Was passiert, wenn wir die Bedingung fallen lassen, dass Beweise in Gödels Unvollständigkeitssatz endliche Folgerungen sind?

Gödels Unvollständigkeitssatz zeigt, dass es Sätze gibt, die unentscheidbar sind, also weder sie noch ihre Negation bewiesen werden können.

Dieser Satz arbeitet rein syntaktisch bzw. formal, dh er verwendet kein Modell. Es ist keine Semantik beteiligt.

Nun ist ein formaler Beweis eine endliche Folge von Folgerungen. Was passiert, wenn diese Bedingung fallen gelassen wird – also eine unendliche Anzahl von Inferenzen verwendet wird? Um dies zu verstehen, muss man eine Theorie des Unendlichen verwenden, da die Schlussfolgerungen geordnet sind, sollte man die Ordinaltheorie und nicht die Kardinaltheorie verwenden.

Gibt es eine unendliche Ordinalzahl, für die alle Sätze entscheidbar werden?

Funktioniert im Wesentlichen so Gentzens Beweis der Konsistenz von PA – was nur bedeuten kann, dass alle Sätze entscheidbar sind?

Was kann das bedeuten, wenn Beweise tatsächlich endliche Schlüsse sind?

Antworten (1)

  1. Wenn Sie unendliche Regeln wie die Omega-Regel zulassen, wird mehr beweisbar, also PA plus die Omega-Regel beweist den Gödel-Satz für PA. Aber PA plus die Omega-Regel ist immer noch nicht vollständig – ein Ergebnis, das auf Rossers JSL-Artikel von 1937 über Gödel-Theoreme für nicht-konstruktive Logiken zurückgeht. Hilfreich könnte hier Dan Isaacsons Aufsatz zur Omega-Regel sein: "Some Considerations on arithmetical truth and the ω-rule", in Michael Detlefsen (Hrsg.), Proof, Logic and Formization, Routledge, London, 1991, S. 94-138 .

  2. Gentzens Beweis der Konsistenz von PA erfolgt in einem Rahmen, der ein gewisses Maß an transfiniter Induktion voraussetzt (mehr transfinite Induktion, die durch Codierung innerhalb von PA selbst verfügbar ist). Aber Beweise durch transfinite Induktion sind immer noch endliche Satzketten (betrachten Sie solche Beweise zum Beispiel in ZF!).

Ich stimme zu, dass Beweise durch transunendliche Induktion endlich sein können. Aber wenn Gentzen dies über die Dauer der Beweise in PA getan hat – was ich annehme, da ich nichts anderes sehen kann, um die Induktion zu übertragen – was bedeutet das dann? Nicht der Metabeweis, sondern der eingeführte Beweis.
Nein, die Induktion erfolgt über eine Ordnung endlicher Beweise, wobei die Ordnung vom Ordnungstyp Epsilon-Null ist.
ok, alle endlichen Beweise sind in Bijektion mit der Menge der endlichen Wurzelbäume, die den Ordnungstyp Epsilon-Null hat.
@PeterSmith Was ist falsch an diesem Beweis, dass PA plus die Omega-Regel vollständig ist? m-phi.blogspot.com/2011/03/…
Was passiert, wenn wir die Bedingung fallen lassen, dass Beweise in Gödels Unvollständigkeitssatz endliche Folgerungen sind?
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