Wenn die Konsistenz der ZFC-Axiome nicht bewiesen werden kann, wie können wir dann mit Sicherheit sagen, dass irgendwelche Theoreme in der Mathematik bewiesen wurden?

Fangen wir weiter unten an. Nach den Unvollständigkeitssätzen kann PA (Arithmetik erster Ordnung) seine eigene Konsistenz nicht beweisen. Müssen wir uns Sorgen machen, dass PA inkonsistent ist? Glücklicherweise nicht: Wir haben ein stärkeres System (ZFC), das die Konsistenz von PA beweist. Aber das hilft nicht viel – wenn Sie an der Konsistenz von PA zweifeln, bedeutet dies nur, dass Sie auch an der Konsistenz von ZFC zweifeln sollten. Was wir wirklich sagen wollen, ist: Wir haben sehr guten Grund zu der Annahme, dass PA konsistent ist. Wir arbeiten nämlich seit vielen Jahren mit PA zusammen und haben keine Ungereimtheiten festgestellt. Und die Axiome scheinen ziemlich vernünftige Dinge über eine Klasse von Objekten (die natürlichen Zahlen) zu sagen, deren Existenz die meisten von uns für selbstverständlich halten.

Gehen Sie jetzt zu jemandem, der die Konsistenz von ZFC bezweifelt. Ich könnte auf ein höheres System verweisen (z. B. ZFC + "es gibt einen stark unzugänglichen Kardinal"), das die Konsistenz von ZFC beweist. Aber auch das würde nicht helfen, denn wenn Sie an der Konsistenz von ZFC zweifeln, zweifeln Sie an der Konsistenz des zweiten Systems. Besser gesagt: Wir arbeiten schon lange mit ZFC zusammen und haben keine Ungereimtheiten entdeckt. Und ZFC scheint eine ziemlich vernünftige Sache über eine Klasse von Objekten (Mengen) zu sagen, deren Existenz die meisten Mathematiker heute für selbstverständlich halten.

Sie werden mit der impliziten Annahme der ZFC-Axiome bewiesen.

Wenn die Fundamente eines Gebäudes einstürzen, stürzt das ganze Gebäude ein.

Glücklicherweise funktionieren mathematische Grundlagen nicht auf diese Weise: Wenn sich ZFC morgen als inkonsistent herausstellt, ist es unwahrscheinlich, dass sich das Mädchen an der Kasse in meinem örtlichen Geschäft Sorgen macht, ob sich die Änderung richtig summiert; oder dass ein Student, der sich Sorgen darüber macht, wie man Sünde x integriert, jetzt vielleicht denkt, hat dies eine andere Antwort als gestern.

Es gibt keine Möglichkeit, Ergebnisse zu rechtfertigen; es gibt eine ganze Menge davon; und sie sind gegenseitig gerechtfertigt; Dies ist eine Position, die Kohärenzismus genannt wird .

Dies ist bereits einmal in den frühen Tagen von Set Theory: Russell's Paradox passiert - was schließlich gelöst wurde, indem es umgangen wurde.

Sehr wenige Sätze der Mathematik lassen sich „nur“ aus ZFC-Axiomen beweisen.

Arithmetische Sätze werden aus Peano-Axiomen bewiesen , und die Tatsache, dass diese Axiome wiederum aus ZFC beweisbar sind, trägt nichts zu unserem "grundlegenden" Verständnis natürlicher Zahlen bei.

Was die Mengenlehre in Bezug auf "Grundlagen" liefert, ist zweierlei:

• eine einfache und einheitliche Sprache, die (fast) allen mathematischen Theorien gemeinsam ist

• eine leistungsstarke Möglichkeit, Modelle für (fast) alle mathematischen Theorien aufzubauen .

Diese zweite "Anwendung" der Mengenlehre ist der Teil, der "philosophisch fragwürdig" sein kann:

Wenn wir nach einer Art "Gewissheit" bezüglich der Existenz des Systems der natürlichen Zahlen suchen , kann die Tatsache, dass wir ein Modell für die Axiome der natürlichen Zahlen innerhalb von ZFC bereitstellen können, das Problem nur einen Schritt zurück "bewegen".

In jedem Fall beruht das Hauptinteresse der Mengenlehre auf ihrem eigenen mathematischen Inhalt, wie jede mathematische Theorie.

Gödels Ergebnis gilt für Theorien, die ein Modell der Arithmetik ganzer Zahlen "einschließen", so dass Unvollständigkeit und Konsistenzfragen nicht für Theorien gelten müssen, die keine ganzzahlige Arithmetik enthalten.

Beispielsweise kann die euklidische Geometrie sowohl vollständig als auch konsistent bewiesen werden. Auch andere Geometrien gehören zu diesem Typ, zB Hilberts Axiome und Tarskis Axiome.

Dies folgt (scheinbar) aus der Tatsache, dass das Kontinuum R und damit die Ebene R ² der Geometrie als rekursiv aufzählbare Theorie formalisierbar ist, die nicht in der Lage ist, ganze Zahlen als reelle Zahlen zu definieren. Ich bin mir nicht ganz im Klaren über die Details dieser Ergebnisse, aber das ist, was ich gelesen habe.

Daher ist es nicht richtig zu sagen, dass „die gesamte“ Mathematik von fragwürdiger Konsistenz ist.

@MoziburUllah ist richtig, aber es ist nicht so zweideutig. Zumindest nicht in letzter Zeit.

Seit sie begonnen hat, sich auf ihre Wurzeln zu besinnen, hat die Mathematik wirklich eine etwas weniger zweideutige Formulierung von Kohärenz akzeptiert, die wir historisch hatten. Das aktuelle Modell der Mathematik (zusammen mit den Hauptformen, in denen formale Logik gelehrt wird) ist dual. Es beinhaltet wirklich nur zwei Beweispositionen – die Ableitung von Implikationen über eine Kombinationsgrammatik und die Konstruktion von „Welten“ oder Modellen über eine Beschreibungsgrammatik.

(Diese beiden Positionen, zusammen mit der Unterscheidung zwischen ihnen, gehen auf Euklid zurück. Also können Leute, die die Annahme der Kohärenz einschränken oder minimieren wollen, die Zwischenpositionen einfach ignorieren und behaupten, sie seien nur falscher Unsinn. Das ist es, was moderne Formalisten tun tun.)

Konsistenz ist möglicherweise nicht durch formale Konstruktion verfügbar, aber die wirkliche Intuition der Menschen von Gültigkeit oder Konsistenz basiert auf Modellen, nicht auf formalen Beweisen. Dann, von einem Standpunkt aus, der sich hauptsächlich auf die Mathematik als Psychologie der gemeinsamen Intuition konzentriert, glauben wir im Grunde wirklich nicht, dass die formale Sprache das ist, was die Dinge wirklich beweist. Es ist nur eine Möglichkeit, uns selbst zu überprüfen, wenn wir nach unseren anderen Intuitionen handeln, von denen wir annehmen, dass sie zuverlässig sind, solange wir ihnen nicht zu weit nachgehen.

Von diesem Standpunkt aus können wir uns die abgespeckten „Universen“ von Von Neumanns V oder Goedels L (oder sogar Conways „Surreal Numbers“) ansehen und zustimmen, dass unser System ein Modell hat. Auch wenn unsere formalen Manipulationen letztendlich nicht wirklich direkt auf die von uns untersuchten Objekte zutreffen, enthält unser gewähltes Basismodell etwas Isomorphes zu ihnen.

In jedem Fall, in dem wir uns explizit genug ausdrücken, um Isomorphismus klar zu definieren, können wir bestätigen, dass das, was wir tun, keinen Widerspruch enthält, indem wir seine Interpretation auf unser gewähltes Basismodell zurückbilden.

Dies ist die formalistische Flucht vor der ultimativen Schwäche des Formalismus: zu behaupten, dass mathematische Behauptungen „nur bis zur Isomorphie existieren“ und die Abhängigkeit der Existenz der Basismodelle von der Intuition zu ignorieren.