Smullyan (1991, 2001) hat nachdrücklich argumentiert, dass der Undefinierbarkeitssatz von Tarski einen Großteil der Aufmerksamkeit verdient, die Gödels Unvollständigkeitssätzen zukommt. Dass die letztgenannten Theoreme viel über die gesamte Mathematik und, kontroverser, über eine Reihe philosophischer Themen (z. B. Lucas 1961) zu sagen haben, ist weniger als offensichtlich. Tarskis Theorem hingegen bezieht sich nicht direkt auf Mathematik, sondern auf die inhärenten Beschränkungen jeder formalen Sprache, die ausreichend ausdrucksstark ist, um von wirklichem Interesse zu sein. Solche Sprachen sind notwendigerweise zu ausreichender Selbstreferenz fähig, damit das Diagonallemma auf sie angewendet werden kann. Die breitere philosophische Bedeutung von Tarskis Theorem ist auffallender offensichtlich. -Wikipedia _
Kann jemand ein Beispiel für einen "Beweis" geben, der Gödels Unvollständigkeitssatz falsch verwendet, wenn er stattdessen Tarskis Undefinierbarkeitssatz verwenden und auf den Fehler hinweisen sollte? So höre ich zum Beispiel häufig die Behauptung „Peano-Arithmetik ist unvollständig/inkonsistent“ begründet mit einem Appell an Gödel – was ist daran falsch?
Es ist nichts Falsches daran, die Behauptung zu rechtfertigen, dass die Peano-Arithmetik entweder inkonsistent oder unvollständig ist, indem man sich auf Gödels Unvollständigkeitssätze bezieht; die Behauptung ist eine direkte Anwendung des ersten Unvollständigkeitssatzes.
Gödel zeigte, dass jedes formale System mit angemessener Ausdruckskraft für formale Arithmetik entweder inkonsistent oder unvollständig in dem Sinne war, dass es Sätze in der Sprache dieses Systems geben würde, die dieses System weder beweisen noch widerlegen könnte.
Der Satz von Tarski zeigte, dass keine konsistente formale Sprache ihr eigenes Wahrheitsprädikat definieren kann. Als Sonderfall davon kann kein konsistentes formales Arithmetiksystem ein Prädikat enthalten, das für alle und nur die wahren Sätze der Arithmetik in der Sprache dieses formalen Systems (und bei der beabsichtigten Interpretation dieser Sprache) gilt.
Smullyans Punkt ist, wie ich es verstehe, folgender:
1) Mit dem Ergebnis, dass arithmetische Wahrheit nicht in einem arithmetischen System definiert werden kann, kam Tarski „fast“ auf Gödels Ergebnisse.
2) Ein Großteil der (etwas schlampigen) philosophischen Diskussion über Gödels Theoreme geht davon aus, dass sie zeigen, dass es unbeweisbare arithmetische Wahrheiten gibt. Allerdings waren Gödels Beweise seiner Theoreme rein syntaktisch ausgedrückt, indem sie keinen Wahrheitsbezug, sondern nur eine formale Beweisbarkeit innerhalb eines rein syntaktisch definierten formalen Systems aufwiesen. Seit Tarski 1936 die erste zufriedenstellende Wahrheitsdefinition für formale Systeme gab, während Gödels Ergebnisse 1931 veröffentlicht wurden, gab es für Gödel keinen formal handhabbaren Wahrheitsbegriff. Im Wesentlichen fand Gödel einen cleveren Weg, arithmetische Sätze als formale Beweise in der Arithmetik zu interpretieren, und konstruierte einen Satz, der von sich selbst „sagte“, dass er innerhalb des Systems der Arithmetik nicht beweisbar sei.Das System ist konsistent, dass der Satz wahr sein wird. Gödels Schlussfolgerung war jedoch nicht , dass es unbeweisbare Wahrheiten gab; vielmehr war jedes für die Arithmetik adäquate System entweder inkonsistent oder hätte arithmetische Sätze, die das System nicht entschieden hätte. Damit wird keineswegs ein Wahrheitsbegriff beschworen.
3) Der Punkt von Gödels Theoremen ist, dass Arithmetik nicht mechanistisch entscheidbar ist. Tarskis Punkt ist, dass kein konsistentes System ein Wahrheitsprädikat für die Sprache definieren kann, in der es artikuliert wird. Von den beiden scheint Tarskis philosophische Bedeutung zu haben. (Zum Beispiel könnte kein formales Modell des Englischen „true in English“ definieren, während Gödels Ergebnisse überhaupt nicht auf Englisch zuzutreffen scheinen.)
Mir ist kein Beispiel-"Beweis" bekannt, wo Gödel angerufen wird, der Tarski in der Art und Weise, wie Sie ihn fragen, wirklich vorgetragen werden sollte. (Aber es ist eine große Welt.)
Josef Weissmann