Die Relevanzlogik betrachtet die Implikationsoperation in der Logik erster Ordnung genauer. Es deutet darauf hin, dass Implikationen wie:
p und nicht p -> q
Kann nicht halten; im normalen Englisch ist ein Beispiel dafür:
„Sokrates ist ein Mensch und Sokrates ist kein Mensch, daher ist die Hauptstadt Englands London“.
Obwohl die Schlussfolgerung wahr ist, scheint sie für die diskutierten Prämissen irrelevant zu sein.
Nun, Meyer hat sich in den 70er Jahren Peanos Axiome (PA) in Relevance Logic angesehen und gezeigt, dass es gegen Gödel beweisbar konsistent ist.
Wenn der Nachweis der Konsistenz von PA wichtig und lebenswichtig ist, könnte man dann nicht sagen, dass relevante PA vielleicht die richtige PA ist? Oder dass zumindest PA erster Ordnung nicht die richtige PA ist?
Natürlich gelten nicht alle Theoreme der traditionellen PA in relevanter PA; aber geht irgendetwas Wesentliches verloren, sagen wir in der Mainstream-Zahlentheorie oder Physik, eher als die exotischen Randbereiche dessen, was in traditioneller PA möglich ist?
(Eine andere Möglichkeit, dieses Ergebnis im Lichte von Gödel zu untersuchen, besteht darin, sein Theorem zu berücksichtigen, dass eine Theorie nicht sowohl vollständig als auch konsistent sein kann; wenn man Vollständigkeit wünscht, muss man Inkonsistenz akzeptieren; und tatsächlich ist relevante Logik parakonsistent).
„Geht etwas Wesentliches verloren“ oder liegen die Mängel von Meyers System in „exotischen Randbereichen dessen, was in traditioneller PA möglich ist“?
PA beweist diese Formel, wenn p > 2 eine Primzahl ist, dann gibt es eine positive ganze Zahl y , die kein quadratischer Rest mod p ist ; das ist,
∃y ∀z: ¬(y ≡ z^2 (mod p)).
Das sieht für mich nach einem ziemlich unexotischen Stück Zahlentheorie aus. Scheitert jedoch in Meyers System. Schlechte Nachrichten?
Siehe R. Meyer und H. Friedman, Whither Relevant Arithmetic?, JSL 1992, 824–831.
Ich empfehle den Artikel: B. Buldt, The Scope of Godel's First Incompleteness Theorem, Log. Univers. 8 (2014), 499–552 , insbesondere Seiten 530 - 531.
Nun, Meyer hat sich in den 70er Jahren Peanos Axiome (PA) in Relevance Logic angesehen und gezeigt, dass es gegen Gödel beweisbar konsistent ist.
Das Australasian Journal of Logic hat vor kurzem eine Sonderausgabe veröffentlicht, die Meyers Arbeit über die relevante Arithmetik R# gewidmet ist. Dort wurde unter anderem Meyers Aufsatz „The Consistency of Arithmetic“ ( https://ojs.victoria.ac.nz/ajl/article/view/6906 ) veröffentlicht, wo ein Konsistenzbeweis der Peano-Arithmetik aufgestellt worden war (nach Meyers Meinung) elementar. Eines seiner Argumente war, dass Peano Arithmetic ein Subsystem von R# sei. 1992 bewies Harvey Friedman jedoch , dass die klassische Peano-Arithmetik nicht in Relevant Arithmetic R# enthalten war, und dies war ein Fehlschlag für Meyers Vision für Relevant Arithmetic R# (siehe z. B. die Nachricht von Thomas Fergusson auf der FOM-Diskussionsliste, https://cs. nyu.edu/pipermail/fom/2021-Juli/022757.). Daher hebt Meyers oben erwähnter Konsistenzbeweis der Peano-Arithmetik Gödels zweiten Unvollständigkeitssatz nicht auf .
Lassen Sie mich die Zeitung TJ Stępień, Ł empfehlen. T. Stępień, „Über die Konsistenz des arithmetischen Systems“, Journal of Mathematics and System Science , vol. 7, 43 (2017), arXiv:1803.11072. Es wurde ein Konsistenzbeweis des (Peano) Arithmetic Systems veröffentlicht. Dieser Beweis wurde tatsächlich innerhalb dieses Systems durchgeführt (die Zusammenfassung zu diesem Artikel: TJ Stepien und LT Stepien, "On the Consistency of Peano's Arithmetic System", The Bulletin of Symbolic Logic, Bd. 16, Nr. 1, 132 (2010 ) . )).
Peter Schmidt
Mosibur Ullah