Ich bin neu in der Logik, aber ich glaube, das ist kein schwieriges Problem, aber ich bin immer noch so verwirrt, und der Grund dafür ist, dass es so viele Lücken in meinem Wissen gibt oder ich vielleicht so viele "offensichtliche" Argumente übersehen habe. Ich schätze wirklich jede Erklärung.
Ich denke an ein Problem, ob wir der Peano-Arithmetik ein neues Prädikat T hinzufügen können, sodass für jeden Satz A des alten Vokabulars die neue Theorie PAT T(Godel-Zahl von A) genau dann beweist, wenn A. Mit anderen Worten, können wir Peano-Arithmetik konsequent um ein Wahrheitsprädikat für Sätze im alten Vokabular erweitern? Ich versuche, Wege zu finden, um zu zeigen, dass wir es können, oder zu zeigen, warum es unmöglich ist.
Notation: Ich meine T (Godel numerische Zahl von A) als T (), wobei das Ding in der Klammer die übliche obere linke und obere rechte quadratische Ecke von A ist, hoffe es ist klar.
Meine Argumentation ist vielleicht zu kurz oder vielleicht sogar falsch, aber ich werde mein Bestes geben:
Wir können die Peano-Arithmetik nicht konsistent mit einem Wahrheitsprädikat erweitern, da konsistente deduktiv definierte Erweiterungen der Peano-Arithmetik unvollständig sind, sodass das Prädikat weder wahr noch falsch sein kann.
Ich habe wirklich Zweifel an meinem Ansatz, ich würde mich über jede Hilfe freuen! Vielen Dank!
Ja, das kannst du! Der Fall, an den Sie denken, ist Tarskis ursprünglicher Idee sehr ähnlich, ein Wahrheitsprädikat zu definieren, das materiell angemessen ist, und ein Artikel von Henryk Kotlarski, Stanislav Krajewski und Alistair Lachlan aus dem Jahr 1981 zeigte, dass wir ein Wahrheitsprädikat konservativ über den Sätzen definieren können der Peano-Arithmetik. Ihr Trick besteht darin, jedem der Wahrheitsaxiome, die sie spezifizieren, explizit als Bedingung hinzuzufügen, dass die interessierenden Objekte unserer Theorie in Bezug auf die Wahrheit Codes von PA-Sätzen sind, wodurch alle richtigen PAT-Sätze ausgeschlossen werden. (Sie können die Grundlagen dazu im SEP-Artikel für Axiomatische Wahrheitstheorien sehen. )
Da das Prädikat nur PA-Sätze abdeckt, enthält es keine Instanzen des Induktionsschemas, die selbst das Prädikat Wahrheit aufweisen. Wenn wir versuchen würden, diese der Theorie hinzuzufügen, würden wir das Ergebnis der Definierbarkeit aus 2. Gödel-Gründen verlieren; Das ist wahrscheinlich der Grund, warum Sie dachten, es wäre unmöglich, ein Prädikat zu definieren, das das T-Schema erfüllt.
Sie haben jedoch Recht, wenn Sie denken, dass das Prädikat unvollständig ist, denn wenn Sie zeigen, dass Sie Wahrheit als Prädikat definieren können, machen Sie es auch so, dass dieses Prädikat in PA-Induktionen verwendet werden kann! Die Sprache als Ganzes scheint also wahre arithmetische Dinge zu sagen, die außerhalb ihrer Darstellung dessen liegen, was sie für arithmetisch Wahr hält. Aber ich denke, das ist in Ordnung, da es in gewisser Weise nichts verpasst, was es nicht in die Sprache gebracht hat, indem es das Wahrheitsprädikat hinzugefügt hat.
Ihre Frage ist ein wenig verwirrend - aber ich werde es versuchen.
Ich denke, der wesentliche Teil Ihrer Frage ist folgender:
Wir können die Peano-Arithmetik nicht konsistent mit einem Wahrheitsprädikat erweitern, da konsistente deduktiv definierte Erweiterungen der Peano-Arithmetik unvollständig sind, sodass das Prädikat weder wahr noch falsch sein kann.
Die kurze Antwort ist, dass das Prädikat, das Sie verwenden, um PA zu erweitern, tatsächlich ein neues Axiom ist, das an PA angehängt wird. Es ist also per Definition automatisch wahr.
Bevor Sie dieses Prädikat jedoch hinzufügen, sollten Sie seinen Wahrheitswert in PA überprüfen. Wenn es wahr ist, macht es keinen Sinn, es hinzuzufügen. Wenn es falsch ist, machen Sie das neue System inkonsistent, indem Sie es hinzufügen. Daher müssen Sie ein Prädikat wählen, das nicht als wahr oder falsch bewiesen werden kann - das heißt, es ist unabhängig von den Axiomen von PA. Wenn Sie nun dieses Prädikat hinzufügen, wird es wahr, weil es ein Axiom ist.
Jetzt, mit Ihrem neuen angehängten Axiom, wird die Sprache von PA größer (es gibt mehr Sätze) und Gödels Unvollständigkeit gilt immer noch für dieses System (weil es offensichtlich PA enthält), also gibt es einen neuen Satz in der Sprache von PA, der wahr ist (das in jedem Modell von PA wahr ist), was aber das der Theorie von PA beigefügte Deduktionssystem nicht beweisen wird (hier ist der Beweis rein formal - es gibt keinen notwendigen Zusammenhang mit der Wahrheit; Wahrheit wird in einem Modell festgestellt).
Es ist also noch unvollständig .
Es bleibt trotzdem stichhaltig : Das ist ein beweisbarer Satz - stimmt tatsächlich (das gilt in jedem Modell).
In der Logik erster Ordnung können Sie nicht über Formeln quantifizieren. Sie können jedoch über Gödelzahlen für Formeln quantifizieren.
Um sinnvolle Dinge über die Gödel-Zahlen für Formeln zu sagen, müssen Sie ein Beweisprädikat verwenden. Nehmen wir an, Sie können ein solches Prädikat für jede Codierung einer Reihe von Axiomen definieren.
Am nächsten komme ich dem, was Sie wollen: Verwenden Sie das Diagonal-Lemma , um einen selbstreferenziellen Satz A zu erstellen, der für alle #X äquivalent ist. PA + A beweist [ T(#X) <-> X ].
Das ist nicht erwünscht, weil der Quantor außerhalb des Beweisprädikats liegt und wir nicht sagen, dass T(#X) <-> X, sondern ein Beweisprädikat verwenden, um zu sagen, dass PA + A [ T(#X ) <-> X ].
Die nächste Frage, ist PA + A konsistent? Nun, wir können zeigen, dass PA + A Not Con(PA+A) beweist. Verwenden Sie das Diagonallemma, um einen Satz s so zu definieren, dass PA + A beweist, dass Not T(#s) <-> s ist. Unter der Annahme von A haben wir auch PA + A beweist s <-> T(#s). Daher beweist die Annahme von A, PA + A einen Widerspruch.
Außerdem würde ich gerne weiter sprechen, wenn Sie noch an diesem Thema interessiert sind. Vielen Dank!
Iphigenie