Art der vollständigen Abdeckung eines Bereichs nicht erreichen kann, gibt es einen guten Grund zu der Annahme, dass wir die Rolle von Regeln in der Wissenschaft gewohnheitsmäßig überschätzen.

Ich denke, dass die Verschiebung, mehr von der menschlichen Seite der wissenschaftlichen Forschung zu sehen und zuzugeben, dass sie stark vom persönlichen Glauben beeinflusst wird, durch die Bremse entfesselt wurde, die diese Art von Ergebnis dem logischen Positivismus auferlegt.

Es ist in der Tat die erste postmoderne Tatsache. Selbst wenn Sie nicht den ganzen Weg der Postmoderne gehen, behält sie den Fehler im Ohr, dass die absolute Moderne nach mehr strebt, als realistisch erreicht werden kann. Soziologie, Glaube, menschliche Natur usw. sind am Ende wirklich wichtig und werden nicht nur durch die schiere Macht eines Systems überrollt.

Ich mag das, aber ich denke, Sie schreiben Goedel und dem Untergang des logischen Positivismus viel zu viel zu, indem Sie sagen, dass diese in erheblicher Weise "unser Vertrauen in Methoden als Kultur geschwächt" haben oder dass sie so viel damit zu tun haben der Aufstieg der Postmoderne, obwohl es eine interessante Parallele ist (weshalb ich das mag).
Haben Sie ein Zitat für die Behauptung, dass Gödels Theoreme „unser Vertrauen in Methoden geschwächt“ haben?
Was meinen Sie mit „unser Vertrauen in Methoden“? „Die Methodologien“ stützten sich schon vor Gödel auf Axiome. Er beendete nur die Suche nach einem Weg, sie loszuwerden.
Ich meine nicht direkte Wirkung, ich meine kulturellen Einfluss auf die Entscheidungsfindung. Wir hätten wahrscheinlich weder die Postmoderne ohne Kuhn noch Kuhn ohne Turing noch Turing ohne Gödel gehabt. Es ist die Auffassung der harten Linie, die das Gleichgewicht gegen den Glauben kippte, dass sich die Wissenschaft nicht rückwärts bewegt.
Auch hier ist die Vorstellung, dass „wir ohne Kuhn wahrscheinlich keine Postmoderne gehabt hätten“, apokryphisch. Kuhn wurde von postmodernen Denkern gut aufgenommen und gefördert, aber er spielte keine vorletzte Rolle bei der Formulierung des postmodernen Denkens.
Anders ausgedrückt, man könnte eine Liste aufstellen, die zB Freud, Heisenberg, Husserl, Kafka usw. enthält, und eine ähnliche historische Bedeutung für das beanspruchen, was Sie rein Goedel und Turing zugeschrieben haben.
@jobermark - Bedeutet das, dass Gödels Theorem nicht auf alltägliche Gespräche oder Interaktionen angewendet werden kann?
@goldilocks: OK, die Idee, dass Sie eine kritische Masse an Dingen brauchen, um irgendwohin zu gelangen, und wenn Sie eine der Quellen weglassen, würden Sie sie nicht erreichen, ist nicht mysteriös. Ich schreibe nicht alles einer gegebenen Liste von Leuten zu. Hör auf, den Leuten Worte in den Mund zu legen. Diese anderen Leute haben es nicht mit Fakten der gleichen Art zu tun, Goedel spielt eine Rolle, die ich ihm gegeben habe, indem es seine Fakten und nicht seine Ideen sind, die zu dieser Entwicklung beitragen. Er wäre nicht glücklich gewesen, sie auf diese Weise benutzt zu sehen. Heisenbergs Fakten warteten eine Weile auf ihre Bestätigung, während Mathematik unmittelbarer ist.
@Motivated Der Kontext des täglichen Lebens ist selten klar genug, um Mathematik höherer Ordnung direkt darauf anzuwenden. Und Goedel gilt nur für eine bestimmte Ebene der Mathematik, eine mit Arithmetik, aber ohne benannte Mengen von Mengen. Sie würden es also schwer haben, jemals eine echte Anwendung zu finden.
OTOH, Ideen haben Einfluss, einfach weil sie da sind. Haben Sie sich Douglas Hoffstadter angesehen? Er gibt einen guten Eindruck davon, wie die Nützlichkeit der selbstmodifizierenden Selbstreferenz von Goedel im informellen Sinne gestärkt wird und wie sie zu einem wichtigen Bestandteil des modernen Denkens geworden ist.
Unglücklicherweise erfordert ein Verständnis von Gödels Unvollständigkeit ein ziemlich tiefes Verständnis axiomatischer Systeme, was die überwiegende Mehrheit der Philosophen funktionell inkompetent macht, soweit es möglich ist, irgendetwas Substantielles zu diesem Thema zu sagen. Verdammt, nicht einmal ich verstehe es, noch fühle ich mich sicher, Behauptungen darüber aufzustellen, was es tut oder nicht sagt, und ich bin ein MIT-Alaun. Es gibt eine traurige Geschichte von Spinnern und Spinnern, die Gödels Theoremen fälschlicherweise eine Vielzahl von absonderlichen Behauptungen zuschreiben, und ich vermute, dass die Arbeit der meisten Nicht-Mathematiker zu diesem Thema in diese Kategorie fallen wird.
Das Gödel-Ergebnis hat den logischen Positivismus nicht gebremst. Das spiegelt überhaupt nicht die Geschichte des Positivismus wider. Siehe z. B. Ronald N. Giere, „From WissenschaftlichePhilosophie to Philosophy of Science“.
@ChristopherE Carnap war es ein Problem, und es zwang ihn zu seltsamen Behauptungen, die nicht wirklich mit dem Positivismus vereinbar waren: Philosophy.stackexchange.com/questions/23922/…
@DumpsterDoofus Ich bin kein Nicht-Mathematiker.

Folgendes sagt Jordan Ellenberg, Mathematikprofessor an der University of Wisconsin, in seinem Buch Does Gödel Matter? Artikel:

Was an Gödels Theorem regt so die Fantasie an? Wahrscheinlich, weil seine stark vereinfachte, verständliche englische Form – „Es gibt wahre Dinge, die nicht bewiesen werden können“ – natürlich jeden mit einer entfernt romantischen Sensibilität anspricht. Nennen Sie es den „Fluch des Slogans“: Jedes wissenschaftliche Ergebnis, das durch einen Aphorismus angenähert werden kann, ist reif für die Zweckentfremdung. Die präzise mathematische Formulierung, die Gödels Theorem ist, sagt nicht wirklich „es gibt wahre Dinge, die nicht bewiesen werden können“, genauso wenig wie Einsteins Theorie bedeutet: „Alles ist relativ, Alter, es hängt nur von deiner Sichtweise ab.“ Und es sagt sicherlich nichts direkt über die Welt außerhalb der Mathematik aus, obwohl der Physiker Roger Penrose das Unvollständigkeitstheorem verwendet, um seine kontroversen Argumente für die Rolle der Quantenmechanik im menschlichen Bewusstsein vorzubringen.

Die kurze Antwort auf Ihre Frage scheint also zu sein, dass dies nicht der Fall ist und dass äußerst darauf geachtet werden sollte, die Theoreme nicht zu missbrauchen oder falsch darzustellen.

Bearbeiten: Angesichts der hohen Anzahl von Upvotes, die diese Antwort erhalten hat, sollte ich darauf hinweisen, dass ich keineswegs ein Experte auf diesem Gebiet bin und dass eine alternative, eingehendere Erklärung von jemandem, der mehr weiß, sehr geschätzt würde.

Je mehr Wissenschaftler behaupten, die Welt sei mathematisch, desto mehr sagt Gödels Theorem über die Welt aus. Wenn Wissenschaftler uns sagen, „wie die Welt wirklich ist“, verlassen sie sich normalerweise auf Mathematik. Dies gilt am strengsten für diejenigen, die Aussagen über die extreme Präzision der Quantenfeldtheorie machen, die fast ausschließlich Mathematik ist.
Wie Sie zweifellos wissen, verlassen sich Wissenschaftler auf Mathematik, um Phänomene zu quantifizieren ; man kann verstehen, "wie die Welt wirklich ist" - zB eine Vorstellung von Atomen, Genetik, Galaxien, Lichtpolarisation, photoelektrischem Effekt usw. haben - ohne jegliche Mathematik zu verwenden, oder trotz komplexer, nützlicher Mathematik immer noch nicht viel verstehen. Auf jeden Fall stimme ich zu, dass Mathematik offensichtlich eine große Rolle im täglichen Leben spielen kann, aber Gödels Theoreme beziehen sich nur auf bestimmte formale Systeme, daher glaube ich, dass Ihre erste Aussage zu allgemein ist - man muss sehr genau sagen, wie und warum seine Theoreme können bewerben (Fortsetzung)
(Forts.) Das heißt, nur weil es um Mathematik geht, bedeutet das nicht, dass Gödels Theoreme von Natur aus relevant sind, wie in dem von mir zitierten Artikel erklärt. Außerdem scheinen Phänomene wie die Quantenfeldtheorie nicht das zu sein, worauf sich der Beitrag des OP bezieht, dh die Wahrheit im täglichen Leben. Aber in der Tat wäre es interessant zu sehen, in welchen mathematischen Modellen Gödel legitim verwendet werden könnte ...
Hmm, ich bin immer noch nicht überzeugt. Ich stoße die ganze Zeit auf Behauptungen, das Universum in Bezug auf ein angebliches formales System vollständig zu verstehen. Diese formalen Systeme beinhalten praktisch immer Arithmetik und Beweisbarkeit. Ich verstehe, wie dies in unser tägliches Leben einfließt, aber wenn Sie Leute haben, die vom Determinismus über Konzepte der moralischen Verantwortung bis hin zur Sozialpolitik argumentieren, frage ich, ob irgendwo entlang der Linie ein Anspruch auf Vollständigkeit erhoben wurde, der unmöglich bekannt sein kann . Nun, es sei denn, wir selbst bestehen zB aus Nicht-RE-Axiomen. Dann würde Gödel uns nicht kritisieren. :-p
@labreuer Theoretische Physik ist ein System, das Arithmetik verwendet; Gödels Unvollständigkeitssätze gelten für Systeme, die Arithmetik erster Ordnung ausdrücken können.
Dies besagt im Grunde , dass es keine Wirkung haben sollte , nicht, dass es keine Wirkung hat. Die intellektuellen Auswirkungen, die Dinge wie Relativität, Quantendynamik und Unvollständigkeit auf Menschen hatten, sind real, ob dieser Autor sie für vertretbar hält oder nicht.
@DavidRicherby Eine Theorie, die eine andere Theorie frei verwendet, kann all die Dinge tun, die die Theorie tut. Theoretische Physik beinhaltet Arithmetik. Es wird erwartet, dass jede arithmetische Tatsache einer physikalischen Vorhersage nicht widerspricht. Aber es ist weit davon entfernt, erste Ordnung zu sein. Echte Analyse, die sicherlich ein Teil der mathematischen Physik erfordert, quantifiziert sofort über Beziehungen, nur um ein höchstes Symbol zu definieren. Das Theorem gilt also nicht, aber ich würde trotzdem nicht bezweifeln, dass es unvollständig ist ...
@jobermark Wenn Sie Arithmetik zweiter Ordnung ausdrücken können, können Sie sicherlich Arithmetik erster Ordnung ausdrücken. Aber die Unterscheidung zwischen Gebrauch und Express ist real und entscheidend. Sicher, z. B. wird die spezielle Relativitätstheorie durch Arithmetik ausgedrückt, aber damit Goedel sich auf die spezielle Relativitätstheorie anwenden kann, müsste SR in der Lage sein, Beweise über arithmetische Tatsachen auszudrücken. So müssten Sie beispielsweise in der Lage sein, Formeln der Arithmetik erster Ordnung in physikalische Experimente zu übersetzen, die die Wahrheit/Falschheit der Formeln bestimmen würden.
@DavidRicherby Glaubst du wirklich nicht, dass du diese Art von Physikexperiment machen kannst, zumindest als gedankenexperiment? Vielleicht mit Computern, die größere Computer bauen würden, wenn ihnen der Strom ausgeht? Damit sich Goedel hier bewerben kann, müsste das gesamte System erste Bestellung sein . Takeuti und andere hoffen immer noch, dass die Arithmetik zweiter Ordnung (oder zumindest die Realanalyse) konsistent und vollständig ist. Goedel trifft einfach nie auf das wirkliche Leben zu. Zeitraum. Weil wir automatisch über die Stelle springen, auf die es ankommt, und direkt in die Reals. Die Wirkung, die er auf unseren Alltag hat, ist psychologisch.
@DavidRicherby Zum Beispiel könnte die Physik als konsistent und vollständig angesehen werden, wenn alle unentscheidbaren Aussagen der Physik explizit auf Unendlichkeiten verweisen. Tatsächlich ist dies wahrscheinlich, oder? Wenn Raum und Zeit topologisch kompakt sind, können wir angesichts von Heisenberg jede Annäherung so lange ausführen, dass der Fehler in den erforderlichen unerkennbaren Bereichen verloren geht. Wenn wir also die Ableitungen in Wellengleichungen als Näherungen umschreiben, ist das ein Modell, das viele Physiker als vollständig bezeichnen würden. Aber die Logik erster Ordnung kann kein Axiom haben, das die Idee ausdrückt, dass alles endlich ist. Logik zweiter Ordnung kann.
@ w128 - Danke. Ich habe die Antwort von jobermark akzeptiert, da sie für mich leichter verständlich war. Es ist keineswegs ein Spiegelbild Ihrer Antwort.

Ein fast reales Beispiel für die vereinfachte Erklärung, auf die Sie sich bezogen haben, könnten Verfahren in einem großen Unternehmen sein, wenn sie komplex genug sind. Stellen Sie sich ein Verfahren vor:

Ein Verfahren, das nicht der Mission des Unternehmens entspricht, darf nicht befolgt werden

Stellen Sie sich nun vor, ein kaffeetrunkener, unerfahrener Mitarbeiter ändert um 5 Uhr morgens versehentlich das Leitbild des Unternehmens, indem er diesen Satz hinzufügt:

Das Unternehmen erlaubt keine Verfahren, deren Beschreibung mit dem Großbuchstaben „A“ beginnt.

Sollten nun alle Verfahren, die nicht der Mission des Unternehmens entsprechen (z. B. obsolet, nach früheren Änderungen der Mission der Politik), befolgt werden oder nicht?

Dies ist natürlich ein Beispiel für das Lügnerparadoxon . Obwohl dies nicht den ganzen Satz von Gödel ausdrückt, ist es eng verwandt.

Die beschriebene Situation ist nicht unbedingt real, da sie wahrscheinlich nicht in der Realität aufgetreten ist :) Allerdings können Verfahrenssysteme als formale Systeme angesehen werden, und wenn sie komplex werden, haben sie oft Probleme mit Konsistenz und Vollständigkeit.

Sollte es Kontrollen geben, um solche Vorkommnisse zu minimieren? Ich bin neugierig, was es mit den Gesprächen und Interaktionen zu tun hat, die Menschen miteinander führen.
Erstens, wie ist diese Situation im "wirklichen Leben"? Zweitens, was hat es mit Gödels Unvollständigkeitssätzen zu tun? Die erste Frage ist rhetorisch. Um die zweite Frage zu beantworten, müssen Sie unter anderem erklären, wie sich Ihr Beispiel auf axiomatische Systeme bezieht, die leistungsfähig genug sind, um Arithmetik erster Ordnung auszudrücken.
@DavidRicherby: Ich gehe davon aus, dass der Wortlaut, der in den vorgestellten Verfahren zulässig ist , in der Lage ist, Arithmetik erster Ordnung auszudrücken (vorausgesetzt, dass er genug Englisch enthält, um jedes mathematische Verfahren zu beschreiben), und dass er in der Lage ist, Axiome anzugeben, die dann zu unbeweisbaren Wahrheiten führen (was kann auch angegeben werden). Diese Antwort demonstriert jedoch stattdessen ein logisches Paradoxon.
@DavidRicherby Danke für deinen Kommentar. Ich habe die von Ihnen angegebenen Probleme in meiner Bearbeitung angesprochen. Hoffentlich ist es jetzt wenigstens etwas besser :)
Das Lügnerparadoxon sagt uns, dass es Aussagen gibt, die weder wahr noch falsch sind. Gödel bringt es auf den Punkt, dass es wahre Aussagen gibt, für die es keinen Beweis gibt. Sie haben nicht wirklich viel miteinander zu tun.
@DavidRicherby Bitte beachten Sie den Link, den ich bereitgestellt habe. „wahr/falsch“ kann durch „beweisbar/nicht beweisbar“ ersetzt werden – es gibt also eine Analogie.
Wie lässt sich Gödels Theorem auf das tägliche Leben anwenden?
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