Russells Paradox erzwang eine Einschränkung des natürlichen Abstraktionsprinzips (dass jedes Prädikat eine Menge bestimmt), damit die Mengentheorie konsistent sein konnte; der Standard ist ZF.
Parakonsistenz ermöglicht es jedoch , das natürliche Abstraktionsprinzip beizubehalten, indem ein gewisses Maß an Inkonsistenz in der Logik zugelassen wird, das eine Wiederbelebung der naiven Mengenlehre als eine vollständig formale ermöglicht. Es hat den positiven Vorteil, dass es das Auswahlaxiom beweist und die Kontinuumshypothese widerlegt.
Nun besagt Gödels Unvollständigkeitssatz, dass man keine Theorie haben kann, die sowohl vollständig als auch widerspruchsfrei ist. Einer muss aufgegeben werden. Normalerweise ist dies Vollständigkeit. Aber angesichts der Parakonsistenz kann die Konsistenz aufgegeben werden.
Ist es also richtig zu sagen, dass eine parakonsistente Theorie immer vollständig sein wird?
Da die Theorie parakonsistent ist, verliert Gödels zweiter Satz darüber, dass man die Konsistenz einer Theorie nicht beweisen kann, seine Zugkraft. (Oder doch? Sollte man Parakonsistenz beweisen können?)
Parakonsistente mathematische Theorien werden nicht immer vollständig sein. Abhängig davon, was die Theorie für wahr hält, und der Stärke ihres deduktiven Systems, könnte es durchaus unbeweisbare Wahrheiten geben. Wie Sie sicher wissen, geben alle parakonsistenten Theorien ex falso quodlibet auf(die Regel, die es erlaubt, aus einem Widerspruch alles abzuleiten) sowie Prinzipien, die ihn beinhalten (wie disjunktiver Syllogismus: aus „A oder B“ und „Nicht-B“ wird „A“ abgeleitet). Das bedeutet, dass Widersprüchlichkeiten innerhalb dieser Theorien nicht "explodieren", was den Beweis irgendeiner Aussage der Sprache erlaubt. Somit ist Parakonsistenz keine Garantie für Vollständigkeit. Die Akzeptanz von Inkonsistenz öffnet jedoch die Tür zu einer vollständigen Theorie, deren klassisches Gegenstück im Wesentlichen unvollständig wäre. Als Spielzeugbeispiel ist eine parakonsistente Theorie, die ex falso quodlibet bleibt (obwohl eine solche Theorie nicht mehr wirklich parakonsistent wäre), als zulässige Schlussfolgerung trivial vollständig (ich stelle mir vor, dass dies in etwa so ist, wie Sie es sich vorgestellt haben).
Nun, viele interessante parakonsistente Theorien werden nicht konsistent sein, also sollten diese Theorien sicherlich nicht in der Lage sein, ihre eigene Konsistenz zu beweisen – das wäre schlecht. Ich bin mir nicht ganz sicher, was Sie sonst noch im Sinn hatten, aber es ist interessant festzustellen, dass Tarskis logische Folge von Gödels Ergebnissen – Tarskis Undefinierbarkeitssatz – keine große Bedrohung mehr darstellt. Wenn Sie sich den verlinkten Shapiro-Artikel (in "Weiterführende Literatur") ansehen, werden Sie sehen, dass die Theorie, die er entwickelt, eine parakonsistente Arithmetik ist ( genauer gesagt eine dialetheistische Arithmetik ; ich vermute, dass viele Ihrer Fragen zu parakonsistenten Theorien wirklich gemeint sind um dialetheistische oder anderweitig widersprüchliche Theorien handeln), die ihr eigenes Wahrheitsprädikat enthalten.
SEP-Artikel über inkonsistente Mathematik
Dennis