In "On How Logic Became First-Order" schreibt Matti Eklund (S. 2/148):
Es scheint heute weit verbreitet zu sein, dass Argumente von Skolem und Kurt Gödel, beide angebliche Befürworter der These, dass die Standardlogik erster Ordnung „die Logik“ (oder, wenn Sie so wollen, „die wahre Logik“ oder „die richtige Logik“ ist; unten Ich werde etwas darüber sagen, was aus der Bevorzugung der Logik erster Ordnung als „der“ Logik resultieren könnte) einen bemerkenswerten Einfluss auf die Entwicklung hin zur Logik erster Ordnung hatte
Außerdem steht in dem Buch „Foundations without Foundationalism“ von Shapiro geschrieben (Seite xiii):
Historisch gesehen waren die Hauptvertreter der Logik erster Ordnung Skolem, von Neumann, Weyl und Gödel
Wo hat Gödel gesagt, dass die Logik erster Ordnung die "wahre" Logik ist? Wo hat er seine Meinung zu diesem Thema geltend gemacht? Gibt es ein Papier, in dem er seine Meinung beschrieb? Wenn nicht: Woher wissen wir dann, dass er diese Meinung hatte? Gibt es Quellen (z. B. ein Interview)? Können Sie mir einige Referenzen nennen?
(Ich interessiere mich auch für die gleichen Fragen, wobei "Gödel" durch "Skolem" ersetzt wurde. Aber für die meisten interessiere ich mich für Gödel.)
Er hat es nirgendwo geschrieben. Das Zitat selbst nennt Gödel und Skolem nur „angebliche Befürworter“, und später in dem Artikel bemerkt Eklund, dass „ der (angebliche) Beweis dafür, dass Skolem an der Logik erster Ordnung festhielt, darin besteht, dass Skolem der Ansicht war, dass Mengenlehre und Arithmetik der ersten Ordnung gegeben werden sollten Axiomatisierungen, während ... ein Beweis dafür, dass Gödel an der Logik erster Ordnung festhielt, die (angebliche) Tatsache ist, dass Gödel auf einer Metasprache erster Ordnung bestand “ (S.151), und fährt fort, selbst diese begrenzten Beweise zu bestreiten. Er erwähnt die Gödel-Zermelo-Korrespondenz von 1931 als angebliche Quelle und bemerkt, dass " weder Moore noch Shapiro uns irgendein Zitat aus der Gödel-Zermelo-Korrespondenz liefern, das zeigt, dass Gödel dort auf einer Metasprache erster Ordnung bestand " . (S.158).
Die Dominanz der Logik erster Ordnung basiert eher auf technischen Ergebnissen von Skolem und Gödel als auf philosophischen Argumenten. Skolem hat bewiesen, dass die Logik erster Ordnung eine schöne Modelltheorie hat, Gödel hat bewiesen, dass sie rekursiv axiomatisierbar ist und daher eine schöne Beweistheorie (im Gegensatz zu Logiken höherer Ordnung) und kompakt (im Gegensatz zu unendlichen Logiken) hat. Gleichzeitig erwies sich die Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie erster Ordnung (erste Ordnung von Skolem, der Zermelos Verständnisaxiom entsprechend modifizierte) nicht nur für die gesamte klassische Mathematik, sondern sogar für die höhere Mengenlehre und die Modelltheorie als mehr als ausreichend. Andererseits erwiesen sich Mengentheorien höherer Ordnung wie die von Russell als unhandlich. Am Ende musste Russell das berüchtigte „Axiom der Reduzierbarkeit“ einführen, das die Logik seiner Mengenlehre effektiv auf die erste Ordnung reduziert.
Seit den 1950er Jahren identifizierte Quine routinemäßig die Logik erster Ordnung mit der "Sprache der Wissenschaft", Eklund selbst erwähnt ihn als Einfluss. Was „wahre Logik“ im Sinne der Philosophie betrifft, so argumentierte Gödel ganz im Gegenteil. Dass menschliches Denken nicht nur von der Logik erster Ordnung, sondern von jeder formalisierten Logik nicht erfasst wird, und dass seine Unvollständigkeitsergebnisse ein Hinweis darauf sind.
Noah Schweber